Feuille d'entraînement : Dispersion, paquets d'ondes et chaînes d'oscillateurs

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q9

   Une onde se propage le long de l'axe (Ox) si et seulement si la composante de son vecteur d'onde \underline{k}(x) est un réel non nul, ce qui équivaut à :

   \underline{k}^2(x) > 0

   D'après la relation de dispersion fournie :

   \underline{k}^2(x) = \frac{k_0^2 \omega^2}{\omega_r^2(x) - \omega^2}

   Comme k_0 > 0, \omega > 0 et \omega_r(x) > 0, le numérateur est strictement positif. La condition de propagation pour x \in [0, x_r[ s'écrit donc :

   \omega_r^2(x) - \omega^2 > 0 \iff \omega < \omega_r(x)

   \boxed{\omega < \omega_r(x) \quad \text{pour tout } x \in [0, x_r[}

   L'onde pénètre dans la cochlée en x = 0 et se propage dans le sens des x croissants jusqu'à atteindre en x = x_r le lieu d'absorption où cesse la propagation. Au-delà de x_r (x > x_r), l'onde ne se propage plus et devient évanescente, ce qui correspond à \underline{k}^2(x) < 0, soit \omega_r(x) < \omega.

   La fonction \omega_r(x) passe donc d'une valeur supérieure à \omega pour x < x_r à une valeur inférieure à \omega pour x > x_r. Puisque la fonction \omega_r est monotone, elle est nécessairement :

   \boxed{\omega_r(x) \text{ est strictement monotone décroissante.}}

   Au point d'absorption x = x_r, la propagation s'arrête à la frontière entre le domaine de propagation et le domaine évanescent. Le dénominateur de la relation de dispersion s'annule, ce qui correspond à une résonance (k(x) \to +\infty) :

   \boxed{\omega_r(x_r) = \omega}

   Résultat

   $$\omega <{\omega }_r(x)\text{pour tout }x\in [0,x_r[$$

   $${\omega }_r(x)\text{ est strictement monotone deˊcroissante.}$$

   $${\omega }_r(x_r)=\omega$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q10

   L'onde acoustique s'écrit sous la forme :

   \underline{p}(x,t) = A(x)\,\mathrm{e}^{-j\varphi(x)}\,\mathrm{e}^{j\omega t}

   Calculons les dérivées spatiales successives de \underline{p} par rapport à x :

   \begin{aligned} \frac{\partial \underline{p}}{\partial x} &= \left( A'(x) - j\varphi'(x)A(x) \right)\mathrm{e}^{j(\omega t - \varphi(x))} \\ \frac{\partial^2 \underline{p}}{\partial x^2} &= \left[ A''(x) - j\varphi''(x)A(x) - j\varphi'(x)A'(x) - j\varphi'(x)\left(A'(x) - j\varphi'(x)A(x)\right) \right]\mathrm{e}^{j(\omega t - \varphi(x))} \\ &= \left[ A''(x) - A(x)\left(\varphi'(x)\right)^2 - j\left( 2A'(x)\varphi'(x) + A(x)\varphi''(x) \right) \right]\mathrm{e}^{j(\omega t - \varphi(x))} \end{aligned}

   En injectant cette dérivée dans l'équation spatiale \dfrac{\partial^2 \underline{p}}{\partial x^2}(x,t) = -k^2(x)\,\underline{p}(x,t) et en simplifiant par le terme non nul \mathrm{e}^{j(\omega t - \varphi(x))}, il vient :

   A''(x) - A(x)\left(\varphi'(x)\right)^2 - j\left( 2A'(x)\varphi'(x) + A(x)\varphi''(x) \right) = -k^2(x)\,A(x)

   Puisque A(x), \varphi(x) et k^2(x) sont des grandeurs réelles pour x < x_r, l'identification des parties réelle et imaginaire conduit au système des deux équations différentielles :

   \boxed{\begin{cases} A''(x) - A(x)\left(\varphi'(x)\right)^2 + k^2(x)A(x) = 0 & \text{(partie réelle)} \\[6pt] 2A'(x)\varphi'(x) + A(x)\varphi''(x) = 0 & \text{(partie imaginaire)} \end{cases}}

   Multiplions la seconde équation par A(x) \neq 0 :

   2A(x)A'(x)\varphi'(x) + A^2(x)\varphi''(x) = 0 \iff \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( A^2(x)\,\varphi'(x) \right) = 0

   Il en résulte qu'il existe une constante réelle C_0 telle que :

   A^2(x)\,\varphi'(x) = C_0

   Signe de \varphi'(x) : la phase instantanée de l'onde s'écrit \Phi(x,t) = \omega t - \varphi(x). La condition de propagation à phase constante \Phi(x,t) = \text{cte} donne, par dérivation par rapport au temps :

   \omega - \varphi'(x)\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 0 \implies v_\varphi = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\omega}{\varphi'(x)}

   Comme l'onde pénètre en x = 0 et se propage vers les x croissants (jusqu'en x = x_r), la vitesse de phase v_\varphi est positive. Avec \omega > 0, on en déduit nécessairement :

   \varphi'(x) > 0

   Puisque A(x) > 0 et \varphi'(x) > 0, la constante C_0 est strictement positive. En posant C_0 = H^2 avec H > 0, on obtient bien :

   \boxed{A(x) = \frac{H}{\sqrt{\varphi'(x)}}}

   Résultat

   $$\{\begin{array}{ll}{A}^{\prime \prime }(x)-A(x){\left({\phi }^{\prime }(x)\right)}^2+k^2(x)A(x)=0& \text{(partie reˊelle)}\\ 2A^{\prime }(x){\phi }^{\prime }(x)+A(x){\phi }^{\prime \prime }(x)=0& \text{(partie imaginaire)}\end{array}$$

   $$A(x)=\frac{H}{\sqrt{{\phi }^{\prime }(x)}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q11

   1. Sens de variation de k(x) :

   D'après la relation de dispersion :

   k(x) = \frac{k_0 \omega}{\sqrt{\omega_r^2(x) - \omega^2}}

   D'après la question Q9, la pulsation de coupure locale \omega_r(x) est strictement décroissante sur [0, x_r[ avec \omega_r(x) > \omega, et tend vers \omega en x \to x_r.

   Le dénominateur \sqrt{\omega_r^2(x) - \omega^2} est donc une fonction strictement décroissante de x, strictement positive et s'annulant en x_r. Par conséquent :

   \boxed{k(x) \text{ est strictement croissante sur } [0, x_r[\quad \text{et}\quad \lim_{x \to x_r^-} k(x) = +\infty}

   2. Sens de variation de A(x) :

   La première équation différentielle obtenue à la question Q10 s'écrit :

   A''(x) + \left[k^2(x) - (\varphi'(x))^2\right] A(x) = 0

   Dans le cadre de l'approximation WKB (milieu lentement variable, où les variations relatives d'amplitude sont faibles à l'échelle d'une longueur d'onde locale, soit |A''| \ll k^2 A), on obtient l'approximation eikonale :

   (\varphi'(x))^2 \approx k^2(x) \implies \varphi'(x) \approx k(x)

   car \varphi'(x) > 0 pour une onde se propageant dans le sens des x croissants.

   Puisque k(x) est strictement croissante, la dérivée spatiale de la phase \varphi'(x) est également une fonction strictement croissante. En vertu de la relation établie à la question Q10, A(x) = \frac{H}{\sqrt{\varphi'(x)}}, il vient :

   \boxed{A(x) \text{ est strictement décroissante sur } [0, x_r[\quad \text{et}\quad \lim_{x \to x_r^-} A(x) = 0}

   3. Tracé de l'allure de l'onde de pression réelle :

   L'onde réelle de pression s'écrit :

   p(x,t) = \operatorname{Re}(\underline{p}(x,t)) = A(x) \cos(\omega t - \varphi(x))

   À un instant t fixé (par exemple t = 0) :

   • la longueur d'onde locale \lambda(x) = \frac{2\pi}{k(x)} \approx \frac{2\pi}{\varphi'(x)} diminue au cours de la propagation vers x_r : les alternances de pression se resserrent spatialement ;
   • l'amplitude A(x) de l'enveloppe diminue progressivement jusqu'à s'éteindre au voisinage du point d'absorption x_r.

   Résultat

   $$k(x)\text{ est strictement croissante sur }[0,x_r[\text{et}\underset{x\to x_r^{-}}{\lim }k(x)=+\infty$$

   $$A(x)\text{ est strictement deˊcroissante sur }[0,x_r[\text{et}\underset{x\to x_r^{-}}{\lim }A(x)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 1 MPI 2025, Q22

   Considérons la fonction d'onde plane unidirectionnelle proposée :

   \underline{\Psi}(x,t) = \underline{\psi}_0 \exp\left[-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(Et - p(E)x)\right]

   Dans un domaine où le potentiel V est constant, les dérivées spatiales et temporelles s'écrivent :

   \begin{aligned} \Delta \underline{\Psi} &= \frac{\partial^2 \underline{\Psi}}{\partial x^2} = \left(\frac{\mathrm{i}p}{\hbar}\right)^2 \underline{\Psi} = -\frac{p^2}{\hbar^2}\underline{\Psi} \\ \mathrm{i}\hbar \frac{\partial \underline{\Psi}}{\partial t} &= \mathrm{i}\hbar \left(-\frac{\mathrm{i}E}{\hbar}\right)\underline{\Psi} = E\,\underline{\Psi} \end{aligned}

   En injectant ces résultats dans l'équation de Klein–Gordon (5) :

   \hbar^2 c^2 \Delta \underline{\Psi} + \left(\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} - V\right)^2 \underline{\Psi} = m^2 c^4 \underline{\Psi}

   il vient, après simplification par \underline{\Psi} \neq 0 :

   -p^2 c^2 + (E - V)^2 = m^2 c^4 \iff p^2 c^2 = (E - V)^2 - m^2 c^4

   Puisque p(E) > 0, on obtient l'expression de l'impulsion (pour E - V \geqslant mc^2) :

   \boxed{p(E) = \frac{1}{c}\sqrt{(E - V)^2 - m^2 c^4}}

   D'après la question Q20, la vitesse de groupe s'obtient par v_g = \frac{1}{p'(E)}. En dérivant p(E) par rapport à E :

   p'(E) = \frac{1}{c}\,\frac{2(E - V)}{2\sqrt{(E - V)^2 - m^2 c^4}} = \frac{E - V}{c^2 p(E)}

   D'où l'expression de la vitesse de groupe :

   \boxed{v_g(E) = \frac{c^2 p(E)}{E - V} = c\sqrt{1 - \frac{m^2 c^4}{(E - V)^2}}}

   Caractère relativiste du modèle :

   • Pour une particule libre (V = 0), on retrouve la relation de dispersion relativiste exacte d'Einstein :

     E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4
   • La vitesse de groupe vérifie v_g(E) < c pour toute énergie finie, et tend vers la célérité de la lumière c lorsque E \to +\infty, respectant ainsi le postulat de la relativité restreinte.
   • L'équation de Klein–Gordon est d'ordre 2 en temps comme en espace (faisant intervenir l'opérateur d'Alembertien), ce qui lui confère l'invariance de Lorentz.

   Le modèle associé à l'équation de Klein–Gordon est donc relativiste.

   Résultat

   $$p(E)=\frac{1}{c}\sqrt{(E-V{)}^2-m^2{c}^4}$$

   $$v_g(E)=\frac{c^{2}p(E)}{E-V}=c\sqrt{1-\frac{m^2{c}^4}{(E-V{)}^2}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question