Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2021

1. Identification de la constellation :

Les coordonnées équatoriales de la source GRS 1915+105 sont :

• une ascension droite \alpha \simeq 19\text{ h } 15\text{ min} ;
• une déclinaison \delta \simeq +11^\circ.

Sur la carte du ciel de l'hémisphère nord (document 1) :

• l'ascension droite se lit sur le cercle périphérique (gradué de 0\text{ h} à 24\text{ h} dans le sens trigonométrique) : on se place un peu après 19\text{ h} ;
• la déclinaison se lit sur les cercles concentriques (le centre correspond au pôle Nord céleste à +90^\circ, et les cercles représentent +75^\circ, +60^\circ, +45^\circ, +30^\circ et +15^\circ). Une déclinaison de +11^\circ se situe juste à l'extérieur du cercle des +15^\circ.

La zone ainsi repérée correspond à la constellation de l'Aigle.

2. Calcul de la distance en années-lumière :

Par définition, une année-lumière (\text{al}) est la distance parcourue par la lumière dans le vide en une année julienne (\Delta t \simeq 365{,}25\text{ jours} \simeq 3{,}16 \times 10^7\text{ s}) :

La distance de la source à la Terre vaut d \simeq 12\text{ kpc} = 12 \times 10^3\text{ pc}. Avec 1\text{ pc} \simeq 3{,}0 \times 10^{16}\text{ m} :

On en déduit la distance exprimée en années-lumière :

Avec un seul chiffre significatif :

Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le vide selon +\widehat{e}_x, le champ magnétique associé se déduit de la relation de structure issue de l'équation de Maxwell-Faraday :

Le vecteur de Poynting \vec{\Pi}, représentant le flux d'énergie électromagnétique par unité de surface, s'écrit :

En utilisant la relation entre les constantes fondamentales dans le vide, c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}, on a \frac{1}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c, d'où :

L'éclairement \mathcal{E} correspond à la puissance moyenne surfacique transportée selon la direction de propagation :

La valeur moyenne temporelle du cosinus au carré sur une période étant égale à \frac{1}{2}, on obtient :

L'énergie transportée par un photon associé à une onde de fréquence \nu est donnée par la relation de Planck-Einstein :

Pendant la durée \mathrm{d}t, l'énergie lumineuse reçue par la paroi d'aire S soumise à l'éclairement \mathcal{E} s'écrit \mathrm{d}\mathcal{E}_{\text{rec}} = \mathcal{E} \, S \, \mathrm{d}t. Le nombre \mathrm{d}N de photons incidents pendant cet intervalle de temps est donc :

D'après la relation de de Broglie, la quantité de mouvement d'une particule associée à une onde de longueur d'onde \lambda = c/\nu a pour norme p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h\nu}{c}. En tenant compte du sens de propagation selon \widehat{e}_r, le vecteur quantité de mouvement d'un photon incident s'écrit :

La paroi absorbant totalement le rayonnement, le photon disparaît après l'interaction. Par conservation de la quantité de mouvement du système isolé {photon + paroi} lors du choc, la quantité de mouvement \vec{p}_{\text{reçue}} cédée à la paroi par un photon vaut :

Pendant la durée \mathrm{d}t, la quantité de mouvement totale transférée à la paroi par l'ensemble des \mathrm{d}N photons incidents est :

D'après la deuxième loi de Newton, la force exercée par les photons sur la paroi s'obtient par :

Soit, en norme :

Le noyau de l'étoile est modélisé par une source ponctuelle émettant de façon isotrope une puissance totale L. À la distance R du centre, cette puissance est uniformément répartie sur la sphère de surface 4\pi R^2. L'éclairement énergétique à la surface s'écrit donc :

D'après le résultat obtenu à la question Q3, la force radiative exercée sur une paroi plane d'aire S perpendiculaire à la direction de propagation et absorbant totalement le flux incident a pour norme :

En y injectant l'expression de \mathcal{E}, on obtient l'expression de la force de radiation subie par l'élément de matière :

soit en norme :

L'élément de matière de masse m, situé à la distance R du noyau ponctuel de masse M, subit deux forces suivant la direction radiale \widehat{e}_r :

• la force d'attraction gravitationnelle :

  \vec{F}_{\text{grav}} = -\frac{G M m}{R^2}\,\widehat{e}_r

• la force de pression de radiation établie à la question Q4 :

  \vec{F}_{\text{rad}} = \frac{L S}{4\pi R^2 c}\,\widehat{e}_r

À la limite d'Eddington, la luminosité maximale L_{\text{Edd}} correspond à l'équilibre strict entre ces deux forces opposées, soit \vec{F}_{\text{rad}} + \vec{F}_{\text{grav}} = \vec{0} :

En simplifiant par R^2, on obtient :

D'après la question Q5, la luminosité limite d'Eddington s'écrit :

En identifiant cette relation avec la forme proposée L_{\mathrm{Edd}} = K_1 \dfrac{M}{M_\odot} L_\odot, on obtient :

Calculons la valeur numérique de K_1 avec les données de l'énoncé :

Le produit des facteurs numériques sans \pi vaut :

En multipliant par 4\pi et en utilisant l'indication 3\pi \simeq 10 :

Pour que l'étoile reste liée gravitationnellement sous l'effet de sa propre radiation, sa luminosité L doit être inférieure ou égale à sa luminosité d'Eddington :

La masse minimale vaut ainsi :

Pour L = 2 \times 10^6\,L_\odot, on a :

D'après le document 2, la variabilité temporelle \Delta t correspond à la plus petite durée de variation périodique de l'intensité lumineuse. Elle est associée aux sursauts de fréquence f_3 \simeq 10\text{ Hz} :

La limite de causalité stipule qu'une variation coordonnée de l'ensemble de la source ne peut pas se propager plus vite que la lumière dans le vide, soit :

Numériquement, avec c \simeq 3{,}0 \times 10^5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} :

L'énoncé indique qu'une géante bleue a un rayon moyen environ 15 fois supérieur à celui du Soleil (R_\odot \simeq 7{,}0 \times 10^5\text{ km}) :

On constate que :

Le rayon effectif de la source d'émission est plus de deux ordres de grandeur inférieur à celui d'une géante bleue, et même nettement plus petit que le rayon du Soleil.

Conclusion : L'hypothèse 1 est réfutée. La source GRS 1915+105 ne peut pas être une étoile ordinaire de type géante bleue ; il s'agit nécessairement d'un objet compact.

L'énergie potentielle gravitationnelle d'une masse m située à la distance r du centre d'un astre de masse M, avec l'origine des potentiels choisie à l'infini (E_p(\infty) = 0), s'écrit :

Lors de l'accrétion de la masse m depuis l'infini (r \to \infty) jusqu'à la surface de l'astre (r = R), la variation d'énergie potentielle est :

On met cette expression sous la forme \Delta E_p = K_2 m c^2 :

L'énergie potentielle libérée et disponible pour être convertie (en rayonnement ou en énergie cinétique) correspond à la valeur absolue |\Delta E_p| = |K_2| m c^2, avec |K_2| = \frac{G M}{R c^2}.

Applications numériques :

• Cas du Soleil : avec M = M_\odot \simeq 2{,}0 \times 10^{30}\text{ kg} et R = R_\odot \simeq 7{,}0 \times 10^5\text{ km} = 7{,}0 \times 10^8\text{ m},

  \begin{aligned} |K_{2,\odot}| &= \frac{7{,}0 \times 10^{-11} \times 2{,}0 \times 10^{30}}{7{,}0 \times 10^8 \times (3{,}0 \times 10^8)^2} \\ &= \frac{2{,}0 \times 10^{19}}{6{,}3 \times 10^{25}} = \frac{2}{9} \times 10^{-5} \simeq 2{,}2 \times 10^{-6} \end{aligned}
  \boxed{K_{2,\odot} \simeq -2{,}2 \times 10^{-6} \quad (\text{soit } |K_{2,\odot}| \simeq 2{,}2 \times 10^{-6})}

• Cas de l'objet compact : avec M = 2 M_\odot \simeq 4{,}0 \times 10^{30}\text{ kg} et R = 20\text{ km} = 2{,}0 \times 10^4\text{ m},

  \begin{aligned} |K_{2,\text{compact}}| &= \frac{7{,}0 \times 10^{-11} \times 4{,}0 \times 10^{30}}{2{,}0 \times 10^4 \times (3{,}0 \times 10^8)^2} \\ &= \frac{2{,}8 \times 10^{20}}{1{,}8 \times 10^{21}} = \frac{14}{90} \simeq 0{,}16 \end{aligned}
  \boxed{K_{2,\text{compact}} \simeq -0{,}16 \quad (\text{soit } |K_{2,\text{compact}}| \simeq 0{,}16)}

Commentaire :

• Pour une étoile ordinaire comme le Soleil, |K_2| \sim 10^{-6} \ll 0{,}07 : l'énergie libérée par accrétion gravitationnelle est tout à fait négligeable devant l'énergie issue des réactions thermonucléaires de fusion (\sim 0{,}07 m c^2).
• Pour un objet compact (ici une étoile à neutrons), l'énergie libérée représente environ 16\,\% de l'énergie de masse au repos m c^2. Ce rendement dépasse celui de la fusion thermonucléaire (\approx 7\,\%) : l'accrétion gravitationnelle sur un astre compact constitue un mécanisme de libération d'énergie extrêmement efficace, capable d'alimenter les microquasars.

1. Expression de l'énergie mécanique

L'énergie cinétique du point matériel de masse m animé de la vitesse v s'écrit :

La force d'interaction gravitationnelle exercée par l'astre de masse M est conservative : \vec{F} = -\frac{G M m}{r^2}\,\widehat{u}_r. En fixant la convention usuelle E_p(r \to +\infty) = 0, l'énergie potentielle gravitationnelle s'écrit :

L'énergie mécanique du système est donc :

2. Condition d'état de diffusion

L'objet se trouve dans un état de diffusion s'il peut s'éloigner indéfiniment de l'astre (r \to +\infty) avec une vitesse v_\infty \ge 0, c'est-à-dire une énergie cinétique résiduelle E_{c,\infty} \ge 0. Comme l'énergie potentielle s'annule à l'infini et que l'énergie mécanique est conservée :

La condition pour que l'objet soit dans un état de diffusion est donc :

(la trajectoire est alors parabolique pour E_m = 0 ou hyperbolique pour E_m > 0).

3. Vitesse de libération

La vitesse de libération v_{\text{lib}}(r) à la distance r est la vitesse minimale que doit posséder l'objet pour échapper à l'attraction gravitationnelle (correspondant au cas limite E_m = 0) :

On en déduit :

4. Rayon de Schwarzschild

Selon l'hypothèse de l'énoncé, aucun objet, y compris un photon se propageant à la vitesse c, ne peut s'échapper si sa vitesse est inférieure à la vitesse de libération. Le rayon limite R_s, dit rayon de Schwarzschild, correspond à la distance à laquelle la vitesse de libération est égale à la célérité de la lumière dans le vide (v_{\text{lib}}(R_s) = c) :

D'où l'expression du rayon de Schwarzschild :

D'après la question Q9, le rayon de Schwarzschild s'écrit :

Pour un trou noir de masse M = 100\,M_\odot = 2{,}0 \times 10^{32}\text{ kg} :

Le rayon de la dernière orbite circulaire stable (ISCO) vaut donc :

Deux approches physiques permettent d'estimer l'échelle de temps minimale de variabilité :

1. Approche orbitale (période de révolution sur la dernière orbite stable) : Sur une orbite circulaire de rayon R_o, la vitesse orbitale classique s'écrit :

La période orbitale associée est :

Numériquement, avec \sqrt{6} \simeq 2{,}45 et 3\pi \simeq 10 :

2. Approche par la limite de causalité (temps de traversée lumineuse) : Le temps minimal requis par la lumière pour traverser la région d'émission de taille caractéristique R_o est :

L'échelle de temps minimale attendue est donc comprise entre quelques millisecondes et quelques dizaines de millisecondes :

Conclusion : Cette échelle de variabilité théorique (T_o \approx 0{,}05\text{ s}) est en excellent accord avec la plus petite échelle de variabilité observée expérimentalement dans le document 2, à savoir les sursauts de période \Delta t = 1/f_3 \simeq 0{,}10\text{ s}.

Cela confirme que la source GRS 1915+105 n'est pas une étoile normale mais abrite bien un objet compact (trou noir stellaire), validant ainsi pleinement l'Hypothèse 2.

Dans le référentiel \mathscr{R}_O supposé galiléen, le système \{S_0, S_1\} est isolé d'un point de vue mécanique : les seules actions mécaniques en jeu sont les forces gravitationnelles intérieures réciproques données par la loi de Newton :

L'application du principe fondamental de la dynamique à chacun des deux points matériels dans \mathscr{R}_O donne :

Soit, en simplifiant par les masses respectives M et m :

En sommant les deux équations du principe fondamental de la dynamique :

Or, par définition du barycentre K, on a (M+m)\overrightarrow{OK} = M\overrightarrow{OS_0} + m\overrightarrow{OS_1}. En dérivant deux fois par rapport au temps dans \mathscr{R}_O :

Le point K est donc animé d'un mouvement rectiligne et uniforme dans le référentiel galiléen \mathscr{R}_O. Le référentiel \mathscr{R}_K, centré en K et en translation par rapport à \mathscr{R}_O, est donc en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen :

Caractère galiléen du référentiel \mathscr{R} centré sur S_0 :

L'accélération de S_0 dans \mathscr{R}_K s'écrit \vec{a}(S_0) = \frac{Gm}{\|\overrightarrow{S_0 S_1}\|^2}\vec{u}. Elle devient négligeable devant celle de S_1 (\vec{a}(S_1) = -\frac{GM}{\|\overrightarrow{S_0 S_1}\|^2}\vec{u}) dès lors que la masse de l'étoile compagnon est très faible devant celle de l'objet compact :

Sous cette condition, le centre de masse K est quasiment confondu avec S_0, et le mouvement de S_0 dans \mathscr{R}_K est négligeable, ce qui permet de considérer \mathscr{R} comme galiléen.

Planéité du mouvement de S_1 dans \mathscr{R} :

Dans le référentiel \mathscr{R} (supposé galiléen), S_0 est fixe à l'origine. L'étoile compagnon S_1 est soumise à la seule force de gravitation exercée par S_0, qui est une force centrale dirigée vers S_0 :

Évaluons le moment cinétique de S_1 par rapport au pôle S_0 dans \mathscr{R} :

Le théorème du moment cinétique en S_0 (point fixe de \mathscr{R}) s'écrit :

Le vecteur moment cinétique \vec{L}_{S_0}(S_1) est donc rigoureusement constant au cours du temps : \vec{L}_{S_0} = \vec{C}^{\mathrm{te}}.

• Si \vec{L}_{S_0} = \vec{0}, le produit vectoriel \vec{r}\wedge\vec{v} est nul, le mouvement est purement radial (rectiligne, cas dégénéré de mouvement plan).

• Si \vec{L}_{S_0} \neq \vec{0}, alors à chaque instant :

  \overrightarrow{S_0 S_1}(t) \cdot \vec{L}_{S_0} = \left(\overrightarrow{S_0 S_1} \wedge m \vec{v}\right) \cdot \overrightarrow{S_0 S_1} = 0

  Le vecteur position reste orthogonal au vecteur fixe \vec{L}_{S_0}.

1. Schéma de la situation

2. Expression de la période perçue T'

Un premier front d'onde est émis par la source S à l'instant t_0 depuis la distance d_1 de D. Il se propage dans le vide à la vitesse c et atteint le détecteur D à la date :

Le front d'onde suivant est émis à la date t_0 + T alors que la source se trouve à la distance d_2 de D. Il est reçu par le détecteur à la date :

La période apparente T' mesurée par le détecteur est l'intervalle de temps séparant la réception de ces deux signaux successifs :

3. Expression de la fréquence perçue f'

Pendant la durée T, la source effectue le déplacement \vec{S(t_0)S(t_0+T)} = \vec{v}T. Le vecteur joignant la source au détecteur à t_0 + T s'écrit :

En prenant le carré de la norme :

Sous l'hypothèse vT \ll d_1, on effectue un développement limité au premier ordre :

Il vient ainsi :

En reportant dans l'expression de la période :

La fréquence émise étant f = \frac{1}{T} et la fréquence perçue f' = \frac{1}{T'}, on obtient :

L'approximation non relativiste v \ll c permet un développement limité au premier ordre :

4. Nom du phénomène

Ce décalage de fréquence d'une onde dû au mouvement relatif de la source et du récepteur s'appelle l'effet Doppler (ou effet Doppler-Fizeau pour les ondes lumineuses).

1. Schéma de la trajectoire et des vitesses

Le mouvement circulaire est supposé uniforme dans le plan \mathscr{P}. L'observateur est situé à l'infini dans ce plan ; la ligne de visée définit la direction de projection. En chaque point, la vitesse orbitale \vec{v} est tangente au cercle de rayon r. La vitesse projetée \vec{v}_p est la projection orthogonale de \vec{v} sur la direction de visée.

2. Extrema de v_p

Repérons la position angulaire du compagnon par l'angle \varphi = (\vec{u}_{\text{visée}}, \overrightarrow{OS_1}). La vitesse orbitale s'écrit \vec{v} = v\,\vec{u}_\theta, d'où sa projection algébrique sur la direction de visée :

• Au sens de l'intensité (norme \|\vec{v}_p\| = v |\sin\varphi|) :

  \boxed{v_{p,\min} = 0 \quad \text{et} \quad v_{p,\max} = v}

• Au sens de la composante algébrique (vitesse radiale) :

  \boxed{v_{p,\text{alg}} \in [-v, +v]}

3. Positions du compagnon correspondant aux extrema

• Valeurs maximales de l'intensité (v_p = v) : elles sont atteintes aux points A et B où le vecteur position \overrightarrow{OS_1} est perpendiculaire à la ligne de visée (\varphi = \pi/2 et \varphi = 3\pi/2, positions dites de quadrature). En ces points, le vecteur vitesse \vec{v} est colinéaire à la ligne de visée.
• Valeur minimale de l'intensité (v_p = 0) : elle est atteinte aux points C et D situés sur la ligne de visée (\varphi = 0 et \varphi = \pi, positions de conjonction et d'opposition). En ces points, \vec{v} est orthogonal à la ligne de visée.

4. Moment où l'on peut mesurer v

On peut mesurer directement la vitesse orbitale v lorsque le compagnon passe par les positions de quadrature (points A et B), moments où la vitesse projetée sur la ligne de visée est maximale en amplitude et s'identifie à la vitesse de déplacement réelle :

1. Valeurs de l'inclinaison i pour les valeurs extrêmes de v_p :

D'après les définitions données, la ligne de visée est orthogonale au plan du ciel \mathscr{C}, et l'inclinaison i est l'angle entre le plan orbital \mathscr{P} et le plan du ciel \mathscr{C} (0 \le i \le \frac{\pi}{2}) :

• Pour i = 0 (0^\circ), le plan orbital est confondu avec (ou parallèle à) \mathscr{C} (orbite vue « de face »). Le vecteur vitesse \vec{v} reste en permanence dans le plan du ciel, donc orthogonal à la ligne de visée : la projection est constamment nulle, soit v_p = 0 (valeur minimale).
• Pour i = \frac{\pi}{2} (90^\circ), le plan orbital est orthogonal à \mathscr{C}, ce qui signifie que la ligne de visée est contenue dans \mathscr{P} (orbite vue « par la tranche », comme à la question 13). La projection de la vitesse peut alors atteindre la valeur de la vitesse orbitale v (valeur maximale).

2. Relation entre v_{p,\max}, v et i :

Dans le repère orbital, la vitesse \vec{v} est tangentielle à la trajectoire circulaire de rayon r. La vitesse radiale projetée le long de la ligne de visée s'annule lorsque le mouvement est perpendiculaire à cette ligne, et atteint son maximum lorsque \vec{v} est dirigé le long de la ligne de plus grande pente du plan \mathscr{P} par rapport à \mathscr{C} (positions de quadrature).

L'angle entre la ligne de visée (normale à \mathscr{C}) et la ligne de plus grande pente de \mathscr{P} vaut \frac{\pi}{2} - i. Par projection :

3. Interprétation du document 4 et estimation de v_{p,\max} :

• Interprétation : La vitesse projetée v_p varie de manière sinusoïdale en fonction de la phase orbitale \phi = t/P : v_p(\phi) = v_{p,\max}\sin(2\pi\phi + \phi_0). Cette forme harmonique confirme que l'orbite du compagnon est quasi-circulaire et parcourue à vitesse uniforme.
• Les vitesses positives correspondent à un éloignement du compagnon (effet Doppler vers le rouge), tandis que les vitesses négatives correspondent à un rapprochement (décalage vers le bleu).
• Les passages par zéro correspondent aux conjonctions (compagnon passant devant ou derrière le trou noir), où la vitesse orbitale est orthogonale à la ligne de visée.
• Mesure de v_{p,\max} : L'amplitude de la sinusoïde ajustée sur les points expérimentaux culmine à environ 140\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} (et atteint son minimum symétrique à -140\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}). Compte tenu de la dispersion des mesures et des barres d'erreur expérimentales (d'environ \pm 10\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} à \pm 15\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}), on peut adopter :

On applique le principe fondamental de la dynamique à l'étoile compagnon S_1 :

• Système : compagnon S_1, assimilé à un point matériel de masse m ;
• Référentiel : référentiel \mathscr{R} centré sur l'objet compact S_0, supposé galiléen dans l'approximation m \ll M (d'après la question 11) ;

• Bilan des forces : seule la force gravitationnelle exercée par S_0 est prise en compte, soit

  \vec{F} = -\frac{G M m}{r^2}\,\widehat{u}_r

  où \widehat{u}_r est le vecteur unitaire radial dirigé de S_0 vers S_1.

Le mouvement étant circulaire uniforme de rayon r à la vitesse v, l'accélération est purement centripète et s'écrit dans la base polaire :

La projection du principe fondamental de la dynamique m\vec{a} = \vec{F} sur l'axe radial donne :

Pour une orbite circulaire de rayon r parcourue à la vitesse uniforme v, la période de révolution P s'exprime par :

En injectant cette relation dans l'expression de v^2, on obtient :

On retrouve ainsi la troisième loi de Kepler pour une orbite circulaire :

D'après la question Q15, la vitesse orbitale v du compagnon vérifie :

En éliminant le rayon de l'orbite r = \frac{v P}{2\pi}, il vient :

D'après la question Q14, la projection maximale sur la ligne de visée s'écrit v_{p,\max} = v \sin i. En injectant cette relation dans l'expression de la fonction de masse g(M,i) définie par l'énoncé :

On en déduit :

Calculons numériquement la valeur de g. D'après le document 4 et la question Q14 :

• P = 2{,}8 \times 10^6\text{ s} ;
• v_{p,\max} \simeq 140\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}4 \times 10^5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• G \simeq 7{,}0 \times 10^{-11}\text{ SI}.

En utilisant l'indication 1{,}4^3 \simeq \frac{11}{4}, le numérateur vaut :

D'où la valeur de g en unités SI :

En exprimant ce résultat en masses solaires (M_\odot \simeq 2{,}0 \times 10^{30}\text{ kg}) et en utilisant l'approximation 3\pi \simeq 10 (soit 2\pi \simeq 20/3) :

(Avec la valeur usuelle de \pi, on obtiendrait \frac{55}{2\pi} \simeq 8{,}8). On retient donc :

Comme \sin i \le 1, on a M = \frac{g}{\sin^3 i} \ge g. La masse minimale de l'objet compact central est donc :

D'après le document 3 :

• une naine blanche ne peut pas dépasser la masse limite de Chandrasekhar (M < 1{,}5 \, M_\odot) ;
• une étoile à neutrons ne peut pas dépasser la masse limite d'Oppenheimer-Volkoff (M < 3 \, M_\odot).

Puisque M \ge 8{,}3 \, M_\odot > 3 \, M_\odot, l'objet compact ne peut être ni une naine blanche, ni une étoile à neutrons :

Le domaine des ondes hertziennes (ondes radio) s'étend typiquement pour des longueurs d'onde dans le vide comprises entre environ 1\text{ mm} et plusieurs kilomètres, ce qui correspond à des fréquences comprises entre quelques kilohertz et quelques centaines de gigahertz :

En radioastronomie (notamment avec le Very Large Array mentionné dans le texte), les observations sont couramment effectuées dans le domaine centimétrique, correspondant à un ordre de grandeur typique de :

1. Mouvement uniforme des éjectas

Le document 5 précise que la distance verticale entre les clichés successifs est proportionnelle au temps écoulé entre les observations. La figure constitue donc un diagramme horaire (x, t) où l'axe vertical représente le temps et l'axe horizontal la position sur le ciel par rapport à la source centrale.

Sur cette figure, les centres de luminosité des deux éjectas s'alignent le long de deux segments de droite issus de la source centrale. La distance angulaire apparente croît donc linéairement avec le temps : la vitesse angulaire apparente de chaque éjecta est uniforme.

2. Expression des vitesses angulaires apparentes

Les deux dates extrêmes fournies dans le tableau sont le 18 mars et le 16 avril 1994. Le mois de mars comptant 31 jours, la durée séparant ces deux observations est :

À partir des distances angulaires extrêmes (0'' au 18 mars, puis respectivement 0{,}50'' et 0{,}26'' au 16 avril), les vitesses angulaires apparentes s'écrivent :

3. Déduction des vitesses linéaires et commentaire

Par définition, le parsec est la distance à laquelle une longueur de 1\text{ ua} est vue sous un angle d'une seconde d'arc (1''). Par conséquent, à la distance de la source D = 12\text{ kpc} = 12 \times 10^3\text{ pc}, un angle de 1'' correspond à une distance physique transverse :

Sachant qu'un jour compte 86\,400\text{ s}, la vitesse linéaire apparente associée à un éjecta de vitesse angulaire \mu vaut :

Pour chacun des deux éjectas :

Avec deux chiffres significatifs :

Commentaire : La vitesse de la lumière dans le vide étant c \simeq 3{,}0 \times 10^5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}, on constate que la vitesse transverse apparente du premier éjecta est supraluminique :

Cette vitesse apparente supérieure à c ne viole pas les lois de la relativité restreinte : il s'agit d'une illusion géométrique provoquée par le fait que l'éjecta se déplace à une vitesse relativiste avec une composante dirigée vers l'observateur, ce qui « rattrape » en partie le trajet des photons émis et raccourcit l'intervalle de temps de réception.

1. Distance à la source et déplacement apparent

Les deux éjectas sont émis à t=0 depuis l'astre central et se propagent en sens opposés à vitesse constante de norme v_e. La distance réelle entre la source centrale et chaque éjecta à la date t s'écrit :

D'après les questions précédentes, l'angle entre le plan orbital \mathscr{P} et le plan du ciel \mathscr{C} vaut i. L'axe d'éjection étant orthogonal à \mathscr{P} et la ligne de visée orthogonale à \mathscr{C}, l'angle entre la trajectoire de l'éjecta 1 (se dirigeant vers l'observateur) et la ligne de visée est également égal à i.

Le déplacement apparent correspond à la projection du vecteur position sur le plan du ciel \mathscr{C} (orthogonal à la ligne de visée). Pour chacun des deux éjectas, la norme de ce déplacement apparent vaut :

2. Dates de réception t_1 et t_2 des photons

Considérons un photon émis par la source centrale à la date initiale t=0. Située à la distance D, il parvient à l'observateur à la date de référence :

À la date t, la coordonnée de chaque éjecta le long de la ligne de visée (axe orienté de la source vers l'observateur) est :

• Pour l'éjecta 1 (qui s'approche de l'observateur) : x_1(t) = R(t)\cos i = v_e t \cos i. La distance restant à parcourir par la lumière émise à l'instant t est D_1(t) = D - v_e t \cos i.
• Pour l'éjecta 2 (qui s'éloigne de l'observateur) : x_2(t) = -R(t)\cos i = -v_e t \cos i. La distance restant à parcourir est D_2(t) = D + v_e t \cos i.

Les photons émis à l'instant t sont donc reçus sur Terre aux dates respectives :

3. Normes des vitesses apparentes v_1 et v_2

Pour l'observateur terrestre, l'intervalle de temps séparant la réception du signal initial (t_0) et celle du signal émis à l'instant t vaut :

Les vitesses apparentes transverses, mesurées par l'observateur sur le plan du ciel, sont définies par v_k = \frac{R_{\text{app}}(t)}{\Delta t_k}. On en déduit :

D'après la question Q19, la norme de la vitesse apparente de l'éjecta 1 s'écrit :

1. Condition de maximisation de v_1(i) :

Dérivons v_1(i) par rapport à l'inclinaison i \in [0, \pi/2] :

La dérivée s'annule et change de signe pour \cos i = \beta. La vitesse apparente v_1(i) est donc maximale lorsque l'angle i vérifie la relation :

2. Expression de la vitesse apparente maximale v_{1, \mathrm{max}} :

Pour \cos i = \beta, on a :

avec \gamma = \left[1 - \left(\dfrac{v_e}{c}\right)^2\right]^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}.

En reportant dans l'expression de v_1, on obtient :

soit :

3. Condition de mouvement superluminique apparent :

Un mouvement apparent plus rapide que la lumière correspond à v_1 > c. Cette condition est réalisable pour une certaine plage d'angles i si et seulement si la vitesse maximale dépasse c :

Puisque \beta > 0, la condition s'écrit :

Numériquement, avec la donnée \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}70 et c \simeq 3{,}0 \times 10^5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} :

D'après la question Q19, les vitesses apparentes des deux éjectas s'écrivent :

En prenant l'inverse de chacune de ces expressions :

Par soustraction membre à membre :

D'où l'expression de \tan i :

Par addition membre à membre :

Comme \sin i = \tan i \cos i = \dfrac{2 v_1 v_2}{c (v_1 - v_2)} \cos i, on en déduit :

Soit :

Applications numériques : En utilisant les valeurs trouvées à la question Q18 (v_1 \simeq 4{,}8 \times 10^5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}, v_2 \simeq 2{,}5 \times 10^5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}) et c \simeq 3{,}0 \times 10^5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} :

À l'aide de la courbe y = \arctan x fournie en page 2, pour x = 3{,}5, on lit :

La lecture de la courbe \cos(y) pour y = 74^\circ donne \cos i \simeq 0{,}28 (la relation trigonométrique donne \cos i = (1+\tan^2 i)^{-1/2} \simeq 0{,}28). On calcule alors v_e :

Commentaire sur la valeur de v_e : D'après la relativité restreinte, la vitesse de propagation de toute particule matérielle dans le vide est strictement inférieure à la vitesse de la lumière c. Une valeur réelle v_e > c est physiquement impossible.

Ce résultat supérieur à c provient directement des approximations numériques simplificatrices adoptées par l'énoncé (en particulier la valeur de l'unité astronomique 1\text{ ua} \simeq 2{,}0 \times 10^{11}\text{ m} au lieu de 1{,}50 \times 10^{11}\text{ m}, qui majore les vitesses de 33\,\%) ainsi que des incertitudes de mesure sur les positions angulaires du document 5. Physiquement, ce calcul met en évidence le caractère ultra-relativiste du jet de matière éjecté par l'astre compact, dont la vitesse réelle d'éjection est très proche de celle de la lumière (v_e \lesssim c).

D'après la question Q16, dans le cadre de l'approximation d'un compagnon de masse négligeable devant celle de l'objet compact (m \ll M), la fonction de masse s'écrit :

À la question Q21, l'inclinaison a été déterminée à partir de la cinématique des deux jets :

On en déduit :

Avec la valeur de la fonction de masse calculée à la question Q16 (g \simeq 8{,}3\,M_\odot) :

En utilisant la masse du Soleil M_\odot \simeq 2{,}0 \times 10^{30}\text{ kg} :