Feuille d'entraînement : Ondes acoustiques

6 questions · filière MPSI · durée estimée environ 21 min

Seulement 6 questions corrigées pour ces critères à ce jour.

Énoncés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2020, Q1· Application directe· ≈ 4 min
En introduisant une constante spatiale et temporelle $k_{f}$ , indiquer l'expression correcte de cette onde stationnaire: A) $Ψ_{f} (x, t) = ψ_{m} sin (2 π f t - k_{f} x)$ B) $Ψ_{f} (x, t) = ψ_{m} cos (2 π f t) sin (k_{f} x)$ C) $Ψ_{f} (x, t) = ψ_{m} sin (2 π f t) sin (k_{f} x)$ D) $Ψ_{f} (x, t) = ψ_{m} cos (2 π f t) cos (k_{f} x)$
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2020, Q2· Application directe· ≈ 4 min
Calculer numériquement la fréquence $f_{1, f}$ de l'harmonique fondamentale. A) $f_{1, f} \approx 6 mHz$ B) $f_{1, f} \approx 12 mHz$ C) $f_{1, f} = 42, 5 Hz$ D) $f_{1, f} = 85 Hz$
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2020, Q3· Application directe· ≈ 3 min
En introduisant l'entier $n > 0$ , déterminer l'expression des longueurs d'ondes $λ_{n}$ des ondes stationnaires qui peuvent exister dans le tuyau: A) $λ_{n} = \frac{L}{n}$ B) $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ C) $λ_{n} = n L$ D) $λ_{n} = 2 n L$
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2020, Q4· Intermédiaire· ≈ 3 min
Le bouchon est désormais retiré. On observe alors une nouvelle onde stationnaire dans le tuyau, notée $Ψ_{o} (x, t)$ , de même amplitude $ψ_{m}$ . L'ouverture du tuyau modifie les conditions aux limites, la condition initiale restant la même:
$Ψ_{o} (0, t) = 0, Ψ_{o} (L, t) = ψ_{m} et Ψ_{o} (x, 0) = 0$
En introduisant une nouvelle constante spatiale et temporelle $k_{o}$ , déterminer l'expression de $Ψ_{o} (x, t)$ : A) $Ψ_{o} (x, t) = ψ_{m} sin (2 π f t + k_{o} x)$ B) $Ψ_{o} (x, t) = ψ_{m} cos (2 π f t) sin (k_{o} x)$ C) $Ψ_{o} (x, t) = ψ_{m} sin (2 π f t) sin (k_{o} x)$ D) $Ψ_{o} (x, t) = ψ_{m} sin (2 π f t) cos (k_{o} x)$
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2020, Q5· Application directe· ≈ 3 min
Calculer numériquement la fréquence $f_{1, o}$ de l'harmonique fondamentale. A) $f_{1, o} \approx 6 mHz$ B) $f_{1, o} \approx 12 mHz$ C) $f_{1, o} = 42, 5 Hz$ D) $f_{1, o} = 85 Hz$
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2020, Q6· Intermédiaire· ≈ 4 min
En introduisant l'entier $m > 0$ , déterminer l'expression des longueurs d'ondes $λ_{m}$ des ondes stationnaires qui peuvent exister dans le tuyau: A) $λ_{m} = \frac{L}{2 m}$ B) $λ_{m} = \frac{L}{m}$ C) $λ_{m} = \frac{L}{m /2 + 1/4}$ D) $λ_{m} = \frac{L}{m + 1/2}$

Corrigés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2020, Q1
Une onde stationnaire s'exprime sous une forme à variables séparées g(x) h(t), ce qui exclut d'emblée la proposition A qui représente une onde progressive se propageant selon les x croissants.
Testons les conditions fournies par l'énoncé sur les formes factorisées :
- Condition aux limites en x = 0 :
  \Psi_f(0,t) = 0 \quad \forall t
  Pour la proposition D, on aurait \Psi_f(0,t) = \psi_m \cos(2\pi f t)\cos(0) = \psi_m \cos(2\pi f t) \neq 0. La proposition D est donc éliminée. Les propositions B et C vérifient bien \sin(k_f \times 0) = 0.
- Condition initiale en t = 0 :
  \Psi_f(x,0) = 0 \quad \forall x
  - Pour B : \Psi_f(x,0) = \psi_m \cos(0)\sin(k_f x) = \psi_m \sin(k_f x) \neq 0 pour x quelconque.
  - Pour C : \Psi_f(x,0) = \psi_m \sin(0)\sin(k_f x) = 0 pour tout x.
Seule l'expression C vérifie simultanément la nature stationnaire de l'onde, la condition aux limites en x=0 et la condition initiale à t=0.
\boxed{\text{Réponse C : } \Psi_f(x, t) = \psi_m \sin(2\pi f t) \sin(k_f x)}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponse C : Ψ_{f} (x, t) = ψ_{m} sin (2 π f t) sin (k_{f} x)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2020, Q2
D'après la question précédente, la fonction d'onde stationnaire s'écrit :
\Psi_f(x, t) = \psi_m \sin(2\pi f t)\sin(k_f x)
La condition aux limites en x = L impose que pour tout instant t :
\Psi_f(L, t) = \psi_m \sin(2\pi f t)\sin(k_f L) = 0
Cette égalité n'étant pas identiquement nulle pour une onde d'amplitude \psi_m \neq 0, elle nécessite :
\sin(k_f L) = 0 \implies k_f L = n\pi \quad (n \in \mathbb{N}^*)
Or, la constante spatiale k_f est reliée à la fréquence f et à la célérité du son c_s par la relation de dispersion acoustique k_f = \frac{2\pi f}{c_s}. Les fréquences propres du tuyau fermé sont donc :
f_{n,f} = n\frac{c_s}{2L}
Le mode fondamental correspond à n = 1, d'où l'expression de la fréquence fondamentale :
f_{1,f} = \frac{c_s}{2L}
Application numérique :
\begin{aligned} c_s &= 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \\ L &= 2\text{ m} \\ f_{1,f} &= \frac{340}{2 \times 2} = 85\text{ Hz} \end{aligned}
\boxed{f_{1,f} = 85\text{ Hz}\quad (\text{réponse D})}
Résultat
$f_{1, f} = 85 Hz (r \overset{e}{ˊ} ponse D)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2020, Q3
D'après la question 1, l'onde stationnaire en présence du bouchon s'écrit :
\Psi_f(x, t) = \psi_m \sin(2\pi f t)\sin(k_f x)
La condition aux limites en x = L impose que, pour tout instant t :
\Psi_f(L, t) = 0 \iff \sin(k_f L) = 0
Ce qui conduit à la quantification de la constante spatiale k_f par :
k_{f, n} L = n\pi \quad \text{avec } n \in \mathbb{N}^*
La longueur d'onde \lambda_n étant reliée au nombre d'onde par k_{f, n} = \dfrac{2\pi}{\lambda_n}, on obtient :
\frac{2\pi}{\lambda_n} L = n\pi
d'où :
\boxed{\lambda_n = \frac{2L}{n}}
La bonne réponse est l'affirmation B.
Résultat
$λ_{n} = \frac{2 L}{n}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2020, Q4
Une onde stationnaire est caractérisée par une factorisation des dépendances spatiale et temporelle sous la forme :
\Psi_o(x,t) = f(x)\,g(t)
- La proposition A représente une onde progressive se propageant vers les x décroissants, et non une onde stationnaire. Elle est donc exclue.
- La condition initiale \Psi_o(x,0) = 0 pour tout x impose que la dépendance temporelle s'annule en t=0. Pour la proposition B, \Psi_o(x,0) = \psi_m \sin(k_o x) \neq 0, ce qui ne vérifie pas la condition initiale.
- La condition à la limite en x=0, \Psi_o(0,t) = 0 pour tout t, impose que la dépendance spatiale s'annule en x=0. Pour la proposition D, \Psi_o(0,t) = \psi_m \sin(2\pi f t) \cos(0) = \psi_m \sin(2\pi f t) \neq 0, ce qui ne vérifie pas la condition en x=0.
- Pour la proposition C, on vérifie aisément que :
  \Psi_o(0,t) = \psi_m \sin(2\pi f t) \sin(0) = 0
  \Psi_o(x,0) = \psi_m \sin(0) \sin(k_o x) = 0
  L'extrémité ouverte en x=L constitue un ventre d'amplitude \psi_m, ce qui impose |\sin(k_o L)| = 1.
L'expression correcte est donc donnée par la proposition C.
\boxed{\text{Réponse C : } \Psi_o(x, t) = \psi_m \sin(2\pi ft) \sin(k_o x)}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponse C : Ψ_{o} (x, t) = ψ_{m} sin (2 π f t) sin (k_{o} x)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2020, Q5
D'après la question Q4, l'onde stationnaire dans le tuyau ouvert en son extrémité x=L a pour expression :
\Psi_o(x, t) = \psi_m \sin(2\pi f t)\sin(k_o x)
L'extrémité x=L étant ouverte, l'amplitude spatiale y est maximale, ce qui impose la condition aux limites :
|\sin(k_o L)| = 1 \implies k_o L = \frac{\pi}{2} + m\pi \quad (m \in \mathbb{N})
Pour l'harmonique fondamentale (mode de fréquence la plus basse non nulle, correspondant à m=0), la pulsation spatiale vérifie :
k_{1,o} L = \frac{\pi}{2}
La constante spatiale est reliée à la fréquence par la relation de dispersion acoustique non dispersive k_{1,o} = \frac{2\pi f_{1,o}}{c_s}, d'où :
\frac{2\pi f_{1,o}}{c_s} L = \frac{\pi}{2} \implies f_{1,o} = \frac{c_s}{4L}
Avec c_s = 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et L = 2\text{ m} :
f_{1,o} = \frac{340}{4 \times 2} = 42{,}5\text{ Hz}
La réponse correcte est donc la proposition C.
\boxed{f_{1,o} = 42{,}5\text{ Hz}}
Résultat
$f_{1, o} = 42, 5 Hz$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2020, Q6
D'après la question Q4, l'onde stationnaire dans le tuyau ouvert en x=L s'écrit :
\Psi_o(x,t) = \psi_m \sin(2\pi f t)\sin(k_o x)
L'extrémité x = L étant ouverte, l'amplitude des oscillations y est maximale (ventre de vibration), ce qui impose :
|\sin(k_o L)| = 1
Cette condition est réalisée lorsque :
k_o L = \frac{\pi}{2} + m \pi = (2m + 1)\frac{\pi}{2} \quad \text{avec } m \in \mathbb{N}
En reliant le vecteur d'onde k_o à la longueur d'onde \lambda_m par k_o = \dfrac{2\pi}{\lambda_m}, on obtient :
\frac{2\pi L}{\lambda_m} = (2m + 1)\frac{\pi}{2} \iff L = (2m + 1)\frac{\lambda_m}{4} = \left(\frac{m}{2} + \frac{1}{4}\right)\lambda_m
Il vient donc :
\boxed{\lambda_m = \frac{L}{\frac{m}{2} + \frac{1}{4}}}
ce qui correspond à la proposition C.
Résultat
$λ_{m} = \frac{L}{\frac{m}{2} + \frac{1}{4}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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