Corrigé détaillé ENS Physique Chimie L PC 2020 (page 4/4 : Chimie (questions 17 à 31))

Lors de l'oxydation du peroxyde d'hydrogène \mathrm{H}_2\mathrm{O}_2, ce dernier joue le rôle de réducteur dans le couple d'oxydoréduction \mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O}_2 (dont le potentiel standard est donné en annexe : E^\circ(\mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O}_2) = 0{,}44\text{ V/ECS}).

La demi-équation électronique d'oxydation s'écrit :

On peut également le vérifier à l'aide des nombres d'oxydation de l'élément oxygène :

• au sein du peroxyde d'hydrogène \mathrm{H}_2\mathrm{O}_2, l'oxygène est au degré d'oxydation -\mathrm{I} ;
• au sein du dioxygène \mathrm{O}_2, l'oxygène est au degré d'oxydation 0.

L'oxydation d'une molécule de \mathrm{H}_2\mathrm{O}_2 comportant deux atomes d'oxygène libère ainsi :

Le nombre d'électrons échangés par molécule de peroxyde d'hydrogène consommée à l'anode est donc bien :

Dans le Document 2, l'équation différentielle régissant le transport d'une espèce i en régime stationnaire s'écrit (équation (15)) :

À l'intérieur de la membrane (Document 3) :

• le solvant est immobile, d'où v_z = 0 ;
• le coefficient de diffusion de l'espèce est noté D_m (D_m > 0) ;
• la concentration dans la membrane est notée c_m.

Par analogie immédiate, l'équation différentielle vérifiée par c_m à l'intérieur de la membrane en régime stationnaire s'écrit :

Puisque le coefficient de diffusion D_m est non nul, cette équation se simplifie en :

D'après la question Q18, le profil stationnaire de concentration c_m(z) à l'intérieur de la membrane (pour z \in [-l, 0]) est régi par :

Une première intégration montre que le gradient spatial de concentration est constant dans toute la membrane :

En intégrant cette relation entre la surface de l'électrode (z = -l) et une altitude z quelconque de la membrane :

On en déduit directement le profil affine :

D'après l'équation différentielle de diffusion stationnaire établie à la question 18 :

Par intégration par rapport à z, le gradient de concentration \dfrac{\partial c_m}{\partial z} est indépendant de z à l'intérieur de la membrane. En évaluant cette dérivée aux deux frontières z = 0^- et z = -l, on en déduit immédiatement :

D'après le Document 3, la loi de Faraday en régime stationnaire donne l'intensité du courant traversant l'électrode :

En remplaçant \left( \dfrac{\partial c_m}{\partial z} \right)_{z=0^-} par son expression donnée par l'équation (17) de l'énoncé :

on obtient, après simplification par D_m au numérateur :

En divisant le numérateur et le dénominateur par \dfrac{D_i}{\delta_i}, on peut également mettre cette relation sous la forme particulièrement condensée :

D'après la question Q20, le courant traversant l'électrode en régime stationnaire s'écrit :

Pour E \gg E^\circ, la cinétique électrochimique d'oxydation devient infiniment rapide devant le transport de matière. D'après la relation de Nernst, l'espèce réactive est totalement consommée à la surface du métal :

Le courant atteint alors une valeur limite de diffusion I_{\text{lim}} indépendante du potentiel :

En prenant l'inverse de cette expression, on obtient :

Cette relation se met bien sous la forme :

avec :

qui représente le courant limite associé au transport diffusif et convectif dans la couche limite de la solution (dépendant de D_i, de la viscosité cinématique \nu et de la vitesse de rotation \omega via \delta_i), et :

qui représente le courant limite de perméation à travers la membrane (dépendant des propriétés intrinsèques de celle-ci : son épaisseur l, son coefficient de partage \alpha et le coefficient de diffusion D_m en son sein).

L'analyse des courbes courant-potentiel de la Figure (19) met en évidence plusieurs caractéristiques en accord complet avec le modèle établi :

1. Allure d'une vague d'oxydation stationnaire :

   • Le courant est positif (I > 0), ce qui correspond bien à un courant anodique associé à l'oxydation de \mathrm{H_2O_2} en \mathrm{O_2}.
   • Pour des potentiels élevés (E \gtrsim 0{,}7\text{ V/ECS}), le courant atteint un palier indépendant de E. Cela confirme l'hypothèse de la question Q21 : pour E \gg E^\circ, la cinétique hétérogène devient infiniment rapide, la concentration à la surface du métal s'annule (c_m(z = -l) = 0), et le courant est limité par le transport de matière (courant limite I_{\text{lim}}).

2. Dépendance avec la vitesse de rotation \omega :

   • Expérimentalement, le courant de palier I_{\text{lim}} augmente de façon monotone avec la vitesse de rotation, passant d'environ 8\,\mu\text{A} à 100 \text{tour}\cdot\text{min}^{-1} (courbe (a)) à près de 15\,\mu\text{A} à 1000 \text{tour}\cdot\text{min}^{-1} (courbe (e)).
   • Théoriquement, l'épaisseur de la couche limite de diffusion vérifie \delta_i \propto \omega^{-1/2} (Document 2). Lorsque \omega augmente, la convection forcée s'intensifie, la couche de diffusion s'amincit et le courant de diffusion en solution I_d \propto \delta_i^{-1} \propto \omega^{1/2} augmente.

   • D'après la relation de la question Q21 :

     \frac{1}{I_{\text{lim}}} = \frac{1}{I_d} + \frac{1}{I_m} \iff I_{\text{lim}} = \frac{I_d \, I_m}{I_d + I_m}

     Comme le courant limite de membrane I_m est indépendant de la vitesse de rotation, une hausse de I_d conduit directement à une augmentation du courant limite global I_{\text{lim}}.

Les courbes expérimentales sont donc parfaitement cohérentes avec la modélisation proposée.

D'après la question 21, le courant limite vérifie la relation :

avec :

Le courant limite de membrane I_m dépend uniquement des grandeurs physico-chimiques propres à la membrane (l, D_m, \alpha), à l'analyte et à l'électrode ; il est donc indépendant de la vitesse de rotation \omega.

D'après le Document 2, l'épaisseur de la couche de diffusion convective s'exprime selon :

En reportant cette expression dans celle de I_d, on obtient le courant de Levich classique :

Par conséquent, son inverse s'écrit sous la forme :

L'inverse du courant limite global s'écrit alors :

La représentation de Koutecky-Levich, qui donne \frac{1}{I_{\text{lim}}} en fonction de \sqrt{\frac{1}{\omega}}, est donc une droite affine d'équation :

En extrapolant cette droite à vitesse de rotation infinie (\omega \to +\infty, soit \sqrt{\frac{1}{\omega}} \to 0), l'ordonnée à l'origine vaut :

La mesure expérimentale de l'ordonnée à l'origine permet donc de déterminer directement la valeur de I_m.

D'après la relation établie à la question précédente (Q23), la droite de Koutecky-Levich s'écrit :

où I_d^{-1} \propto \sqrt{1/\omega}. L'ordonnée à l'origine de cette droite (correspondant à une vitesse de rotation infinie, soit \sqrt{1/\omega} = 0) est donc égale à l'inverse du courant limite de membrane :

Par lecture graphique sur la figure 20, l'axe vertical présente des graduations secondaires de pas 0{,}01\ \mu\text{A}^{-1}. La droite intercepte l'axe des ordonnées entre 0{,}03\ \mu\text{A}^{-1} et 0{,}04\ \mu\text{A}^{-1}, soit :

On en déduit la valeur du courant limite de membrane :

En conservant un seul chiffre significatif selon la consigne générale de l'énoncé :

D'après la question 21, la relation liant le courant limite global I_{\lim} aux contributions diffusive et membranaire s'écrit :

où les courants limites de diffusion et de membrane s'expriment respectivement par :

En réinjectant ces expressions dans la relation inverse :

ce qui conduit à :

D'après le Document 2, l'épaisseur de la couche de diffusion convective s'écrit :

Lorsque la vitesse de rotation \omega de l'électrode est maintenue constante, \delta_i est constant. Comme les grandeurs n, F, A, D_i, D_m, \alpha, l et \nu sont des constantes physico-chimiques ou géométriques indépendantes de la concentration, le terme entre parenthèses est une constante K :

Le courant limite I_{\lim} est donc rigoureusement proportionnel à la concentration c_i(\infty) en solution à vitesse de rotation constante.

1. Potentiel de mesure (E = 0{,}65\text{ V/ECS}) :

• D'après les courbes courant-potentiel de la figure (19), à E = 0{,}65\text{ V/ECS}, la courbe pour 600\text{ tour}\cdot\text{min}^{-1} (courbe (d)) a atteint son palier de diffusion : le courant est indépendant du potentiel et correspond bien au courant limite I_{\lim} régi par le transport de matière (c_m(z=-l) \approx 0).
• Se placer au début du palier (0{,}65\text{ V}) plutôt qu'à un potentiel plus élevé (> 0{,}8\text{--}1\text{ V}) permet d'éviter l'oxydation du solvant (l'eau), la sur-oxydation ou dégradation de la membrane en polypyrrole, ainsi que l'oxydation d'éventuels interférents.

2. Vitesse de rotation de l'électrode (600\text{ tour}\cdot\text{min}^{-1}) :

• Une vitesse de rotation élevée diminue l'épaisseur de la couche de diffusion convective \delta_i \propto \omega^{-1/2}, ce qui augmente I_d et donc I_{\lim} (question Q21). Cela améliore la sensibilité du capteur et le rapport signal sur bruit.
• Elle accélère également l'homogénéisation après chaque ajout (temps de réponse très court, quelques secondes seulement comme en atteste l'encart temporel de la figure 21).
• La valeur de 600\text{ tour}\cdot\text{min}^{-1} constitue un compromis optimal : elle assure un signal fort tout en restant en régime d'écoulement laminaire et sans solliciter excessivement la membrane mécanique.

3. Concentrations et volumes des ajouts :

• Négligence de la dilution : chaque ajout apporte un volume v_{\text{aj}} = 50\ \mu\text{L} = 0{,}050\text{ mL} dans un volume initial V_0 = 20\text{ mL}. Au bout de 8 ajouts, le volume total ajouté n'est que de 0{,}4\text{ mL}, soit une variation relative de volume de :

  \frac{\Delta V}{V_0} = \frac{0{,}4}{20} = 2\,\% \ll 1

  Le volume peut donc être considéré comme rigoureusement constant, évitant toute correction géométrique de dilution.

• Régularité et domaine de concentration : chaque ajout de 50\ \mu\text{L} à C_{\text{aj}} = 9{,}1\times 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} apporte une quantité :

  \Delta n = C_{\text{aj}} v_{\text{aj}} = 9{,}1\times 10^{-3} \times 50\times 10^{-6} \approx 4{,}55\times 10^{-7}\text{ mol}

  ce qui correspond à un incrément régulier de concentration dans la cellule de :

  \Delta [\mathrm{H_2O_2}] = \frac{\Delta n}{V_0} = \frac{4{,}55\times 10^{-7}}{20\times 10^{-3}} \approx 2{,}3\times 10^{-5}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} = 23\ \mu\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}

  Comme la solution initiale est à [\mathrm{H_2O_2}]_0 = 23\ \mu\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}, les 8 ajouts permettent de balayer une échelle linéaire régulière de 23 à environ 200\ \mu\text{mol}\cdot\text{L}^{-1} avec des points régulièrement espacés, plage typique des concentrations biologiques à doser.

1. Demi-équation électronique d'oxydation

La dopamine possède un motif catéchol (benzène-1,2-diol) qui est oxydé en ortho-benzoquinone (dopaminoquinone). En notant la formule brute de la dopamine \mathrm{C_8H_{11}NO_2} et celle de sa forme oxydée \mathrm{C_8H_9NO_2}, la demi-équation électronique s'écrit :

Il s'agit donc d'une oxydation à 2\,\mathrm{e}^- et 2\,\mathrm{H}^+.

2. Mécanisme de l'étape de cyclisation en milieu aqueux

La dopaminoquinone formée est une cétone \alpha,\beta-éthylénique conjuguée (diénone conjuguée), particulièrement électrophile au niveau des carbones \beta du système conjugué :

• Étape 1 : Addition 1,4 intramoléculaire (addition de Michael)
  Le doublet non liant de l'atome d'azote de la fonction amine primaire -\mathrm{NH}_2 réalise une attaque nucléophile sur le carbone électrophile du cycle quinonique situé en position ortho de la chaîne alkyle (fermeture d'un cycle à 5 chaînons thermiquement très favorable). La double liaison se déplace et le doublet d'une liaison \mathrm{C=O} se rabat sur l'atome d'oxygène, formant un intermédiaire zwitterionique (ammonium-énolate).

• Étape 2 : Transferts de protons et réaromatisation
  En milieu aqueux, le solvant (ou les fonctions acides/basiques présentes) assure le transfert prototropique :

  • Déprotonation de l'ion ammonium secondaire -\mathrm{NH}_2^+- pour redonner une fonction amine secondaire neutre -\mathrm{NH}-.
  • Protonation de l'énolate sur l'oxygène pour former un énol.
  • Tautomérie céto-énolique du second carbonyle accompagnée de la perte du proton porté par le carbone qui vient de subir l'attaque, ce qui restaure l'aromaticité du cycle benzénique (gain de stabilisation par réaromatisation en système catéchol).

Ce processus conduit à la formation de la 5,6-dihydroxyindoline (leucodopaminochrome).

L'acide ascorbique possède quatre groupements hydroxyle :

• deux fonctions énoliques formant un motif ènediol intracyclique conjugué au carbonyle de la lactone ;
• une fonction alcool secondaire et une fonction alcool primaire sur la chaîne latérale dihydroxyéthyle.

Justification de la chimiosélectivité :

• Le motif ènediol, conjugué avec le carbonyle de la fonction ester (lactone), présente une très forte densité électronique grâce au mésomérisme du système \pi conjugué. Son comportement redox est tout à fait analogue à celui d'un hydroquinone ou d'un catéchol (tel que la dopamine étudiée à la question précédente) : il s'oxyde de manière réversible à bas potentiel par perte de deux électrons et deux protons (2\,\mathrm{e}^- / 2\,\mathrm{H}^+).
• À l'inverse, les fonctions alcools aliphatiques primaire et secondaire de la chaîne latérale ne sont pas conjuguées ; leur oxydation nécessiterait des conditions ou des potentiels d'électrode beaucoup plus élevés, hors du domaine d'étude (E \approx 0{,}6\text{--}0{,}8\text{ V/ECS}).

L'oxydation est donc strictement chimiosélective du motif ènediol, qui est converti en motif \alpha-dicarbonyle (dicétone). Le produit formé est l'acide déshydroascorbique :

L'analyse des figures 22-(A) (acide ascorbique) et 22-(B) (dopamine) conduit aux observations suivantes :

• Sur électrode de platine nu (courbes b) : En présence d'interférent (10^{-4}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}), le courant mesuré est nettement supérieur à celui obtenu pour le peroxyde d'hydrogène seul (à 0{,}8\text{ V}, I \approx 12\ \mu\text{A} pour l'acide ascorbique et I \approx 13\ \mu\text{A} pour la dopamine, contre environ 8{,}5\ \mu\text{A} pour la référence). Cela prouve que ces espèces s'oxydent spontanément sur le platine nu au potentiel de mesure, faussant considérablement le signal.
• Sur électrode recouverte de la membrane (courbes c) : Pour les deux molécules testées, la courbe intensité-potentiel (c) obtenue en présence de l'interférent se superpose quasiment à la courbe (a) obtenue avec le peroxyde d'hydrogène seul (I \approx 8{,}5\ \mu\text{A} à 0{,}8\text{ V}).

La membrane de polypyrrole bloque donc très efficacement l'accès de l'acide ascorbique et de la dopamine à la surface métallique du platine, tout en laissant librement diffuser la petite molécule de peroxyde d'hydrogène (\text{H}_2\text{O}_2, M = 34\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, contre 176\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} pour l'acide ascorbique et 153\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} pour la dopamine).

L'absence de surcroît de courant en présence d'interférents confirme que le capteur muni de cette membrane est hautement sélectif et permet une détection fiable de \text{H}_2\text{O}_2 dans des milieux biologiques complexes comme les fluides extracellulaires.

L'utilisation de ce capteur ampérométrique in vivo se heurte à plusieurs obstacles majeurs :

1. La rotation mécanique de l'électrode : Le principe de l'électrode à disque tournant repose sur une rotation continue à vitesse élevée (de l'ordre de 600\text{ tr}\cdot\text{min}^{-1}). Dans un organisme vivant, la rotation d'une pièce mécanique entraînerait des lésions tissulaires sévères, l'arrachement des parois vasculaires, la destruction des cellules sanguines (hémolyse) ou l'activation immédiate de la coagulation.
2. L'encombrement et la taille macroscopique : Une électrode à disque tournant de laboratoire présente des dimensions centimétriques (support) ou millimétriques (disque actif), bien trop volumineuses pour une implantation atraumatique dans des capillaires, des vaisseaux sanguins ou des tissus biologiques.
3. L'absence d'hydrodynamique contrôlée : La théorie de Levich suppose un fluide newtonien homogène et infini au repos, mis en mouvement uniquement par le disque. In vivo, le milieu biologique est complexe, visqueux, structuré par une matrice extracellulaire ou soumis à un flux sanguin propre et pulsatile, rendant impossible l'établissement de la couche de diffusion modélisée par l'équation (16).

4. La biocompatibilité et la toxicité des composants :

   • Le montage à trois électrodes classique fait appel à une électrode au calomel saturé (ECS), contenant du mercure hautement toxique pour l'organisme ;
   • Les protéines et cellules sanguines s'adsorberaient rapidement sur la membrane en polymère (biofouling), bloquant l'accès du peroxyde d'hydrogène et désactivant le capteur.

Pour permettre l'utilisation de ce capteur ampérométrique in vivo, plusieurs adaptations s'imposent :

• Suppression du système d'entraînement en rotation et passage à une microélectrode :
  À la place d'une électrode à disque tournant macroscopique, on emploie une ultramicroélectrode fixe (fibre de carbone, microfil de platine de quelques micromètres de diamètre). En l'absence de convection imposée, la diffusion tridimensionnelle (sphérique ou hémisphérique) vers une microélectrode conduit spontanément à un régime de diffusion stationnaire très rapide sans aucune contrainte d'agitation mécanique, évitant ainsi toute lésion tissulaire.
• Miniaturisation du dispositif capteur :
  L'électrode de travail doit être intégrée sous la forme d'une micro-aiguille ou d'une sonde souple implantable de taille micrométrique, capable de pénétrer le milieu extra-cellulaire sans détruire l'environnement cellulaire environnant.
• Remplacement et intégration de la référence :
  L'électrode de référence au calomel saturé (ECS), toxique en raison de la présence de mercure, doit être remplacée par une micro-référence intégrée non toxique et biocompatible, typiquement une pseudo-référence \mathrm{Ag/AgCl} solide ou une contre-électrode en platine miniaturisée sur le même support.
• Amélioration de la biocompatibilité et prévention du bio-encrassement (biofouling) :
  Afin d'éviter le colmatage de la membrane de polypyrrole par les protéines, cellules ou lipides présents dans les fluides biologiques, on peut recouvrir le capteur d'une surcouche protectrice biocompatible (revêtement en polyéthylène glycol (PEG), hydrogel biocompatible, ou film perfluoré comme le Nafion) qui accroît la longévité de la mesure sans bloquer la diffusion de \mathrm{H_2O_2}.