CCINP Modélisation TPC 2021Sujet

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TPC

MODÉLISATION

RAPPEL DES CONSIGNES

• Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
• Ne pas utiliser de correcteur.
• Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Modélisation de la fuite de matière d'un réservoir rempli de dioxyde de carbone gazeux

Présentation générale

Quelques précisions concernant les notations utilisées

Partie I - Modélisation de la fuite d'un réservoir : mise en équation

Généralités sur les bilans de matière et d'énergie en système ouvert

Figure 1 - Représentation schématique d'un système ouvert

Écriture d'un modèle décrivant la fuite d'un réservoir adiabatique contenant du CO_2

Réservoir adiabatique

Q6. Le modèle gaz parfait

Figure 3 - Fuite de CO_2 gazeux à travers l'orifice dans la paroi du réservoir

• l'écoulement de gaz à travers l'orifice est adiabatique et stationnaire;
• la vitesse du gaz en entrée du système est nulle, elle est notée v_s en sortie;
• la température et la pression du gaz en entrée sont notées T et P (ce sont celles du gaz à l'intérieur du réservoir); en sortie, elles sont notées T_s et P_s = P_(ext).

Partie II - Modélisation de la fuite d'un réservoir : traitement numérique

from math import log, sqrt # logarithme népérien, racine carrée
# constantes générales
M = 44.01e-3 # Masse molaire du CO2 (kg/mol)
Pext = 1.013e5 # Pression extérieure (Pa)
R = 8.314 # Constante des gaz parfaits (J/K/mol)
S = 1.000e-4 # Section de l'orifice de fuite (m^2)
Text = 293.0 # Température extérieure (K)
V = 1.000 # Volume de l'enceinte (m^3)
K = S * Pext * sqrt(2 * M / R) # constante présente dans les équations du
    ~ modèle
# constantes pour le modèle A de f(T)
A1 = 8.303
A2 = -2810
A3 = 485.6
# initialisation
m0 = 11.00 # Masse initiale du CO2 dans l'enceinte (kg)
T0 = 473.2 # Température initiale du CO2 dans l'enceinte (K)

• définir la fonction f(T);
• calculer l'intégrale ∫[f(T)/T]dT par la méthode des rectangles;
• définir la fonction g(T, T_s, m);
• résoudre l'équation g(T, T_s, m) = 0 par la méthode de Newton pour obtenir T_s.

def chercheTs(T, m):
    "Résolution de l'équation g(T, Ts, m) = 0 par la méthode de
        - Newton"
    Ts = 300.0
    [instruction1] # À modifier
    while residu > 1e-10:
        gn = [instruction2] # À modifier
        gpn = f(Ts) / Ts
        Tsold = Ts
        Ts = [instruction3] # À modifier
        residu = abs(Ts - Tsold)
    return Ts

• calculer l'intégrale ∫f(T)dT qui intervient dans l'une d'elles;
• déterminer les solutions des 2 équations différentielles par la méthode d'Euler.

- Initialisation des variables dt, N, T, m et P
- Début d'une boucle avec test d'un ou plusieurs critères d'arrêt
    - calcul de Ts
    - calcul de mp et Tp par le schéma d'Euler
    - actualisation des variables
- Renvoie des grandeurs attendues

Partie III - Développement de corrélations pour la capacité thermique à pression constante molaire du dioxyde de carbone

Préambule

Développement du modèle polynomial

import matplotlib.pyplot as plt # tracés
import numpy as np # travail matriciel
# Données expérimentales
T = np.array([100.0, 500.0, ...]) # température (K)
CpmR = np.array([3.513, 5.367, ...]) # Cpm/R
# modèle B
Tc = 304.2 # Température critique du CO2 (K)
Y = np.array(...) # Vecteur Y du modèle B
M = np.array(...) # Matrice M du modèle B

Figure 6 - Confrontation des points expérimentaux et des deux modèles

Partie IV - Traitement informatique des données expérimentales

def tri(L):
    "Trie la liste L"
    n = len(L)
    if n <= 1:
        return L
    a = L[-1]
    L1 = []
    L2 = []
    for i in range(n - 1):
        if L[i] <= a:
            L1.append(L[i])
        else:
            L2.append(L[i])
    return tri(L1) + ... + ... # À compléter

• la table general contenant des informations diverses sur les molécules;
• la table capa contenant les données expérimentales de mesure du rapport C_(p, m)/R en fonction de la température pour différentes molécules.

    SELECT g.symbole, count(*) AS nb
        FROM general AS g
        JOIN capa AS c ON g.idcas = c.idcas
GROUP BY c.idcas

ANNEXE

Bibliothèque numpy de Python

>>> import numpy as np

>>> tab = np.array([[1.5, 2, 3], [4, 5, 6]])
>>> print(M)
[[1.5 2. 3.]
    [4. 5. 6. ]]

>>> M = np.array([1.5, 2], [4, 5])
>>> N = np.linalg.inv(M)
>>> print(N)
[[-10., 4.],
    [ 8., -3.]]

Bibliothèque matplotlib de Python

>>> import matplotlib.pyplot as plt

>>> X = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
>>> Y = [0, 1, 4, 9, 16, 25]
>>> plt.plot(X, Y)
>>> plt.show()

Mémento de commandes sql

SELECT ... - sélection d'attributs
FROM ... - choix de tables
JOIN ... ON ... - jointure entre tables
WHERE ... - condition
GROUP BY ... - groupements
HAVING ... - condition sur les agrégations
ORDER BY ... - classement
AVG(...), MIN(...), MAX(...), SUM(...), COUNT(...) - commandes d'agrégation
AS - renommage