Feuille d'entraînement : Mécanique du solide

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2023, Q28

   Le circuit tourne autour de l'axe fixe (Oz) à la vitesse angulaire \vec{\omega} = \omega \vec{e}_z constante. D'après le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au rotor par rapport à cet axe :

   J \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = \Gamma_{L,z} + \Gamma_{\text{ext},z} = 0

   où J est le moment d'inertie du rotor, \vec{\Gamma}_L le couple de Laplace déterminé à la question Q27 et \vec{\Gamma}_{\text{ext}} le couple exercé par un opérateur extérieur (en pratique la turbine à vapeur).

   Le couple instantané à exercer s'écrit donc :

   \vec{\Gamma}_{\text{ext}} = -\vec{\Gamma}_L = \frac{16 N^2 a^4 B_0^2 \omega}{R}\sin^2\theta\,\vec{e}_z

   En moyenne temporelle, la valeur moyenne de \sin^2(\omega t) valant \frac{1}{2}, le couple moyen à fournir est :

   \langle \vec{\Gamma}_{\text{ext}} \rangle = \frac{8 N^2 a^4 B_0^2 \omega}{R}\,\vec{e}_z

   \boxed{\vec{\Gamma}_{\text{ext}} = \frac{16 N^2 a^4 B_0^2 \omega}{R}\sin^2(\omega t)\,\vec{e}_z}

   La puissance instantanée développée par ce couple extérieur vaut :

   \mathcal{P}_{\text{ext}} = \vec{\Gamma}_{\text{ext}} \cdot \vec{\omega} = \frac{16 N^2 a^4 B_0^2 \omega^2}{R}\sin^2(\omega t) \ge 0

   Cette puissance est toujours positive (ou nulle aux passages par \theta = 0 \ [\pi]) : le couple exercé par la turbine est donc moteur. Il fournit l'énergie mécanique convertie sous forme électrique par l'alternateur.

   Résultat

   $${\vec{\Gamma }}_{\text{ext}}=\frac{16N^2{a}^4{B}_0^2\omega }{R}{\sin }^2(\omega t){\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2022, Q34

   Soit \Delta l'axe de rotation du pédalier passant par le centre O, orienté selon le sens du mouvement de rotation. Le moment scalaire de la force d'appui \vec{F}_{\text{pied}} par rapport à l'axe \Delta s'exprime par :

   \mathcal{M}_\Delta(\vec{F}_{\text{pied}}) = (\overrightarrow{OA} \wedge \vec{F}_{\text{pied}}) \cdot \vec{u}_\Delta = F_{\text{pied}} \cdot b

   où b est le bras de levier de la force par rapport à l'axe \Delta.

   • Situation (a) : La manivelle [OA] est horizontale, c'est-à-dire perpendiculaire à la force \vec{F}_{\text{pied}} qui est verticale descendante. La distance entre l'axe de rotation et la droite d'action de la force est donc égale à la longueur d de la manivelle :

     b_a = d

     Le moment de la force par rapport à l'axe s'écrit alors :

     \boxed{\mathcal{M}_a = F_{\text{pied}} \, d}

     Numériquement :

     \mathcal{M}_a = 50 \times 0{,}20 = 10\text{ N}\cdot\text{m}

   • Situation (b) : La droite d'action de la force \vec{F}_{\text{pied}} passe directement par l'axe de rotation O du pédalier (les vecteurs \overrightarrow{OA} et \vec{F}_{\text{pied}} sont colinéaires). Le bras de levier est donc nul :

     b_b = 0

     Le moment de la force par rapport à l'axe est par conséquent nul :

     \boxed{\mathcal{M}_b = 0}

   Résultat

   $${\mathcal{M}}_a=F_{\text{pied}}d$$

   $${\mathcal{M}}_b=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2022, Q35

   D'après les résultats de la question précédente (Q34), les moments de la force exercée par le vacancier dans les deux configurations extrêmes valent :

   \begin{aligned} \mathcal{M}_a &= F_{\text{pied}}\,d = 10\text{ N}\cdot\text{m} \\ \mathcal{M}_b &= 0\text{ N}\cdot\text{m} \end{aligned}

   Le moment moyen \mathcal{M}_m exercé sur le pédalier est défini par la moyenne arithmétique de ces deux valeurs :

   \mathcal{M}_m = \frac{\mathcal{M}_a + \mathcal{M}_b}{2} = \frac{F_{\text{pied}}\,d}{2} = \frac{10 + 0}{2} = 5\text{ N}\cdot\text{m}

   Le pédalier tournant à la vitesse angulaire constante \omega = 10\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} autour de son axe, la puissance mécanique moyenne développée par le vacancier s'écrit :

   \mathcal{P}_m = \mathcal{M}_m\,\omega = \frac{1}{2}\,F_{\text{pied}}\,d\,\omega

   Application numérique :

   \mathcal{P}_m = 5 \times 10 = 50\text{ W}

   \boxed{\mathcal{P}_m = 50\text{ W}}

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_m=50\text{ W}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2021, Q12

   On étudie le balancier, solide indéformable en rotation autour de l'axe fixe (Oz), dans un référentiel galiléen.

   On introduit le moment d'inertie du balancier par rapport à l'axe (Oz), noté J (exprimé en \mathrm{kg\cdot m^2}). Le moment cinétique scalaire du balancier par rapport à cet axe s'écrit :

   L_z = J \dot{\theta}

   où \dot{\theta} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} est la vitesse angulaire de rotation.

   Bilan des actions mécaniques appliquées au balancier et de leurs moments par rapport à l'axe (Oz) :

   • Le couple de rappel exercé par le ressort spiral, dont le moment scalaire selon Oz est donné par l'énoncé : \mathcal{M}_r = -C\theta (avec C > 0).
   • Les actions de liaison sur l'axe de rotation : la liaison pivot étant sans frottement, le moment correspondant selon l'axe est nul (\mathcal{M}_{\text{liaison}} = 0).
   • Le poids du balancier : le centre de gravité étant situé sur l'axe de rotation (Oz) (et l'axe étant vertical), le moment du poids par rapport à (Oz) est identiquement nul (\mathcal{M}_{\text{poids}} = 0).

   D'après le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe fixe (Oz) :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t} &= \sum \mathcal{M}_{z,\text{ext}} \\ J \ddot{\theta} &= -C \theta \end{aligned}

   ce qui conduit à l'équation différentielle :

   \boxed{\ddot{\theta}(t) + \frac{C}{J}\,\theta(t) = 0}

   Résultat

   $$\ddot{\theta }(t)+\frac{C}{J}\theta (t)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2021, Q13

   D'après l'équation différentielle obtenue à la question Q12 :

   \ddot{\theta}(t) + \frac{C}{J}\,\theta(t) = 0

   Il s'agit de l'équation d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre :

   \omega_0 = \sqrt{\frac{C}{J}}

   La solution générale s'écrit sous la forme :

   \theta(t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t)

   où A et B sont des constantes réelles fixées par les conditions initiales :

   \begin{aligned} \theta(0) &= A = \theta_0 \\ \dot{\theta}(0) &= B\omega_0 = 0 \implies B = 0 \end{aligned}

   On en déduit l'expression de la position angulaire en fonction du temps :

   \boxed{\theta(t) = \theta_0 \cos\left(\sqrt{\frac{C}{J}}\, t\right)}

   La période T_0 du mouvement harmonique est alors donnée par :

   T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}

   soit :

   \boxed{T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{J}{C}}}

   Résultat

   $$\theta (t)={\theta }_0\cos \left(\sqrt{\frac{C}{J}}t\right)$$

   $$T_0=2\pi \sqrt{\frac{J}{C}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2021, Q14

   Le système d'échappement à ancre remplit deux rôles fondamentaux et indissociables dans une pièce d'horlogerie mécanique :

   1. L'entretien des oscillations (apport d'énergie) : en réalité, le balancier subit des frottements mécaniques et aérodynamiques inévitables. À chaque alternance, la roue d'échappement (entraînée par la réserve d'énergie : ressort moteur ou poids) donne une brève impulsion mécanique à l'ancre, qui la transmet au balancier. Cet apport compense exactement l'énergie dissipée par frottement et maintient l'amplitude des oscillations constante.
   2. Le cadencement et le comptage du temps : en oscillant, l'ancre bloque puis libère dent par dent la roue d'échappement au rythme précis imposé par la période propre T_0 du balancier-spiral. Ce mécanisme empêche le rouage moteur de se dérouler en roue libre et permet d'entraîner les aiguilles à une vitesse moyenne rigoureusement constante, réalisant ainsi la mesure du temps écoulé (le fameux « tic-tac » de la montre).

   Indice, stratégie et pièges de cette question