Feuille d'entraînement : Ondes acoustiques

10 questions · filière MP · durée estimée environ 47 min

Énoncés

Exercice 1E3A Physique-Chimie MP 2020, Q8· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Par analogie avec les ondes électromagnétiques, donner l'équation de d'Alembert vérifiée par le champ de surpression $p$ . En déduire une relation entre $k$ , $ω$ et $c$ . Dans la suite, on prend $k > 0$ .
Exercice 2Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q24· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
Déduire de cette hypothèse l'ensemble des fréquences ${ν_{m}, m \in N}$ entendues lors du retour du son diffracté par les marches $S_{n}$ et $S_{n + 1}$ , en fonction notamment des distances $d_{n}$ et $d_{n + 1}$ .
Exercice 3E3A Physique-Chimie MP 2020, Q5· Exigeant· ≈ 5 min
Établir une relation entre les amplitudes complexes $\underline{V}$ et $\underline{I}$ faisant intervenir les grandeurs $M_{m s}$ , $C_{m s}$ , $R_{m s}$ , $B_{0}$ , $ℓ$ , $S$ , $\underline{Z_{a, 1}}$ , $\underline{Z_{a, 2}}$ et $ω$ .
Exercice 4E3A Physique-Chimie MP 2020, Q6· Application directe· ≈ 2 min
Préciser l'unité de l'impédance acoustique $\underline{Z_{a}}$ dans le Système international d'unités.
Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q21· Intermédiaire· ≈ 6 min
Exprimer $Ψ (S_{n}, t)$ puis $Ψ^{'} (S, t)$ en fonction notamment de la fonction $s$ .
Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q22· Intermédiaire· ≈ 4 min
Exprimer la phase $ϕ_{n}^{'} (t)$ à l'instant $t$ de la composante harmonique de pulsation $ω$ de l'onde retour en $S$ diffractée en $S_{n}$ , en fonction notamment de $d_{n}$ .
Exercice 7E3A Physique-Chimie MP 2020, Q9· Exigeant· ≈ 6 min
Montrer que l'impédance acoustique $\underline{Z_{a}}$ peut se mettre sous la forme $\underline{Z_{a}} = R_{a} + j ω M_{a}$ . On exprimera, d'une part, $R_{a}$ en fonction de $ρ$ , $ω$ , $r$ et de $c$ et, d'autre part, $M_{a}$ en fonction de $ρ$ et de $r$ .
Exercice 8E3A Physique-Chimie MP 2020, Q10· Intermédiaire· ≈ 3 min
Réécrire la relation entre les amplitudes complexes $\underline{V}$ et $\underline{I}$ en faisant intervenir, cette fois, les grandeurs $M_{m s}^{*}$ , $C_{m s}$ , $R_{m s}$ , $B_{0}$ , $ℓ$ et $ω$ . Dans la suite, on appelle cette relation « l'équation mécanique » et on la note (E2).
Exercice 9Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q23· Intermédiaire· ≈ 4 min
Exprimer $Δ ϕ_{n}^{'}$ en fonction notamment des distances $d_{n}$ et $d_{n + 1}$ .
Exercice 10Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q25· Exigeant· ≈ 9 min
Exprimer $d_{n}$ en fonction de $a$ , $b$ et $n$ . Calculer l'expression exacte de $d_{n + 1}^{2} - d_{n}^{2}$ . On admet que la condition de l'expérience $a ≫ b$ permet d'écrire $d_{n} + d_{n + 1} ≃ 2 d_{n}$ : en déduire l'expression approchée suivante $ν_{1} ≃ \frac{c _{s}}{2 ab} g (n) d_{n}$ où $g (n)$ est une fonction que l'on explicitera.

Corrigés

Exercice 1E3A Physique-Chimie MP 2020, Q8
Par analogie avec l'équation de d'Alembert vérifiée par les composantes du champ électromagnétique dans un milieu linéaire, homogène et isotrope non chargé, le champ de surpression acoustique p(\vec{r}, t) vérifie l'équation d'onde :
\boxed{\Delta p - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0}
Pour une onde plane se propageant selon une direction repérée par l'axe (Ox), cette équation se réduit à :
\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0
Considérons une onde plane progressive sinusoïdale (OPPS) de pulsation \omega et de vecteur d'onde \vec{k} = k\vec{u}, associée à la surpression complexe :
\underline{p}(\vec{r}, t) = \underline{P}_0 \, \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}
En dérivant, on obtient :
\begin{aligned} \Delta \underline{p} &= - k^2 \, \underline{p} \\ \frac{\partial^2 \underline{p}}{\partial t^2} &= -\omega^2 \, \underline{p} \end{aligned}
L'insertion de ces dérivées dans l'équation de d'Alembert conduit à :
-k^2 + \frac{\omega^2}{c^2} = 0 \iff k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}
Les grandeurs \omega, c et k étant positives d'après l'énoncé (k > 0), on en déduit la relation de dispersion :
\boxed{k = \frac{\omega}{c}} \quad \left(\text{ou } \omega = k c\right)
Résultat
$Δ p - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}} = 0$ $k = \frac{ω}{c}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q24
Deux ondes de même pulsation \omega interfèrent de manière purement constructive au point S si et seulement si leur différence de phase est un multiple entier de 2\pi :
\Delta\phi'_n = 2m\pi \quad \text{avec } m \in \mathbb{Z}
Une fréquence étant positive par définition, et la pulsation étant reliée à la fréquence \nu par \omega = 2\pi\nu, on a d'après le résultat de la question Q23 :
\Delta\phi'_n = \frac{2(2\pi\nu_m)}{c_s}(d_{n+1} - d_n) = \frac{4\pi\nu_m}{c_s}(d_{n+1} - d_n)
L'égalité avec 2m\pi conduit directement à :
\frac{2\nu_m}{c_s}(d_{n+1} - d_n) = m
On en déduit l'ensemble des fréquences constructives :
\boxed{\nu_m = m\,\frac{c_s}{2(d_{n+1} - d_n)} \quad (m \in \mathbb{N})}
Résultat
$ν_{m} = m \frac{c _{s}}{2 ( d _{n + 1} - d _{n} )} (m \in N)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3E3A Physique-Chimie MP 2020, Q5
D'après l'équation différentielle établie à la question Q4 :
M_{ms} \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + R_{ms} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{C_{ms}} x = B_0 \ell \, i(t) + \big(p_2(t) - p_1(t)\big) S
En exprimant cette relation à l'aide de la vitesse v(t) = \dot{x}(t), soit \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} et x(t) = \int v(t) \, \mathrm{d}t, et en se plaçant en régime sinusoïdal forcé de pulsation \omega, les dérivations temporelles se traduisent par une multiplication par \mathrm{j}\omega et l'intégration par une division par \mathrm{j}\omega. On obtient alors entre les grandeurs complexes :
\left(\mathrm{j}\omega M_{ms} + R_{ms} + \frac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}}\right) \underline{V} = B_0 \ell \, \underline{I} + (\underline{P_2} - \underline{P_1}) S
D'après les définitions des impédances acoustiques données par l'énoncé :
\underline{Z_{a,1}} = \frac{\underline{P_1}}{\underline{V}} \implies \underline{P_1} = \underline{Z_{a,1}} \, \underline{V} \quad \text{et} \quad \underline{Z_{a,2}} = -\frac{\underline{P_2}}{\underline{V}} \implies \underline{P_2} = -\underline{Z_{a,2}} \, \underline{V}
La surpression nette agissant sur la membrane s'écrit donc :
\underline{P_2} - \underline{P_1} = -(\underline{Z_{a,1}} + \underline{Z_{a,2}}) \, \underline{V}
En reportant cette expression dans l'équation du mouvement, il vient :
\left(\mathrm{j}\omega M_{ms} + R_{ms} + \frac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}}\right) \underline{V} = B_0 \ell \, \underline{I} - (\underline{Z_{a,1}} + \underline{Z_{a,2}}) S \, \underline{V}
Soit, en regroupant tous les termes proportionnels à \underline{V} :
\boxed{\left[\mathrm{j}\omega M_{ms} + R_{ms} + \frac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}} + (\underline{Z_{a,1}} + \underline{Z_{a,2}}) S\right] \underline{V} = B_0 \ell \, \underline{I}}
Résultat
$[j ω M_{m s} + R_{m s} + \frac{1}{j ω C _{m s}} + (\underline{Z_{a, 1}} + \underline{Z_{a, 2}}) S] \underline{V} = B_{0} ℓ \underline{I}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4E3A Physique-Chimie MP 2020, Q6
D'après la définition donnée dans l'énoncé :
\underline{Z_{a,1}} = \frac{\underline{P_1}}{\underline{V}}
où \underline{P_1} est l'amplitude d'une surpression acoustique (exprimée en pascals, \mathrm{Pa}) et \underline{V} l'amplitude de la vitesse de la membrane (exprimée en \mathrm{m\cdot s^{-1}}).
L'unité de l'impédance acoustique \underline{Z_a} s'exprime donc en :
\mathrm{Pa\cdot s\cdot m^{-1}}
En décomposant le pascal en unités de base du Système international (\mathrm{1\ Pa = 1\ N\cdot m^{-2} = 1\ kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}}), on obtient :
[\underline{Z_a}] = \frac{\mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}}}{\mathrm{m\cdot s^{-1}}} = \mathrm{kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}
On peut également retrouver directement ce résultat à partir de la formule \underline{Z_a} \propto \rho c, sachant que le terme entre crochets est sans dimension (k r étant sans dimension) :
[\rho c] = (\mathrm{kg\cdot m^{-3}}) \times (\mathrm{m\cdot s^{-1}}) = \mathrm{kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}
\boxed{\text{L'unité de }\underline{Z_a}\text{ dans le SI est le }\mathrm{kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}\quad (\text{ou }\mathrm{Pa\cdot s\cdot m^{-1}})}
Résultat
$L’unit \overset{e}{ˊ} de \underline{Z_{a}} dans le SI est le kg \cdot m^{- 2} \cdot s^{- 1} (ou Pa \cdot s \cdot m^{- 1})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q21
La propagation le long de l'axe S S_n est modélisée comme une onde unidimensionnelle progressive, non dispersive et sans atténuation d'amplitude.
1. Onde incidente en S_n :
Le signal émis en S à la date t est \Psi(S, t) = s(t). Pour atteindre l'arête S_n située à la distance d_n = S S_n, l'onde met une durée :
\tau_n = \frac{d_n}{c_s}
L'onde incidente en S_n à l'instant t s'écrit donc :
\boxed{\Psi(S_n, t) = s\left(t - \frac{d_n}{c_s}\right)}
2. Onde diffractée retour en S :
D'après l'énoncé, l'onde retour engendrée par diffraction au niveau de l'obstacle S_n vérifie :
\Psi'(S_n, t) = \kappa\,\Psi(S_n, t) = \kappa\,s\left(t - \frac{d_n}{c_s}\right)
Cette onde retour se propage selon le même modèle le long du segment S_n S de longueur d_n, subissant à nouveau un retard de propagation \tau_n = d_n/c_s :
\Psi'(S, t) = \Psi'\left(S_n, t - \frac{d_n}{c_s}\right)
On en déduit l'expression de l'onde retour en S :
\boxed{\Psi'(S, t) = \kappa\,s\left(t - \frac{2d_n}{c_s}\right)}
Résultat
$Ψ (S_{n}, t) = s (t - \frac{d _{n}}{c _{s}})$ $Ψ^{'} (S, t) = κ s (t - \frac{2 d _{n}}{c _{s}})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q22
D'après la question Q21, l'onde retour diffractée par la marche S_n et parvenue en S à l'instant t s'exprime à partir du signal émis selon :
\Psi'(S, t) = \kappa\, s\!\left(t - \frac{2 d_n}{c_s}\right)
Appliquée à la composante harmonique incidente s_\omega(t) = s_m \cos(\phi(t)) avec \phi(t) = \omega t, la composante harmonique correspondante de l'onde retour en S s'écrit :
\Psi'_\omega(S, t) = \kappa\, s_m \cos\left[\omega\!\left(t - \frac{2 d_n}{c_s}\right)\right] = \kappa\, s_m \cos[\phi'_n(t)]
Par identification de la phase instantanée, on obtient :
\boxed{\phi'_n(t) = \omega\left(t - \frac{2 d_n}{c_s}\right) = \omega t - \frac{2\omega d_n}{c_s}}
Résultat
$ϕ_{n}^{'} (t) = ω (t - \frac{2 d _{n}}{c _{s}}) = ω t - \frac{2 ω d _{n}}{c _{s}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7E3A Physique-Chimie MP 2020, Q9
L'expression de l'impédance acoustique commune aux deux faces est donnée par :
\underline{Z_a} = \rho c \left[ \frac{1}{2}(kr)^2 + \mathrm{j} \frac{8kr}{3\pi} \right]
En utilisant la relation de dispersion établie à la question Q8, k = \dfrac{\omega}{c}, on remplace k dans cette expression :
\begin{aligned} \underline{Z_a} &= \rho c \left[ \frac{1}{2}\left(\frac{\omega r}{c}\right)^2 + \mathrm{j}\frac{8}{3\pi}\frac{\omega r}{c} \right] \\ &= \frac{\rho \omega^2 r^2}{2c} + \mathrm{j}\omega \left(\frac{8\rho r}{3\pi}\right) \end{aligned}
On identifie terme à terme avec la forme recherchée \underline{Z_a} = R_a + \mathrm{j}\omega M_a :
\boxed{R_a = \frac{\rho \omega^2 r^2}{2c}} \qquad \text{et} \qquad \boxed{M_a = \frac{8\rho r}{3\pi}}
Résultat
$R_{a} = \frac{ρ ω ^{2} r ^{2}}{2 c}$ $M_{a} = \frac{8 ρ r}{3 π}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8E3A Physique-Chimie MP 2020, Q10
D'après le résultat de la question Q5, la relation électromécanique s'écrit :
\left[ \mathrm{j}\omega M_{ms} + R_{ms} + \frac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}} + (\underline{Z_{a,1}} + \underline{Z_{a,2}}) S \right] \underline{V} = B_0 \ell \, \underline{I}
Sachant que \underline{Z_{a,1}} = \underline{Z_{a,2}} = \underline{Z_a} = R_a + \mathrm{j}\omega M_a (d'après la question Q9), le terme de couplage avec le rayonnement acoustique s'exprime par :
(\underline{Z_{a,1}} + \underline{Z_{a,2}}) S = 2 \underline{Z_a} S = 2 R_a S + 2\mathrm{j}\omega M_a S
La membrane étant un disque de rayon r, son aire vaut S = \pi r^2. Avec l'expression M_a = \frac{8\rho r}{3\pi} obtenue en Q9, on en déduit :
2 M_a S = 2 \left( \frac{8\rho r}{3\pi} \right) (\pi r^2) = \frac{16}{3} \rho r^3
En négligeant le frottement acoustique 2 R_a S devant le frottement fluide mécanique R_{ms}, le terme d'inertie devient :
\mathrm{j}\omega M_{ms} + 2\mathrm{j}\omega M_a S = \mathrm{j}\omega \left( M_{ms} + \frac{16}{3}\rho r^3 \right) = \mathrm{j}\omega M_{ms}^*
On obtient ainsi l'équation mécanique notée (E2) :
\boxed{\left( \mathrm{j}\omega M_{ms}^* + R_{ms} + \frac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}} \right) \underline{V} = B_0 \ell \, \underline{I}}
ou, sous forme explicite pour la vitesse complexe :
\underline{V} = \frac{B_0 \ell}{\mathrm{j}\omega M_{ms}^* + R_{ms} + \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}}} \, \underline{I}
Résultat
$(j ω M_{m s}^{*} + R_{m s} + \frac{1}{j ω C _{m s}}) \underline{V} = B_{0} ℓ \underline{I}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q23
D'après le résultat de la question 22, la phase à l'instant t de l'onde de pulsation \omega diffractée par la marche S_n et parvenue en S est :
\phi'_n(t) = \omega \left(t - \frac{2d_n}{c_s}\right)
De même, pour l'arête consécutive S_{n+1}, située à la distance d_{n+1} de la source S, la phase s'écrit :
\phi'_{n+1}(t) = \omega \left(t - \frac{2d_{n+1}}{c_s}\right)
La différence de phase en S définie par l'énoncé vaut donc :
\begin{aligned} \Delta\phi'_n &= \phi'_n(t) - \phi'_{n+1}(t) \\ &= \left(\omega t - \frac{2\omega d_n}{c_s}\right) - \left(\omega t - \frac{2\omega d_{n+1}}{c_s}\right) \end{aligned}
On obtient ainsi :
\boxed{\Delta\phi'_n = \frac{2\omega}{c_s}(d_{n+1} - d_n)}
Résultat
$Δ ϕ_{n}^{'} = \frac{2 ω}{c _{s}} (d_{n + 1} - d_{n})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q25
Choisissons un repère orthonormé dans le plan vertical contenant l'axe de l'escalier, dont l'origine est la position de la source S au niveau du sol, l'axe horizontal étant dirigé vers la pyramide et l'axe vertical ascendant.
Le point S_0, situé au bas des marches, a pour coordonnées (a, 0). Chaque marche ayant une hauteur et une profondeur égales à b, les coordonnées de l'arête S_n pour n \in \{0, \dots, N\} sont :
x_n = a + n b \quad \text{et} \quad y_n = n b
La distance d_n = SS_n s'écrit donc :
d_n = \sqrt{x_n^2 + y_n^2} = \sqrt{(a + nb)^2 + (nb)^2}
Soit, en développant :
\boxed{d_n = \sqrt{a^2 + 2nab + 2n^2 b^2}}
Calculons l'expression exacte de la différence des carrés :
\begin{aligned} d_{n+1}^2 - d_n^2 &= \left[(a + (n+1)b)^2 + ((n+1)b)^2\right] - \left[(a + nb)^2 + (nb)^2\right] \\ &= \left[(a + (n+1)b)^2 - (a + nb)^2\right] + \left[((n+1)b)^2 - (nb)^2\right] \end{aligned}
En utilisant l'identité u^2 - v^2 = (u - v)(u + v) pour chacun des deux termes :
\begin{aligned} (a + (n+1)b)^2 - (a + nb)^2 &= b\,(2a + (2n+1)b) = 2ab + (2n+1)b^2 \\ ((n+1)b)^2 - (nb)^2 &= b\,(2n+1)b = (2n+1)b^2 \end{aligned}
En sommant ces deux contributions, on obtient :
\boxed{d_{n+1}^2 - d_n^2 = 2ab + 2(2n+1)b^2 = 2b\left(a + (2n+1)b\right)}
Par identité remarquable :
d_{n+1}^2 - d_n^2 = (d_{n+1} - d_n)(d_{n+1} + d_n)
En utilisant l'approximation d_{n+1} + d_n \simeq 2d_n justifiée par a \gg b, il vient :
d_{n+1} - d_n \simeq \frac{d_{n+1}^2 - d_n^2}{2d_n} = \frac{b\left(a + (2n+1)b\right)}{d_n}
D'après la question Q24, la fréquence fondamentale (m=1) entendue lors du retour diffracté par deux marches consécutives s'écrit :
\nu_1 = \frac{c_s}{2(d_{n+1} - d_n)}
En remplaçant d_{n+1} - d_n par son expression approchée :
\nu_1 \simeq \frac{c_s d_n}{2b\left(a + (2n+1)b\right)} = \frac{c_s}{2ab}\,\frac{a}{a + (2n+1)b}\,d_n
On en déduit l'expression approchée souhaitée :
\boxed{\nu_1 \simeq \frac{c_s}{2ab}\,g(n)\,d_n \quad \text{avec} \quad g(n) = \frac{1}{1 + (2n+1)\dfrac{b}{a}} = \frac{a}{a + (2n+1)b}}
Résultat
$d_{n} = a^{2} + 2 nab + 2 n^{2} b^{2}$ $d_{n + 1}^{2} - d_{n}^{2} = 2 ab + 2 (2 n + 1) b^{2} = 2 b (a + (2 n + 1) b)$ $ν_{1} ≃ \frac{c _{s}}{2 ab} g (n) d_{n} avec g (n) = \frac{1}{1 + ( 2 n + 1 ) \frac{b}{a}} = \frac{a}{a + ( 2 n + 1 ) b}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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