Feuille d'entraînement : Ondes acoustiques

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q57

   D'après le préambule de la sous-partie, la condition aux limites pour le tube ouvert à ses deux extrémités impose la relation de quantification suivante sur la longueur d'onde \lambda_n du mode propre de rang n :

   L = n \frac{\lambda_n}{2} \quad \text{avec } n \in \mathbb{N}^*.

   Par ailleurs, pour une onde se propageant à la célérité c_{\mathrm{son}}, la longueur d'onde \lambda_n et la fréquence f_n sont reliées par la relation fondamentale de propagation :

   \lambda_n = \frac{c_{\mathrm{son}}}{f_n}.

   En substituant l'expression de \lambda_n dans la condition de quantification, on obtient :

   L = n \frac{c_{\mathrm{son}}}{2 f_n}.

   On en déduit directement l'expression de la fréquence propre de rang n :

   \boxed{f_n = n \frac{c_{\mathrm{son}}}{2L}}

   Résultat

   $$f_n=n\frac{c_{\mathrm{son}}}{2L}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q58

   D'après la question Q57, la fréquence des modes propres d'un tuyau acoustique ouvert à ses deux extrémités s'écrit :

   f_n = n \frac{c_{\mathrm{son}}}{2L}

   La fréquence fondamentale correspond au premier mode propre (n = 1) :

   f_1 = \frac{c_{\mathrm{son}}}{2L}

   D'après les données de l'énoncé, à 25^\circ\text{C}, la célérité du son dans l'air vaut c_{\mathrm{son}} = 346\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et la longueur du tuyau est L = 70\text{ cm} = 0{,}70\text{ m}.

   On obtient numériquement :

   f_1 = \frac{346}{2 \times 0{,}70} \approx 247\text{ Hz}

   \boxed{f_1 \approx 247\text{ Hz}}

   Résultat

   $$f_1\approx 247\text{ Hz}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q59

   D'après la question Q58, la fréquence fondamentale de la flûte traversière modélisée vaut :

   f_1 \approx 247\text{ Hz}

   En consultant le tableau de correspondance note-fréquence fondamentale (figure 20 de l'énoncé), on constate que cette fréquence coïncide, à l'incertitude de calcul près, avec celle de la note si de la deuxième octave, tabulée à :

   f(\text{si}_2) = 246{,}94\text{ Hz}

   La note correspondante est donc :

   \boxed{\text{si}_2}

   Résultat

   $${\text{si}}_2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q30

   Cette équation de propagation porte le nom d'équation de d'Alembert (ou équation des ondes).

   \boxed{\text{Équation de d'Alembert}}

   Comme exemple d'ondes non électromagnétiques obéissant à cette équation, on peut citer :

   • les ondes sonores (ou acoustiques) se propageant dans un fluide parfait (non visqueux et non conducteur thermique), pour lesquelles la surpression acoustique p(M,t) vérifie l'équation de d'Alembert dans l'approximation acoustique linéaire :

     \Delta p - \frac{1}{c_s^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0
   • les ondes mécaniques transversales le long d'une corde vibrante tendue sans dissipation (modèle de la corde de Melde), où le déplacement transversal y(x,t) vérifie l'équation de d'Alembert à une dimension.

   \boxed{\text{Ondes sonores (acoustiques) dans un fluide non visqueux}}

   Résultat

   $$\text{Eˊquation de d’Alembert}$$

   $$\text{Ondes sonores (acoustiques) dans un fluide non visqueux}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q42

   La température absolue de l'atmosphère martienne vaut :

   T = -63 + 273 = 210\text{ K}

   D'après l'énoncé, la célérité du son dans un gaz parfait est donnée par :

   c = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}

   avec d'après la question Q41 :

   • \gamma = 1{,}4 ;
   • R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
   • T = 210\text{ K} ;
   • M = 44\cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}.

   Calculons le carré de la célérité :

   \begin{aligned} c^2 &= \frac{1{,}4 \times 8{,}31 \times 210}{44 \cdot 10^{-3}} \\ &= \frac{294 \times 8{,}31}{44} \cdot 10^3 \\ &= \frac{147}{22} \times 8{,}31 \cdot 10^3 \end{aligned}

   Comme \dfrac{147}{22} \approx 6{,}68 et 6{,}68 \times 8{,}31 \approx 55{,}5 :

   c^2 \approx 5{,}55 \cdot 10^4\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2}

   Or :

   \begin{aligned} 230^2 &= 5{,}29 \cdot 10^4\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} \\ 240^2 &= 5{,}76 \cdot 10^4\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} \end{aligned}

   La racine carrée donne donc c \approx 236\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui conduit bien à la valeur attendue :

   \boxed{c \approx 240\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$c\approx 240\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q70

   Si les pales avaient un rayon R' = 1{,}0\text{ m}, la vitesse linéaire maximale d'un point situé en bout de pale serait :

   v' = R' \, \omega_{\max}

   Avec \omega_{\max} \approx 3{,}0 \cdot 10^2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} (d'après Q68) :

   v' = 1{,}0 \times 3{,}0 \cdot 10^2 = 300\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   Or, d'après la question Q42, la vitesse du son dans l'atmosphère martienne vaut c \approx 240\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. On aurait ainsi :

   v' > c

   \boxed{\text{Le bout des pales atteindrait un régime supersonique ($v' > c$).}}

   Le franchissement du mur du son engendrerait des conséquences très pénalisantes :

   • formation d'ondes de choc entraînant une chute brutale de portance et une hausse spectaculaire de la traînée aérodynamique ;
   • apparition d'importantes vibrations et contraintes mécaniques risquant d'endommager la structure des pales ;
   • consommation énergétique prohibitive rendant le vol impossible avec la puissance disponible.

   Résultat

   $$\text{Le bout des pales atteindrait un reˊgime supersonique (v′>c).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2020, Q61

   Le domaine des fréquences audibles pour l'oreille humaine s'étend sur trois décades, typiquement de 20\text{ Hz} à 20\text{ kHz}. Un haut-parleur unique ne peut pas restituer fidèlement l'ensemble de ce spectre pour des raisons mécaniques, électriques et acoustiques :

   • Dans les basses fréquences (graves) : les longueurs d'onde acoustiques sont grandes ; pour rayonner une puissance acoustique suffisante, il est nécessaire de déplacer un volume d'air important. Cela requiert une membrane de grande surface et une élongation importante. L'équipage mobile présente alors une masse m non négligeable.
   • Dans les hautes fréquences (aigus) : l'effet de l'inertie devient prépondérant (terme m\omega dans l'impédance mécanique) et l'impédance électrique de la bobine (L\omega) limite le courant i(t). Pour obtenir de fortes accélérations sans distorsion et sans atténuation, il est indispensable de disposer d'une membrane très petite et très légère (faible masse m). De plus, une grande membrane deviendrait excessivement directive pour les courtes longueurs d'onde.

   L'association de plusieurs haut-parleurs spécialisés au sein d'une enceinte (typiquement un haut-parleur de graves à grand diamètre, un médium et un haut-parleur d'aigus à très faible inertie), couplés à des filtres électriques séparateurs (filtre passif ou actif) :

   \boxed{\text{permet d'optimiser le rendement, la directivité et la réponse en fréquence sur tout le spectre audible.}}

   Résultat

   $$\text{permet d’optimiser le rendement, la directiviteˊ et la reˊponse en freˊquence sur tout le spectre audible.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q60

   D'après le tableau de correspondance note-fréquence (figure 20), les fréquences fondamentales des trois notes à l'origine du phénomène de résonance parasite sont :

   \begin{aligned} f(\text{ré}\sharp 3) &= 311{,}13\text{ Hz} \\ f(\text{mi}3) &= 329{,}63\text{ Hz} \\ f(\text{fa}3) &= 349{,}23\text{ Hz} \end{aligned}

   Ces notes sont très proches et centrées autour de la fréquence du mi3, soit f \approx 330\text{ Hz}.

   L'air contenu dans le tube de plexiglass entourant la clarinette entre en résonance sur son mode fondamental lorsque ces notes sont jouées. Le tube étant ouvert à ses deux extrémités, sa fréquence propre fondamentale est donnée par la relation (II.4) avec n = 1 :

   f_1 = \frac{c_{\text{son}}}{2L}

   On en déduit l'expression de la longueur du tube :

   L = \frac{c_{\text{son}}}{2f_1}

   À la température de 25^\circ\text{C}, la célérité du son dans l'air est c_{\text{son}} = 346\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. L'évaluation numérique donne pour chacune des notes :

   • pour le ré\sharp3 (311{,}13\text{ Hz}) : L = \dfrac{346}{2 \times 311{,}13} \approx 0{,}556\text{ m} = 55{,}6\text{ cm} ;
   • pour le mi3 (329{,}63\text{ Hz}) : L = \dfrac{346}{2 \times 329{,}63} \approx 0{,}525\text{ m} = 52{,}5\text{ cm} ;
   • pour le fa3 (349{,}23\text{ Hz}) : L = \dfrac{346}{2 \times 349{,}23} \approx 0{,}495\text{ m} = 49{,}5\text{ cm}.

   En prenant la note centrale mi3 (ou la moyenne des fréquences), on estime la longueur du tube de plexiglass à :

   \boxed{L \approx 52\text{ à } 53\text{ cm}}

   Résultat

   $$L\approx 52\text{ aˋ }53\text{ cm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q61

   D'après la relation (II.4), les fréquences propres d'un tube ouvert à ses deux extrémités sont données par :

   f_n = n \frac{c_{\mathrm{son}}}{2L}

   Pour le mode fondamental (n = 1), on a :

   f_1 = \frac{c_{\mathrm{son}}}{2L} \iff L = \frac{c_{\mathrm{son}}}{2f_1}

   Sur le spectre de la figure 19 :

   • L'axe des abscisses est gradué en kilohertz avec une subdivision principale tous les 1\text{ kHz} et 10 graduations secondaires par kilohertz, soit 100\text{ Hz} par petite graduation.

   • Le premier pic spectral (fréquence fondamentale f_1) se situe entre 100\text{ Hz} et 200\text{ Hz}, plus précisément à :

     f_1 \approx 147\text{ Hz} \quad (\text{ou de façon approchée } 150\text{ Hz})

     Cette valeur est confortée par la position des pics suivants de forte amplitude, situés à environ 440\text{ Hz} \approx 3f_1 et 735\text{ Hz} \approx 5f_1.

   Avec c_{\mathrm{son}} = 346\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} à 25^\circ\text{C} :

   \begin{aligned} L &= \frac{346}{2 \times 147} \approx 1{,}18\text{ m} = 118\text{ cm} \end{aligned}

   (En prenant f_1 \approx 150\text{ Hz}, on obtiendrait L \approx 1{,}15\text{ m}).

   \boxed{L \approx 1{,}18\text{ m} \quad (\text{soit } 118\text{ cm})}

   Résultat

   $$L\approx 1,18\text{ m}(\text{soit }118\text{ cm})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q62

    Pour statuer sur la pertinence du modèle d'un tube ouvert à ses deux extrémités, confrontons les prédictions du modèle à la réalité expérimentale :

    1. Longueur du tube : La longueur estimée à la question précédente à partir de la fréquence fondamentale f_1 \approx 147\text{ Hz} vaut :

       L_{\text{estimée}} \approx 118\text{ cm} \approx 2\,L_{\text{réelle}} \quad (\text{avec } L_{\text{réelle}} = 58{,}8\text{ cm})

       L'écart relatif est de 100\,\%, ce qui invalide le modèle du tube ouvert-ouvert.

    2. Contenu harmonique du spectre : Un tube ouvert à ses deux extrémités présente tous les harmoniques entiers (f_n = n f_1). Or, sur le spectre de la clarinette (figure 19), on observe une prédominance très marquée des harmoniques impairs (f_1 \approx 147\text{ Hz}, f_3 \approx 441\text{ Hz}, f_5 \approx 735\text{ Hz}, f_7 \approx 1\,030\text{ Hz}\dots).

    \boxed{\text{Il n'est pas possible de modéliser la clarinette par un tube ouvert à ses deux extrémités.}}

    La clarinette doit être modélisée par un tube fermé à une extrémité (au niveau du bec et de l'anche) et ouvert à l'autre (au pavillon). Pour un tel tube, la quantification des modes impose L = (2p+1)\frac{\lambda}{4}, soit :

    f_{2p+1} = (2p+1)\frac{c_{\text{son}}}{4L} \quad (p \in \mathbb{N})

    Pour le fondamental (p = 0) :

    L = \frac{c_{\text{son}}}{4 f_1} \approx \frac{346}{4 \times 147} \approx 0{,}588\text{ m} = 58{,}8\text{ cm}

    ce qui correspond parfaitement à la longueur réelle de l'instrument et justifie la présence exclusive des harmoniques impairs.

    Résultat

    $$\text{Il n’est pas possible de modeˊliser la clarinette par un tube ouvert aˋ ses deux extreˊmiteˊs.}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question