Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2022 (page 2/3 : Partie 2)

Le problème présente une invariance par translation selon les directions orthogonales à l'axe (OX) et le semi-conducteur n'est soumis à aucun champ extérieur. Le champ électrique est donc purement longitudinal : \vec{E} = E(X)\,\vec{e}_X.

L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit dans ce milieu diélectrique de permittivité \varepsilon :

En l'absence de champ extérieur et du fait de la neutralité électrique des zones hors de la ZCE, le champ électrique est nul pour X < X_{\mathrm{A}} et pour X > X_{\mathrm{D}} :

Par intégration de part et d'autre de la frontière X = 0 :

• Pour X \in [X_{\mathrm{A}},\, 0], la densité de charge vaut \rho(X) = -e N_{\mathrm{A}}. La continuité de E en X = X_{\mathrm{A}} donne E(X_{\mathrm{A}}) = 0, d'où :

  \begin{aligned} E(X) - E(X_{\mathrm{A}}) &= \int_{X_{\mathrm{A}}}^X -\frac{e N_{\mathrm{A}}}{\varepsilon}\,\mathrm{d}X' \\ E(X) &= -\frac{e N_{\mathrm{A}}}{\varepsilon}(X - X_{\mathrm{A}}) \end{aligned}

• Pour X \in [0,\, X_{\mathrm{D}}], la densité de charge vaut \rho(X) = +e N_{\mathrm{D}}. La continuité de E en X = X_{\mathrm{D}} donne E(X_{\mathrm{D}}) = 0, d'où :

  \begin{aligned} E(X) - E(X_{\mathrm{D}}) &= \int_{X_{\mathrm{D}}}^X \frac{e N_{\mathrm{D}}}{\varepsilon}\,\mathrm{d}X' \\ E(X) &= \frac{e N_{\mathrm{D}}}{\varepsilon}(X - X_{\mathrm{D}}) \end{aligned}

On résume ainsi l'expression de E(X) :

La répartition de charge étant purement volumique (absence de nappe de charge surfacique en X = 0), le champ électrique est continu en X = 0 :

soit, en simplifiant par e/\varepsilon et en remarquant que X_{\mathrm{A}} < 0 :

Interprétation : En multipliant par la charge élémentaire e et une section droite S de la diode, cette égalité devient :

Elle exprime la neutralité électrique globale de la zone de charge d'espace : la charge totale des ions fixes accepteurs négatifs créés par le départ des trous de la zone P compense exactement la charge des ions donneurs positifs laissés par les électrons ayant quitté la zone N.

Le potentiel électrostatique \psi(X) est relié au champ électrique par :

avec la condition imposée \psi(0) = 0\text{ V}.

1. Expression du potentiel selon les différentes zones :

• Pour X \in [X_{\mathrm{A}}, 0] : d'après la question Q13, E(X) = -\dfrac{eN_{\mathrm{A}}}{\varepsilon}(X - X_{\mathrm{A}}), d'où :

  \psi(X) = \int_0^X \frac{eN_{\mathrm{A}}}{\varepsilon}(X' - X_{\mathrm{A}})\,\mathrm{d}X' = \frac{eN_{\mathrm{A}}}{\varepsilon}\left(\frac{X^2}{2} - X_{\mathrm{A}}X\right)

  En particulier, pour X = X_{\mathrm{A}} :

  \psi(X_{\mathrm{A}}) = \frac{eN_{\mathrm{A}}}{\varepsilon}\left(\frac{X_{\mathrm{A}}^2}{2} - X_{\mathrm{A}}^2\right) = -\frac{eN_{\mathrm{A}}X_{\mathrm{A}}^2}{2\varepsilon}

• Pour X < X_{\mathrm{A}} : le champ est nul (E = 0), le potentiel est donc uniforme et continu en X_{\mathrm{A}} :

  \psi(X) = \psi(X_{\mathrm{A}}) = -\frac{eN_{\mathrm{A}}X_{\mathrm{A}}^2}{2\varepsilon}

• Pour X \in [0, X_{\mathrm{D}}] : d'après la question Q13, E(X) = \dfrac{eN_{\mathrm{D}}}{\varepsilon}(X - X_{\mathrm{D}}), d'où :

  \psi(X) = -\int_0^X \frac{eN_{\mathrm{D}}}{\varepsilon}(X' - X_{\mathrm{D}})\,\mathrm{d}X' = \frac{eN_{\mathrm{D}}}{\varepsilon}\left(X_{\mathrm{D}}X - \frac{X^2}{2}\right)

  En particulier, pour X = X_{\mathrm{D}} :

  \psi(X_{\mathrm{D}}) = \frac{eN_{\mathrm{D}}X_{\mathrm{D}}^2}{2\varepsilon}

• Pour X > X_{\mathrm{D}} : le champ est nul (E = 0), le potentiel est donc uniforme et continu en X_{\mathrm{D}} :

  \psi(X) = \psi(X_{\mathrm{D}}) = \frac{eN_{\mathrm{D}}X_{\mathrm{D}}^2}{2\varepsilon}

En résumé :

2. Expression du potentiel de diffusion V_{\mathrm{d}} : Par définition :

En utilisant la relation de neutralité -N_{\mathrm{A}}X_{\mathrm{A}} = N_{\mathrm{D}}X_{\mathrm{D}} et la largeur W = X_{\mathrm{D}} - X_{\mathrm{A}}, on peut également écrire :

3. Phénomène contrebalançant la diffusion : La migration croisée des porteurs par diffusion (électrons de N vers P, trous de P vers N) fait apparaître une zone de charge d'espace et un champ électrique interne \vec{E} = E(X)\vec{e}_X dirigé de N vers P (E(X) < 0). Ce champ exerce une force électrique \vec{F} = q\vec{E} qui entraîne un courant de conduction (ou dérive) opposé au courant de diffusion :

• les trous (q = +e) subissent une force vers la région P ;
• les électrons (q = -e) subissent une force vers la région N.

C'est donc le courant de conduction (ou de dérive), induit par le champ électrique interne régnant dans la ZCE, qui contrebalance la diffusion particulaire et conduit à un équilibre stationnaire (courant total nul).

D'après les résultats obtenus aux questions précédentes :

• Densité volumique de charge \rho(X) (figure 5 reproduite) :

  \rho(X) = \begin{cases} 0 & \text{pour } X < X_{\mathrm{A}} \\ -e N_{\mathrm{A}} & \text{pour } X_{\mathrm{A}} < X < 0 \\ +e N_{\mathrm{D}} & \text{pour } 0 < X < X_{\mathrm{D}} \\ 0 & \text{pour } X > X_{\mathrm{D}} \end{cases}

  avec la condition de neutralité globale N_{\mathrm{A}}|X_{\mathrm{A}}| = N_{\mathrm{D}}X_{\mathrm{D}} (égalités des aires sous l'axe et sur l'axe).

• Champ électrique E(X) (question 13) :

  • E(X) = 0 pour X \leqslant X_{\mathrm{A}} et X \geqslant X_{\mathrm{D}} ;
  • sur [X_{\mathrm{A}}, 0], E(X) = -\dfrac{eN_{\mathrm{A}}}{\varepsilon}(X - X_{\mathrm{A}}) décroît linéairement de 0 à une valeur minimale E(0) = \dfrac{eN_{\mathrm{A}}X_{\mathrm{A}}}{\varepsilon} < 0 ;
  • sur [0, X_{\mathrm{D}}], E(X) = \dfrac{eN_{\mathrm{D}}}{\varepsilon}(X - X_{\mathrm{D}}) croît linéairement de E(0) = -\dfrac{eN_{\mathrm{D}}X_{\mathrm{D}}}{\varepsilon} à 0 ;
  • E(X) est continu sur tout \mathbb{R}, toujours négatif ou nul (orienté de N vers P).

• Potentiel électrique \psi(X) (question 14) :

  • pour X \leqslant X_{\mathrm{A}}, \psi(X) = \psi(X_{\mathrm{A}}) = -\dfrac{e N_{\mathrm{A}} X_{\mathrm{A}}^2}{2\varepsilon} (palier horizontal négatif) ;
  • sur [X_{\mathrm{A}}, 0], \psi(X) est un arc de parabole convexe (\psi'' > 0), à tangente horizontale en X = X_{\mathrm{A}} et passant par \psi(0) = 0 ;
  • sur [0, X_{\mathrm{D}}], \psi(X) est un arc de parabole concave (\psi'' < 0), passant par (0,0), de tangente horizontale en X = X_{\mathrm{D}} où \psi(X_{\mathrm{D}}) = \dfrac{e N_{\mathrm{D}} X_{\mathrm{D}}^2}{2\varepsilon} > 0 ;
  • pour X \geqslant X_{\mathrm{D}}, \psi(X) = \psi(X_{\mathrm{D}}) (palier horizontal positif) ;
  • la différence entre les deux paliers définit le potentiel de diffusion V_{\mathrm{d}} = \psi(X_{\mathrm{D}}) - \psi(X_{\mathrm{A}}).

Faisons le bilan des inconnues et des relations issues du traitement électrostatique :

• Il y a 3 inconnues physiques : les bornes de la zone de charge d'espace X_{\mathrm{A}} et X_{\mathrm{D}}, ainsi que la différence de potentiel de diffusion V_{\mathrm{d}}.

• L'étude électrostatique menée aux questions 13 et 14 ne fournit que 2 relations indépendantes reliant ces grandeurs :

  1. La condition de continuité du champ électrique en X = 0, traduisant la neutralité globale de la zone de charge d'espace (ZCE) :

     -N_{\mathrm{A}} X_{\mathrm{A}} = N_{\mathrm{D}} X_{\mathrm{D}}

  2. L'expression du potentiel de diffusion V_{\mathrm{d}} = \psi(X_{\mathrm{D}}) - \psi(X_{\mathrm{A}}) en fonction de la géométrie de la ZCE :

     V_{\mathrm{d}} = \frac{e}{2\varepsilon}\left(N_{\mathrm{D}} X_{\mathrm{D}}^2 + N_{\mathrm{A}} X_{\mathrm{A}}^2\right)

On dispose ainsi de 2 équations indépendantes pour 3 grandeurs inconnues.

Pendant l'intervalle de temps [q\tau, (q+1)\tau] de durée \Delta t = \tau :

• Parmi les F(na, q\tau) particules situées en \mathrm{M}(na), chacune effectue un saut vers la droite vers \mathrm{M}((n+1)a) avec la probabilité p. Le nombre moyen de particules se déplaçant de \mathrm{M}(na) vers \mathrm{M}((n+1)a) est donc :

  N_{n \to n+1} = p\,F(na, q\tau)

• Symétriquement, parmi les F((n+1)a, q\tau) particules situées en \mathrm{M}((n+1)a), chacune effectue un saut vers la gauche vers \mathrm{M}(na) avec la même probabilité p. Le nombre moyen de particules effectuant ce déplacement est :

  N_{n+1 \to n} = p\,F((n+1)a, q\tau)

Le nombre net (algébrique) de particules ayant transité de gauche à droite à travers l'interface séparant \mathrm{M}(na) et \mathrm{M}((n+1)a) au cours de la durée \tau s'écrit donc :

Par définition, f_{n,q} représente ce nombre de particules par unité de temps, soit f_{n,q} = \frac{\Delta N}{\tau} :

D'après la question Q17, le nombre algébrique de particules traversant la section entre les sites na et (n+1)a par unité de temps s'écrit :

Dans la limite où le pas d'espace a et le pas de temps \tau sont très petits devant les échelles spatiales et temporelles de variation de F, on associe aux variables discrètes les coordonnées continues x = na et t = q\tau.

Un développement de Taylor à l'ordre un en a de la fonction continue F autour de l'abscisse x donne :

En reportant ce développement dans l'expression de f_{n,q}, il vient :

Dans la limite continue, l'expression de f_{n,q} devient donc :

Par définition, le flux particulaire surfacique \varphi(x, t) correspond au nombre algébrique de particules traversant l'unité de surface par unité de temps, selon l'axe des x croissants. La surface élémentaire transverse traversée entre deux cellules cubiques consécutives vaut S = a \times a = a^2, d'où :

D'après le résultat de la question 18, f(x, t) = -\dfrac{p a}{\tau} \dfrac{\partial F}{\partial x}. La concentration volumique étant définie par C(x, t) = \dfrac{F(x, t)}{a^3}, soit F(x, t) = a^3 C(x, t), il vient :

Par identification avec la relation constitutive de la diffusion (première loi de Fick) :

on obtient l'expression du coefficient de diffusion D :

La probabilité p étant sans dimension, la dimension du coefficient de diffusion D est :

Dans le Système international, D s'exprime en \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}.

Considérons une population de porteurs libres de charge q, de concentration C(X), de mobilité \mu_q et de coefficient de diffusion D_q le long de l'axe unidimensionnel (OX) :

• La densité de courant de conduction s'exprime, d'après la relation de Drude v = \mu_q E, par :

  j_{\text{cond}} = q\, C(X)\, v(X) = q\, \mu_q\, C(X)\, E(X)

• Le flux particulaire surfacique de diffusion étant donné par la première loi de Fick \varphi(X) = -D_q \dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}X} (équation (8)), la densité de courant de diffusion associée s'écrit :

  j_{\text{diff}} = q\, \varphi(X) = -q\, D_q \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}X}

À l'équilibre thermodynamique, en l'absence de tout apport extérieur d'énergie et de tout courant global, le courant associé à chaque type de porteur s'annule en tout point :

Comme q \neq 0 et E(X) = -\dfrac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}X}, cette condition devient :

Intégrons cette relation différentielle entre X = X_{\mathrm{A}} et X = X_{\mathrm{D}} :

soit, en notant \psi_{\mathrm{D}} = \psi(X_{\mathrm{D}}), \psi_{\mathrm{A}} = \psi(X_{\mathrm{A}}) et V_{\mathrm{d}} = \psi_{\mathrm{D}} - \psi_{\mathrm{A}} :

En prenant l'exponentielle, on obtient le résultat attendu :

D'après la relation d'Einstein (11), on a :

1. Raisonnement sur les trous libres (q = +e) : Pour les trous, la charge vaut q = +e, de sorte que :

D'après le tableau (2), les concentrations en trous aux frontières de la ZCE s'écrivent :

En injectant ces grandeurs dans la relation d'équilibre (10) issue de la question Q20, il vient :

En prenant le logarithme népérien, on obtient :

soit :

2. Vérification sur les électrons libres (q = -e) : Pour les électrons, la charge vaut q = -e, d'où \mu_n / D_n = -K. Les concentrations relevées dans le tableau (2) sont :

La relation (10) donne alors :

ce qui redonne immédiatement la même expression pour V_{\mathrm{d}}.

D'après le résultat de la question 21, le potentiel de diffusion s'exprime par :

À la température ambiante T = T_{\mathrm{a}}, les données sont :

• K = 40\text{ V}^{-1} ;
• N_{\mathrm{A}} = N_{\mathrm{D}} = 10^{16}\text{ cm}^{-3} ;
• n_{\mathrm{i}} \sim 10^{11}\text{ cm}^{-3} (question 11).

Calculons l'argument du logarithme :

En utilisant la valeur fournie \ln(10) \simeq 2, on obtient :

L'application numérique donne ainsi :

L'approximation du milieu continu pour la densité volumique de charge \rho(X) suppose que l'on puisse définir un volume mésoscopique élémentaire de dimension caractéristique \ell, petit devant l'échelle de variation spatiale du système (W), mais suffisamment grand pour contenir un nombre statistiquement significatif de charges discrètes.

Dans la zone de charge d'espace, les charges fixes sont portées par les impuretés ionisées de concentration N_{\mathrm{D}} = N_{\mathrm{A}} = 10^{16}\text{ cm}^{-3} = 10^{22}\text{ m}^{-3}. La distance moyenne d_{\mathrm{dop}} séparant deux impuretés dopantes voisines s'estime par :

Numériquement :

Comparons cette distance à la largeur W \sim 0{,}4\ \mu\mathrm{m} de la ZCE :

• Vis-à-vis du réseau cristallin hôte (d_{\mathrm{at}} \sim N_{\mathrm{at}}^{-1/3} \sim 0{,}25\text{ nm} d'après la question Q2), la ZCE est très largement macroscopique :

  \frac{W}{d_{\mathrm{at}}} \sim \frac{400\text{ nm}}{0{,}25\text{ nm}} \sim 1\,600 \gg 1

• Vis-à-vis des charges qui créent la densité \rho, le rapport vaut :

  \frac{W}{d_{\mathrm{dop}}} \sim \frac{0{,}4\ \mu\mathrm{m}}{0{,}05\ \mu\mathrm{m}} \sim 8\text{ à } 10

L'épaisseur de la ZCE n'englobe donc qu'environ une dizaine de « couches » de dopants dans la direction X. Cependant, le semi-conducteur est supposé de dimensions macroscopiques selon les directions orthogonales à (OX). Ainsi, une tranche d'épaisseur \Delta X vérifiant d_{\mathrm{dop}} \ll \Delta X \ll W et de surface transverse S contient un nombre N_{\mathrm{D}} S \Delta X \gg 1 considérable d'ions. Une moyenne spatiale sur la section transverse permet donc de définir une densité volumique de charge \rho(X) macroscopiquement continue.

Considérons le système fermé constitué de la diode PN, de la résistance R et des conducteurs de raccordement. Ce système est passif, isolé de toute source d'énergie extérieure (aucun éclairement, aucune réaction chimique consommable) et maintenu à l'équilibre thermique à la température ambiante uniforme T au contact d'un thermostat unique.

Supposons, par l'absurde, qu'un courant continu I \neq 0 circule de façon permanente dans ce circuit :

• La résistance dissiperait continûment une puissance par effet Joule :

  \mathcal{P}_{\mathrm{J}} = R I^2 > 0

• En régime permanent, l'état interne du système ne varie pas (\mathrm{d}U = 0, \mathrm{d}S_{\mathrm{syst}} = 0). D'après le premier principe de la thermodynamique, cette énergie dissipée vers l'extérieur devrait être intégralement compensée par une puissance thermique \mathcal{P}_Q prélevée sur le thermostat ambiant :

  \mathcal{P}_Q = \mathcal{P}_{\mathrm{J}} > 0

• Le second principe appliqué à l'ensemble {système + thermostat} conduit alors à un taux de création d'entropie :

  \frac{\mathrm{d}S_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}S_{\mathrm{syst}}}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathcal{P}_Q}{T} = -\frac{\mathcal{P}_{\mathrm{J}}}{T} < 0

Ceci est en contradiction flagrante avec le second principe, qui impose \mathrm{d}S_{\mathrm{c}}/\mathrm{d}t \geqslant 0.

Un tel dispositif constituerait un moteur monotherme (ou moteur perpétuel de deuxième espèce), transformant spontanément et intégralement de la chaleur issue d'une source unique en travail électrique dissipable, ce que proscrit l'énoncé de Kelvin-Planck.

À l'équilibre thermodynamique (V = 0\text{ V}), les courants de diffusion et de conduction se compensent exactement en tout point :

• le courant de diffusion est dû au gradient de concentration des porteurs majoritaires (diffusion des trous de P vers N et des électrons de N vers P), ce qui correspond à un courant électrique net dirigé de P vers N ;
• le courant de conduction (ou de dérive) est dû au champ électrique interne \vec{E} = -\dfrac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}X}\,\vec{e}_X régnant dans la ZCE, dirigé de N vers P (puisque \psi(X_{\mathrm{D}}) > \psi(X_{\mathrm{A}})), qui entraîne les charges en sens opposé au courant de diffusion.

Lorsque l'on applique une tension directe V > 0\text{ V}, la différence de potentiel vue par les porteurs à travers la ZCE devient, d'après l'hypothèse (H1) :

L'abaissement de cette barrière de potentiel a deux conséquences conjointes :

1. le champ électrique régnant dans la ZCE diminue en intensité, ce qui affaiblit le courant de conduction ;
2. une fraction bien plus importante de porteurs majoritaires possède une énergie thermique suffisante pour franchir la barrière de potentiel réduite, ce qui augmente considérablement le flux de diffusion (effet en \exp(KV)).

Par conséquent, dans le cas où V > 0\text{ V} :

Le courant électrique résultant est donc non nul et circule dans le sens direct, de P vers N.

Pour les trous libres, la charge est q = +e. D'après la relation d'Einstein (11), le rapport de mobilité sur le coefficient de diffusion vaut :

En appliquant la relation (10) aux trous libres avec l'hypothèse (H1), la différence de potentiel effective à travers la ZCE devient V_{\mathrm{d}} - V, de sorte que :

D'après l'hypothèse (H2), la concentration en porteurs majoritaires dans la zone P reste égale à sa valeur d'équilibre :

Par ailleurs, le résultat de la question 21 donne :

En injectant ces deux expressions dans le rapport des concentrations, on obtient :

soit :

À l'équilibre (V = 0\text{ V}), la concentration d'équilibre des trous minoritaires en X = X_{\mathrm{D}} vaut p_{\mathrm{N,éq}}(X_{\mathrm{D}}) = \frac{n_{\mathrm{i}}^2}{N_{\mathrm{D}}}. L'excès algébrique de concentration de trous en X = X_{\mathrm{D}} s'écrit donc :

soit finalement :

Considérons une tranche élémentaire de semi-conducteur située entre x et x + \mathrm{d}x, de section droite \mathcal{S} et de volume \mathrm{d}\mathcal{V} = \mathcal{S}\,\mathrm{d}x. Le nombre de trous libres présents dans ce volume à l'instant t vaut :

D'après l'hypothèse (H3), le domaine (4) est électriquement neutre et exempt de chute ohmique de potentiel, si bien que le champ électrique y est nul (E = 0). Le transport des trous minoritaires s'effectue donc uniquement par diffusion particulaire.

Pendant l'intervalle de temps [t, t + \mathrm{d}t], la variation élémentaire \mathrm{d}N_{\mathrm{trous}} = N_{\mathrm{trous}}(t + \mathrm{d}t) - N_{\mathrm{trous}}(t) résulte :

• du nombre de trous entrant en x : \delta N_{\mathrm{ent}} = \varphi(x, t)\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}t ;
• du nombre de trous sortant en x + \mathrm{d}x : \delta N_{\mathrm{sort}} = \varphi(x + \mathrm{d}x, t)\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}t ;

• du nombre de trous disparaissant par recombinaison volumique au taux S(x, t) :

  \delta N_{\mathrm{disp}} = S(x, t)\,\mathrm{d}\mathcal{V}\,\mathrm{d}t = \frac{\delta p_{\mathrm{N}}(x, t)}{\tau_{\mathrm{P}}}\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

Le bilan de matière s'écrit ainsi :

soit, en divisant par \mathcal{S}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t :

D'après l'équation (8), le flux particulaire surfacique de trous s'écrit :

puisque la concentration d'équilibre n_{\mathrm{i}}^2 / N_{\mathrm{D}} est uniforme. Il vient alors :

En régime stationnaire, \dfrac{\partial \delta p_{\mathrm{N}}}{\partial t} = 0, la fonction \delta p_{\mathrm{N}} ne dépend plus que de la variable d'espace x. L'équation devient :

En introduisant la longueur caractéristique de diffusion-recombinaison L_{\mathrm{P}} = \sqrt{D_{\mathrm{P}} \tau_{\mathrm{P}}}, on obtient finalement :

D'après la question 27, la surconcentration de porteurs minoritaires \delta p_{\mathrm{N}}(x) vérifie pour x \geqslant 0 l'équation différentielle :

L'équation caractéristique associée, r^2 - 1/L_{\mathrm{P}}^2 = 0, admet pour racines r = \pm 1/L_{\mathrm{P}}. La solution générale s'écrit donc sous la forme :

où A et B sont deux constantes d'intégration.

Condition aux limites en l'infini : La longueur du domaine (4) étant très largement supérieure à la longueur caractéristique L_{\mathrm{P}}, le domaine peut être modélisé comme semi-infini (x \to +\infty). À grande distance de la jonction, l'effet de l'injection s'estompe sous l'effet des recombinaisons et la concentration de trous doit retrouver sa valeur d'équilibre thermodynamique, ce qui impose :

Condition aux limites en x = 0 : En x = 0 (soit en X = X_{\mathrm{D}}), la surconcentration est donnée par le résultat de la question 26 :

On en déduit l'expression du profil de surconcentration de trous dans le domaine neutre N :

D'après l'hypothèse (H4), le courant de trous libres ne subit ni génération ni recombinaison lors de sa traversée de la ZCE. La densité surfacique de courant de trous J_{\mathrm{P}}, orientée algébriquement de P vers N (sens des X ou x croissants), est donc uniforme dans la ZCE et se déduit de sa valeur à la frontière d'entrée dans le domaine (4) en x = 0 :

Dans le domaine neutre N, le champ électrique macroscopique est négligeable en vertu de l'hypothèse (H3). Le transport des trous s'effectue dès lors exclusivement par diffusion particulaire. Avec une charge élémentaire q = +e pour les trous, la densité de courant de diffusion s'écrit, d'après la loi de Fick (équation (8)) :

En dérivant le profil d'excès de concentration établi à la question Q28 :

il vient au point d'abscisse x = 0 :

On en déduit l'expression de la densité de courant de trous traversant la ZCE :

Par symétrie de la jonction PN, le transport des électrons libres (minoritaires dans la région P) obéit aux mêmes lois de diffusion-recombinaison que celui des trous dans la région N. Les grandeurs se correspondent selon :

Les électrons diffusent de la région N vers la région P. Comme ils portent une charge négative -e, un flux particulaire dirigé selon les X décroissants (de N vers P) transporte une charge négative vers la gauche, ce qui équivaut à un courant électrique algébrique orienté de P vers N (selon + \vec{e}_X). En transposant le résultat de la question Q29, on obtient :

D'après l'hypothèse (H4), la recombinaison et la génération de porteurs sont négligeables au sein de la ZCE [X_{\mathrm{A}}, X_{\mathrm{D}}]. Par conséquent, les densités de courant de trous J_{\mathrm{P}} et d'électrons J_{\mathrm{N}} y sont uniformes. En régime stationnaire, la conservation de la charge impose que la densité de courant totale J = J_{\mathrm{P}} + J_{\mathrm{N}} soit constante le long de toute la structure.

En sommant les deux contributions, on obtient bien la relation de Shockley :

avec :

Interprétation physique de J_{\mathrm{inv}} :

• Lorsque la jonction est soumise à une tension inverse suffisamment importante (V < 0 avec |V| \gg 1/K \simeq 25\text{ mV}), le terme exponentiel s'annule (\exp\{KV\} \to 0) et la densité de courant sature à J \to -J_{\mathrm{inv}}. La grandeur J_{\mathrm{inv}} représente la densité de courant de saturation inverse (ou courant de fuite).
• Elle correspond au flux des porteurs minoritaires thermogénérés à moins d'une longueur de diffusion de la ZCE (n_{\mathrm{P}} côté P et p_{\mathrm{N}} côté N) qui atteignent la ZCE et sont drainés par le champ électrique interne régnant dans la jonction.

1. Détermination du courant de référence I_0

Lorsque \ln(I/I_0) = 0, on a I/I_0 = 1, soit I = I_0.

• Sur le tracé semi-logarithmique de droite de la figure (8), la droite coupe l'axe \ln(I/I_0) = 0 pour une tension :

  V \simeq 0{,}70\text{ V}

• En reportant cette tension sur le graphe de gauche I = I(V), on lit directement l'ordonnée correspondante :

  I(V = 0{,}70\text{ V}) \simeq 0{,}01\text{ A} = 10\text{ mA}

On en déduit la valeur du courant de référence :

2. Comparaison qualitative de la dépendance I(V)

D'après la relation (13) établie à la question Q30, la loi théorique s'écrit :

Pour V > 0 tel que KV \gg 1 (dès V \gtrsim 0{,}1\text{ V}), le terme exponentiel domine très largement et :

Le modèle prédit donc une droite de pente K en représentation semi-logarithmique. Expérimentalement, on observe :

• pour 0{,}35\text{ V} \leqslant V \leqslant 0{,}70\text{ V} : le tracé \ln(I/I_0) est remarquablement rectiligne, ce qui confirme qualitativement le comportement exponentiel du courant avec la tension ;
• pour V < 0{,}35\text{ V} : le courant devient extrêmement faible (I < 10^{-6}\text{ A}) et s'écarte de la droite théorique (bruit de mesure, courants de fuite superficiels) ;
• pour V > 0{,}70\text{ V} : la pente diminue et la courbe s'incurve vers le bas, traduisant une limitation du courant par rapport à la loi exponentielle pure.

3. Détermination de la valeur expérimentale de K

Sur la plage de fonctionnement exponentiel (0{,}40\text{ V} \leqslant V \leqslant 0{,}70\text{ V}), déterminons la pente de la droite :

• pour V_1 = 0{,}40\text{ V}, on lit \ln(I_1/I_0) \simeq -6{,}0 ;
• pour V_2 = 0{,}70\text{ V}, on lit \ln(I_2/I_0) \simeq 0{,}0.

La pente expérimentale vaut ainsi :

La valeur attendue à température ambiante, donnée dans l'énoncé, est :

On constate donc un facteur 2 d'écart :

ce qui correspond à un facteur d'idéalité de la diode \eta \simeq 2 dans la loi usuelle I \propto \exp\left(\frac{e V}{\eta k_{\mathrm{B}} T}\right).

4. Interprétation des écarts et remise en cause des hypothèses

• Écart sur la pente (K_{\mathrm{exp}} \approx K/2) : L'hypothèse (H4) négligeait tout phénomène de génération-recombinaison au sein même de la ZCE. Or, dans une diode réelle au silicium à température ambiante et sous polarisation modérée, le mécanisme dominant de transport est la recombinaison assistée par pièges (mécanisme Shockley-Read-Hall) dans la ZCE. Ce courant de recombinaison varie en \exp\left(\frac{e V}{2 k_{\mathrm{B}} T}\right) = \exp\left(\frac{KV}{2}\right), ce qui rend parfaitement compte de la pente mesurée K_{\mathrm{exp}} \simeq 20\text{ V}^{-1}.

• Incurvation pour V > 0{,}75\text{ V} :

  • L'hypothèse (H3) supposait l'absence totale de chute ohmique. Aux forts courants (I > 10\text{ mA}), la résistance ohmique résiduelle des zones quasi-neutres P et N et des contacts métalliques induit une chute de potentiel R_{\mathrm{s}} I. La tension effectivement appliquée aux bornes de la jonction est alors V_{\mathrm{j}} = V - R_{\mathrm{s}} I < V, ce qui fléchit la caractéristique.
  • L'hypothèse (H1) imposait |V| \ll V_{\mathrm{d}}. Or le potentiel de diffusion calculé à la question Q22 vaut V_{\mathrm{d}} \simeq 0{,}5\text{ V} à 0{,}7\text{ V}. Dès que V \gtrsim 0{,}7\text{ V}, la barrière de potentiel de la ZCE est presque totalement effacée ; on entre en régime de forte injection, invalidant également l'hypothèse (H2).