Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2025 (page 2/3 : Partie B)

Le multiplieur analogique \mathcal{M} fournit une tension proportionnelle au produit des deux tensions d'entrée v_1(t) et v_2(t) :

En utilisant l'identité trigonométrique \cos a \cos b = \frac{1}{2}\big(\cos(a+b) + \cos(a-b)\big), il vient :

La parité de la fonction cosinus permet d'écrire le second terme sous la forme \cos\big(2\pi |f_2-f_1|t \pm \varphi_0\big). Le spectre de v_i(t) est donc constitué de deux raies distinctes aux fréquences positives :

Comme l'écart de fréquence |f_2-f_1| est, d'après l'énoncé, très inférieur aux fréquences d'origine (|f_2-f_1| \ll f_1 \approx f_2), ces deux fréquences sont très largement séparées :

Pour ne conserver que la composante basse fréquence |f_2-f_1| tout en éliminant la composante haute fréquence f_2+f_1, le filtre \mathcal{F} doit être un filtre passe-bas, dont la fréquence de coupure f_c vérifie :

D'après la question précédente, le signal intermédiaire v_i(t) comporte une composante basse fréquence de pulsation \omega_d = 2\pi|f_2 - f_1| et une composante haute fréquence de pulsation \omega_s = 2\pi(f_1 + f_2). Pour isoler la composante basse fréquence, le filtre \mathcal{F} doit être un filtre passe-bas.

Pour satisfaire l'incitation de l'énoncé à privilégier un filtre d'ordre 2 (qui présente une atténuation asymptotique de -40\text{ dB/décade} à haute fréquence, bien plus efficace que les -20\text{ dB/décade} d'un filtre RC d'ordre 1), on propose un circuit RLC série, la tension de sortie v_d(t) étant mesurée aux bornes du condensateur C.

La sortie fonctionne à vide (ou connectée à un étage à très haute impédance d'entrée).

Pour le filtre passe-bas RLC série alimenté par v_i(t) avec prélèvement de la tension v_d(t) aux bornes du condensateur, le pont diviseur de tension en sortie ouverte donne en notation complexe :

Sous forme canonique usuelle :

avec la pulsation propre \omega_0 = 2\pi f_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} et le facteur de qualité Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}.

Choix des composants pour f_1 \approx f_2 \approx 40\text{ kHz} :

• La composante haute fréquence à éliminer est à f_1 + f_2 \approx 80\text{ kHz}.
• L'écart Doppler à conserver pour des ultrasons se situe généralement entre quelques hertz et quelques centaines de hertz (|f_2 - f_1| \lesssim 1\text{ kHz}).
• On choisit donc une fréquence propre de coupure f_0 \approx 1{,}6\text{ kHz}, ce qui assure f_0 \ll f_1 + f_2 et garantit une forte atténuation à 80\text{ kHz} (pente de -40\text{ dB/décade}, soit une atténuation supérieure à 60\text{ dB}).

Prenons des valeurs de composants standard disponibles en laboratoire :

La fréquence propre vaut alors :

Pour éviter une résonance marquée tout en gardant une coupure franche, on vise un facteur de qualité sans surtension prononcée (Q \approx 1/\sqrt{2} ou Q \approx 1) :

On peut donc retenir :

Le signal d'entrée v_1(t) = A\cos(2\pi f_1 t) subit un déphasage de +\pi/2 :

Le multiplicateur analogique \mathcal{M} (de constante de proportionnalité k) fournit le signal intermédiaire :

En utilisant l'identité trigonométrique -2\sin a \cos b = \sin(b - a) - \sin(a + b), il vient :

Dans l'hypothèse d'un filtrage passe-bas idéal (gain unité et phase nulle dans la bande passante, annulation totale de la composante à haute fréquence f_1 + f_2), on obtient en sortie en posant V_0 = \frac{k AB}{2} :

D'après la question Q18, la voie directe (en phase) fournit :

Posons \Delta f = f_2 - f_1. Deux situations se présentent :

• Si f_2 - f_1 > 0 : avec \Omega = 2\pi|f_2 - f_1|,

  v_d(t) = V_0 \cos(\Omega t + \varphi_0) \quad \text{et} \quad v_{dQ}(t) = V_0 \cos\left(\Omega t + \varphi_0 - \frac{\pi}{2}\right)

  Le signal v_d(t) est en avance de phase de \pi/2 par rapport à v_{dQ}(t) (soit v_{dQ} en retard de phase de \pi/2 sur v_d).

• Si f_2 - f_1 < 0 : en tenant compte de la parité de \cos et de l'imparité de \sin,

  v_d(t) = V_0 \cos(\Omega t - \varphi_0) \quad \text{et} \quad v_{dQ}(t) = -V_0 \sin(\Omega t - \varphi_0) = V_0 \cos\left(\Omega t - \varphi_0 + \frac{\pi}{2}\right)

  Le signal v_d(t) est cette fois en retard de phase de \pi/2 par rapport à v_{dQ}(t) (soit v_{dQ} en avance de phase de \pi/2 sur v_d).

L'observation conjointe à l'oscilloscope (en mode temporel ou en mode XY, où la trajectoire de Lissajous est un cercle parcouru dans le sens horaire ou trigonométrique) permet donc de déterminer sans ambiguïté le signe de f_2 - f_1.

Sur l'intervalle [0, T_m[, la phase instantanée s'écrit :

Par définition de la fréquence instantanée :

Le signal v_e(t) étant T_m-périodique, la fréquence instantanée f(t) est également T_m-périodique. Pour tout k \in \mathbb{Z} et tout t \in [k T_m, (k+1)T_m[ :

La fréquence varie linéairement entre f_0 et f_0 + B au cours de chaque période de répétition : il s'agit d'une onde entretenue modulée en fréquence par des rampes linéaires (technique radar FMCW).

L'onde électromagnétique effectue un trajet aller-retour à la célérité c entre l'antenne radar et la cible située à la distance d, parcourant ainsi une distance totale 2d. Le retard de propagation s'écrit :

Pour d = 10\text{ km} = 1{,}0 \times 10^4\text{ m} et c \approx 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

L'énoncé indiquant que T_m est de l'ordre de quelques dixièmes de seconde (T_m \sim 0{,}1\text{ s} à 0{,}3\text{ s}), on constate que :

Le signal d'écho v_r(t) possède la fréquence instantanée f_r(t) = f(t - \tau). La courbe de f_r(t) se déduit donc de celle de f(t) par une translation vers la droite d'une durée \tau = T_m/10.

D'après l'étude menée dans la section I (questions Q18 et Q20), le multiplieur suivi du filtre passe-bas réalise une détection synchrone qui isole la fréquence différentielle entre les deux signaux d'entrée v_e(t) et v_r(t). La fréquence instantanée du signal démodulé v_d(t) s'écrit donc :

Sur la quasi-totalité de la période de répétition, c'est-à-dire pour t \in [\tau, T_m[, les fréquences instantanées s'expriment à l'aide de la question Q22 par :

La différence de fréquence entre le signal émis et le signal réfléchi est donc rigoureusement constante sur cet intervalle :

En substituant l'expression du temps de vol aller-retour \tau = \dfrac{2d}{c} établie à la question Q23, on obtient :

Puisque \tau \ll T_m, cette fréquence de battement f_d est stationnaire sur plus de 99 % de chaque période T_m. Sa mesure par analyse spectrale permet donc d'accéder directement à la distance d de la cible par :

1. Phénomène de repliement de spectre (ou aliasing) : L'échantillonnage temporel régulier d'un signal analogique à la période T_e (fréquence d'échantillonnage f_e = 1/T_e) entraîne la périodisation de son spectre fréquentiel avec une période f_e. Si le signal initial comporte des composantes fréquentielles supérieures à la fréquence de Nyquist :

les répliques spectrales se chevauchent. Des composantes de fréquence f > f_e/2 viennent alors se superposer dans la bande de base [0, \, f_e/2] et apparaissent faussement sous la forme de composantes de fréquence apparente |f - k f_e| (notamment f_e - f). Cette altération irréversible de l'information spectrale constitue le phénomène de repliement du spectre.

2. Moyens de s'en prémunir : Pour s'en prémunir, deux actions complémentaires sont nécessaires :

1. Respecter le théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist : la fréquence d'échantillonnage doit être strictement supérieure au double de la fréquence maximale f_{\max} contenue dans le signal :

   \boxed{f_e > 2 f_{\max}}

2. En pratique, le signal étant souvent bruité ou de largeur spectrale non strictement bornée, intercaler en amont de l'échantillonneur un filtre passe-bas analogique, dit filtre anti-repliement, coupant les composantes fréquentielles au-delà de la fréquence de Nyquist :

   \boxed{f_c \le \frac{f_e}{2}}

D'après le préambule de la section III.1, les fréquences discrètes analysées par la TFD sont définies par :

L'écart entre deux fréquences consécutives du spectre discret, qui correspond au pas d'échantillonnage en fréquence et définit la précision (ou résolution) spectrale, s'écrit :

où N_e T_e représente la durée totale d'acquisition du signal.

Calculons la valeur numérique de la résolution spectrale dans les deux cas :

• Spectre de gauche (N_e = 100 et T_e = 2\text{ ms} = 2 \times 10^{-3}\text{ s}) :

  \delta f_{\text{gauche}} = \frac{1}{100 \times 2 \times 10^{-3}\text{ s}} = 5\text{ Hz}
  \boxed{\delta f_{\text{gauche}} = 5\text{ Hz}}

• Spectre de droite (N_e = 100 et T_e = 0{,}5\text{ ms} = 0{,}5 \times 10^{-3}\text{ s}) :

  \delta f_{\text{droite}} = \frac{1}{100 \times 0{,}5 \times 10^{-3}\text{ s}} = 20\text{ Hz}
  \boxed{\delta f_{\text{droite}} = 20\text{ Hz}}

Commentaire et analyse des spectres : Le signal v(t) comporte deux composantes monochromatiques distantes de :

• Spectre de gauche : La résolution spectrale vérifie \delta f_{\text{gauche}} = 5\text{ Hz} < |f_2 - f_1|. Le pas en fréquence est suffisamment fin pour séparer les deux composantes : on observe bien deux pics distincts centrés à 150\text{ Hz} et 160\text{ Hz}. Ce paramétrage est pleinement capable de révéler le contenu spectral de v(t).
• Spectre de droite : La résolution spectrale vaut \delta f_{\text{droite}} = 20\text{ Hz} > |f_2 - f_1|. Les deux fréquences étant distantes de seulement 10\text{ Hz}, elles tombent dans une même bande de largeur \delta f : elles ne peuvent être résolues et fusionnent en un pic large unique autour de 150\text{--}160\text{ Hz}, accompagné de fuites spectrales dues au fenêtrage temporel. Ce choix d'échantillonnage ne permet pas de discerner les deux fréquences du signal.

Un échantillon du signal v_d est prélevé à chaque rampe de modulation, soit avec une période d'échantillonnage :

La fréquence d'échantillonnage correspondante est :

D'après le théorème de Shannon-Nyquist (question Q25), pour éviter tout phénomène de repliement de spectre, la fréquence maximale mesurable dans le spectre de |f_r - f| est la demi-fréquence d'échantillonnage (fréquence de Nyquist) :

Application numérique :

D'après la relation (8) établie en Q15, les deux composantes principales du signal réfléchi se situent aux fréquences f_r - f = \pm f_B + f_D. Pour que ces deux pics soient détectés sans repliement de spectre, il faut que la fréquence la plus élevée en valeur absolue reste inférieure à f_{\max} :

Application numérique : avec f_B = 0{,}56\text{ Hz},

D'après la question Q15, le décalage Doppler s'écrit en valeur absolue :

On en déduit la vitesse maximale mesurable :

Application numérique : avec c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f = 29{,}85\text{ MHz} = 29{,}85 \times 10^6\text{ Hz} :

D'après l'étude menée à la question Q26, la résolution spectrale associée à un échantillonnage sur une durée totale d'acquisition T_a est égale au pas fréquentiel de la transformée de Fourier discrète :

Avec N = 4096 et T_m = 0{,}262\text{ s}, la durée d'acquisition vaut :

ce qui donne une résolution spectrale de :

D'après le résultat de la question Q15, la composante Doppler liée au courant marin de surface vérifie :

La variation de vitesse \Delta v_x discernable par le radar correspond donc à la résolution spectrale \delta f sur le décalage fréquentiel :

En effectuant l'application numérique avec f = 29{,}85\text{ MHz} et c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Pendant la durée d'une rampe de modulation T_m, on prélève M échantillons équidistants. La période d'échantillonnage associée s'écrit :

d'où une fréquence d'échantillonnage :

D'après le théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist, pour éviter tout phénomène de repliement de spectre, la fréquence maximale f_{d\,\max} que l'on peut extraire de l'analyse spectrale est la fréquence de Nyquist :

D'après le résultat de la question Q24, la fréquence de battement correspondant à une cible située à la distance d vaut :

Pour pouvoir mesurer la distance d'une cible jusqu'à la portée maximale d_{\max} = 50\text{ km}, il est nécessaire que la fréquence f_d(d_{\max}) n'excède pas f_{d\,\max} :

La durée T_m se simplifie, ce qui conduit à la condition :

Avec les valeurs numériques fournies :

• B = 125\text{ kHz} = 1{,}25 \times 10^5\text{ Hz},
• d_{\max} = 50\text{ km} = 5{,}0 \times 10^4\text{ m},
• c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},

le calcul donne :

Il faut donc M \ge 84. Pour optimiser la mise en œuvre de la transformée de Fourier discrète par un algorithme de transformée de Fourier rapide (FFT), on choisit une puissance de 2 :

Les M échantillons de la tension démodulée v_d sont acquis sur la durée d'une unique rampe de modulation, soit une durée d'observation T_{\text{obs}} = T_m = M T_e. D'après le résultat général de la transformée de Fourier discrète rappelé en Q26, la résolution spectrale (pas entre deux raies consécutives) s'écrit :

Avec T_m = 0{,}262\text{ s}, on obtient :

D'après la relation liant la distance de la cible à la fréquence démodulée établie à la question Q24 :

la résolution en distance \Delta d correspondant au plus petit écart résoluble en fréquence \delta f_d est donnée par :

soit :

Avec la célérité de la lumière c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et la largeur de bande B = 125\text{ kHz} = 1{,}25 \times 10^5\text{ Hz} :