Corrigé détaillé ENS Physique Chimie L PC 2020 (page 2/4 : Physique (questions 19 à 33))

L'angle \theta(z,t) que fait la tangente à la corde avec la verticale (axe Oz) vérifie :

L'approximation des « faibles perturbations » signifie que la corde s'écarte très peu de sa position d'équilibre verticale, ce qui impose que l'angle \theta reste partout petit devant 1 radian :

Or, l'ordre de grandeur de la dérivée spatiale d'une perturbation d'amplitude a et d'extension spatiale caractéristique \lambda est donné par :

Cette hypothèse impose donc que l'amplitude transverse soit très petite devant l'extension spatiale de l'onde :

On a également implicitement a \ll L (déplacement transverse très faible devant la longueur totale de la corde).

Considérons le système constitué de la portion de corde comprise entre l'extrémité libre (z = 0) et la cote z, soit le tronçon [0, z], au repos dans le référentiel galiléen \mathcal{R}(O, x, y, z).

Ce tronçon de longueur z et de masse m(z) = \mu z est soumis à deux actions mécaniques extérieures :

• son poids :

  \vec{P} = m(z)\vec{g} = -\mu g z\,\vec{u}_z

• l'action de contact exercée en M(z) par la partie supérieure [z, L] sur la partie [0, z] :

  \vec{T}(z) = T(z)\,\vec{u}_z

L'extrémité z = 0 étant libre, aucune force ne s'y applique.

À l'équilibre, le principe fondamental de la statique donne :

En projetant sur l'axe vertical ascendant \vec{u}_z, il vient :

d'où l'expression de la tension :

On étudie un élément de corde compris entre les cotes z et z+\mathrm{d}z, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}z, dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R}(O,x,y,z) supposé galiléen.

D'après la figure (6), le déplacement transverse est orienté selon l'axe (Oy), de sorte que la position d'un point de la corde s'écrit :

Le vecteur tangent unitaire \vec{\tau}(z,t) orienté dans le sens des z croissants s'exprime, au premier ordre en \partial h/\partial z (approximation des faibles perturbations établie à la question Q19) :

L'élément de corde est soumis aux actions mécaniques suivantes :

• la force exercée par la partie supérieure [z+\mathrm{d}z, L] en z+\mathrm{d}z : \vec{T}(z+\mathrm{d}z, t) = T(z+\mathrm{d}z)\,\vec{\tau}(z+\mathrm{d}z, t) ;
• la force exercée par la partie inférieure [0, z] en z (par le principe des actions réciproques) : -\vec{T}(z, t) = -T(z)\,\vec{\tau}(z, t) ;
• son poids : \mathrm{d}\vec{P} = -\mu g\,\mathrm{d}z\,\vec{u}_z.

L'accélération du tronçon est purement transverse au premier ordre :

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'élément de corde :

En projection sur l'axe transverse (Oy) :

En simplifiant par \mathrm{d}z, on obtient l'équation différentielle vérifiée par h(z,t) :

Développons le membre de droite de l'équation (9) :

D'après la question Q20, la tension s'écrit T(z) = \mu g z, d'où :

L'équation différentielle s'écrit donc exactement :

Pour obtenir l'équation approchée (10), il convient de négliger le second terme par rapport au premier :

La perturbation h(z,t) ayant pour amplitude caractéristique a et pour échelle spatiale caractéristique de variation \lambda, les ordres de grandeur des dérivées spatiales sont :

La condition de prépondérance s'écrit ainsi :

ce qui se simplifie en :

À l'échelle de la corde entière de longueur L, cette condition requiert au minimum :

avec la restriction de ne pas être trop proche de l'extrémité libre (z \to 0), où la tension s'annule.

D'après l'énoncé, nous adoptons l'équation d'onde approchée (10) avec la tension au repos T(z) = \mu g z (établie à la question 20) :

Le changement de variable spatiale est défini par :

La fonction H(Z,t) = h(z,t) vérifie, pour les dérivées temporelles :

Pour les dérivées spatiales, la dérivation des fonctions composées donne :

Or :

D'où l'expression de la dérivée première :

Dérivons une seconde fois par rapport à z :

En injectant ces résultats dans l'équation d'onde approchée et sachant que z = LZ^2 :

On obtient finalement l'équation aux dérivées partielles vérifiée par H(Z,t) :

D'après le résultat de la question 23, la fonction H(Z,t) vérifie l'équation aux dérivées partielles exacte issue du modèle approché (10) :

Pour que cette équation se réduise à la forme de l'équation (12), il faut pouvoir négliger le terme en dérivée première d'espace devant le terme en dérivée seconde :

Estimons l'ordre de grandeur de ces termes à l'aide des caractéristiques (a,\lambda) de la perturbation dans l'espace réel (z,t). La dérivée d'espace par rapport à z est associée à l'échelle caractéristique \lambda :

En utilisant la relation entre dérivées établie à la question 23 :

Le rapport du terme d'ordre un au terme d'ordre deux dominant vaut ainsi :

Ce terme est donc négligeable dès lors que :

Dans l'espace des variables adimensionnées (Z,t), en notant \Lambda \sim \frac{\lambda}{2\sqrt{zL}} l'extension spatiale de la perturbation le long de l'axe Z, cette condition s'écrit de manière équivalente :

Sous cette condition, l'équation se simplifie en :

Par identification avec l'équation (12) :

On obtient, en choisissant c_0 > 0 :

D'après le résultat établi à la question 24, la simili-célérité c_0 s'exprime par :

Avec les données de l'énoncé :

• g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• L = 1\text{ m}.

L'application numérique donne :

En respectant la consigne générale de l'épreuve prescrivant de donner les résultats numériques avec un seul chiffre significatif (tout en conservant la valeur non arrondie pour les exploitations ultérieures) :

La perturbation temporelle injectée en z_0 possède une durée caractéristique \tau.

1. Expression de l'extension spatiale caractéristique \lambda :

• Approche par la célérité physique : la célérité locale des ondes transverses le long de la corde est donnée par :

  c(z) = \sqrt{\frac{T(z)}{\mu}} = \sqrt{gz}

  À l'échelle de la corde entière (z \sim L), la célérité caractéristique est c \sim \sqrt{gL}. D'après la relation établie à la question Q24, c_0 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{L}}, soit :

  \sqrt{gL} = 2 c_0 L

  L'extension spatiale caractéristique \lambda associée à un signal de durée \tau s'écrit donc :

  \lambda \sim c \tau \sim 2 c_0 L \tau

• Approche dans l'espace (Z,t) : l'équation de d'Alembert (12) décrit une onde se propageant à la vitesse constante c_0, de sorte que l'extension spatiale caractéristique selon la variable adimensionnée Z vaut :

  \Delta Z = c_0 \tau

  La relation z = L Z^2 conduit, par différentiation pour un point courant de la corde (Z \sim 1), à :

  \lambda = \Delta z \sim 2 L Z \Delta Z \sim 2 c_0 L \tau

À l'ordre de grandeur près (ou au facteur 2 près selon la convention retenue), on a :

2. Vérification de la condition \lambda \ll L : En formant le rapport \lambda / L :

L'énoncé stipulant expressément que c_0 \tau \ll 1, il vient immédiatement :

D'après l'équation (12), la perturbation H(Z,t) = h(z,t) vérifie dans l'espace (Z,t) l'équation de d'Alembert classique :

où Z = \sqrt{z/L} et c_0 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{L}}.

À la position de la source z = z_0, soit Z_0 = \sqrt{z_0/L}, le déplacement imposé est donné par l'équation (13) :

1. Onde progressive h^{(+)}(z,t) (propagation vers z croissant) : Pour z \ge z_0 (soit Z \ge Z_0), l'onde se propage dans le sens des Z croissants avec la célérité c_0. Le signal reçu à la position Z à l'instant t a été émis à la position Z_0 à l'instant retardé :

Compte tenu de l'expression de c_0, on a \frac{1}{c_0 \sqrt{L}} = \frac{2}{\sqrt{g}}, d'où :

2. Onde régressive h^{(-)}(z,t) (propagation vers z décroissant) : Pour z \le z_0 (soit Z \le Z_0), l'onde se propage dans le sens des Z décroissants. Le retard de propagation depuis Z_0 s'écrit \Delta t = \frac{Z_0 - Z}{c_0} > 0, de sorte que le temps retardé est :

L'expression de l'onde régressive est donc :

L'analyse de la figure (7) permet de dégager plusieurs caractéristiques fondamentales de la propagation :

• Émission et dédoublement de l'onde : À t = 0, la perturbation est créée à une altitude z_0 \approx 0{,}5\text{ m}. Deux maxima distincts se séparent immédiatement :

  • une onde progressive se propageant vers le haut (z croissant) ;
  • une onde régressive se propageant vers le bas (z décroissant).

• Milieu inhomogène et célérité variable : Les trajectoires z_m(t) ne sont pas des droites, ce qui traduit une célérité de propagation locale non uniforme c(z) = \sqrt{\frac{T(z)}{\mu}} = \sqrt{gz} :

  • pour l'onde montante, z augmente donc la tension et la célérité augmentent : la pente \frac{\mathrm{d}z_m}{\mathrm{d}t} est croissante (concavité tournée vers le haut) ;
  • pour l'onde descendante, z diminue donc la célérité diminue : la vitesse de propagation chute et tend vers zéro à l'approche de l'extrémité libre z = 0, ce qui se traduit par un aplatissement visible de la trajectoire (la pente en valeur absolue décroît).
• Dissymétrie des temps de parcours : L'onde montante met environ \Delta t \approx 0{,}20\text{ s} pour parcourir les 0{,}5\text{ m} la séparant du sommet, tandis que l'onde descendante met près de \Delta t \approx 0{,}37\text{ s} pour parcourir les 0{,}5\text{ m} la séparant du bas. Cela confirme expérimentalement que la vitesse moyenne est nettement plus élevée en haut qu'en bas de la corde.
• Réflexion à l'extrémité supérieure : À t \approx 0{,}20\text{ s}, l'onde montante atteint le point de suspension B (z = L = 1\text{ m}). Elle s'y réfléchit et repart vers le bas. Au cours de cette redescente, sa vitesse diminue progressivement à mesure qu'elle descend vers des zones de plus faible tension, atteignant le bas de la corde vers t \approx 0{,}75\text{ s}.

L'analyse de la figure (8) montre les évolutions suivantes :

• Linéarité des trajectoires : Contrairement à l'espace (z,t) où les trajectoires étaient courbes en raison d'une célérité dépendant de la hauteur (c(z) = \sqrt{gz}), les points expérimentaux dans l'espace (Z,t) s'alignent remarquablement selon des segments de droite.

• Uniformité de la simili-célérité : La pente de ces droites est constante en valeur absolue :

  \left| \frac{\mathrm{d}Z_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}t} \right| = c_0 = \text{Cste}

  Cela confirme la validité de l'équation de d'Alembert approchée (12) établie à la question 24, montrant que dans l'espace (Z,t), la perturbation se propage à la vitesse constante c_0.

• Propagation bidirectionnelle et réflexion :

  • Une branche montante issue de la source (Z_0 \approx 0{,}71) se propage vers les Z croissants avec une vitesse \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} = +c_0 jusqu'à atteindre l'extrémité attachée Z = 1 (z = L) à t \approx 0{,}20\text{ s}.
  • En Z = 1, l'onde subit une réflexion et repart vers le bas (vers les Z décroissants) avec une vitesse opposée \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} = -c_0.
  • L'autre onde, issue de la source et se propageant initialement vers le bas, suit également une droite de pente -c_0.

D'après l'équation de d'Alembert adimensionnée (12) établie à la question 24, les maxima de perturbation se propagent selon les caractéristiques d'équations :

La simili-célérité expérimentale c'_0 s'identifie donc à la valeur absolue de la pente des segments de droite observés sur la figure (8).

Considérons par exemple la branche ascendante initiale (onde progressive vers le haut) :

• À l'instant initial t_1 = 0\text{ s}, le maximum se situe en Z_1 \approx 0{,}70 (ce qui correspond à z_0 \approx 0{,}49\text{ m} \approx 0{,}5\text{ m} sur la figure 7) ;
• Il atteint l'extrémité supérieure Z_2 = 1{,}00 à l'instant t_2 \approx 0{,}20\text{ s}.

On en déduit la valeur expérimentale de la simili-célérité :

Une lecture sur la branche descendante après réflexion donne de même, entre (t = 0{,}21\text{ s} \,;\, Z \approx 0{,}98) et (t = 0{,}70\text{ s} \,;\, Z \approx 0{,}25) :

En respectant la consigne d'un seul chiffre significatif :

Comparaison avec la théorie :

À la question 25, la valeur théorique obtenue était :

L'accord entre la valeur expérimentale (1{,}5\text{ s}^{-1}) et la valeur théorique (1{,}58\text{ s}^{-1}) est remarquable : l'écart relatif est inférieur à 6\,\%, ce qui valide pleinement la modélisation et le changement de variable Z = \sqrt{z/L}.

1. Expression de la somme T_{\mathrm{B}} + T_{\mathrm{C}}

On considère le volume de contrôle fixe \mathcal{V} délimité par les sections droites en \mathrm{B} et en \mathrm{C}, contenant le demi-cercle (\mathrm{BC}) de la corde au repos spatial (régime stationnaire).

Le débit massique traversant \mathcal{V} est constant et vaut :

En régime permanent, le bilan global de quantité de mouvement s'écrit :

• La matière entre en \mathrm{B} avec la vitesse \vec{v}_{\mathrm{e}} = -v\,\vec{u}_z, d'où un flux entrant de quantité de mouvement :

  \vec{\Phi}_{P,\mathrm{e}} = D_m \vec{v}_{\mathrm{e}} = -\mu v^2 \vec{u}_z

• La matière sort en \mathrm{C} avec la vitesse \vec{v}_{\mathrm{s}} = +v\,\vec{u}_z, d'où un flux sortant :

  \vec{\Phi}_{P,\mathrm{s}} = D_m \vec{v}_{\mathrm{s}} = +\mu v^2 \vec{u}_z

  Le flux net de quantité de mouvement vaut donc :

  \vec{\Phi}_{P,\mathrm{s}} - \vec{\Phi}_{P,\mathrm{e}} = 2\mu v^2 \vec{u}_z

Les forces extérieures appliquées à la portion (\mathrm{BC}) sont :

• Les efforts de traction exercés par les brins verticaux supérieurs : \vec{T}_{\mathrm{B}} = T_{\mathrm{B}}\,\vec{u}_z et \vec{T}_{\mathrm{C}} = T_{\mathrm{C}}\,\vec{u}_z ;
• Le poids de la portion de corde, de longueur \pi R et de masse \mu \pi R : \vec{P} = -\mu \pi R g\,\vec{u}_z.

En projetant sur l'axe vertical (\mathrm{O}z) :

2. Égalité T_{\mathrm{B}} = T_{\mathrm{C}}

Effectuons un bilan de moment cinétique en régime stationnaire pour le même volume de contrôle, calculé au point \mathrm{O} (centre du demi-cercle) :

Dans le repère de la figure, \vec{r}_{\mathrm{B}} = R\,\vec{u}_y et \vec{r}_{\mathrm{C}} = -R\,\vec{u}_y :

Le flux net de moment cinétique est donc nul : \vec{\Phi}_{L_{\mathrm{O}},\mathrm{s}} - \vec{\Phi}_{L_{\mathrm{O}},\mathrm{e}} = \vec{0}.

Par symétrie axiale du demi-cercle, son centre de gravité est situé sur (\mathrm{O}z), de sorte que le moment du poids en \mathrm{O} est nul. Le moment des forces extérieures se réduit à celui des tensions :

On en déduit immédiatement :

3. Expression de T_{\mathrm{B}} pour v^2 \gg Rg

En combinant les deux résultats précédents :

Puisque v^2 \gg Rg (avec les données de l'énoncé, v^2 = 100\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} et Rg = 0{,}25\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2}, soit v^2/(Rg) = 400 \gg 1), le terme de pesanteur est tout à fait négligeable devant le terme d'inertie :

1. Tension locale et célérité intrinsèque

Considérons un élément de corde de longueur \mathrm{d}z situé à l'altitude z dans l'un des brins verticaux. En régime stationnaire, la corde défile en mouvement rectiligne et uniforme à la vitesse v le long de la verticale : son accélération d'entraînement est nulle (\vec{a} = \vec{0}). Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe vertical ascendant (\mathrm{O}z) donne :

Par intégration depuis le bas du brin (z = 0), où T_{\mathrm{M}}(0) = T_{\mathrm{B}} = T_{\mathrm{C}} = \mu v^2 d'après la question Q31 (pour v^2 \gg Rg) :

La célérité locale des ondes dans le référentiel propre lié à la corde s'écrit alors d'après l'équation (14) :

2. Célérités dans le référentiel du laboratoire

Dans le référentiel \mathcal{R} du laboratoire, la corde défile à la vitesse v. Par composition galiléenne des vitesses :

• pour une onde se propageant dans le sens du défilement de la corde (vers le bas pour le brin descendant (AB), vers le haut pour le brin (CD)) :

  c^+(z) = c(z) + v = \sqrt{v^2 + gz} + v

• pour une onde se propageant en sens inverse du défilement :

  c^-(z) = c(z) - v = \sqrt{v^2 + gz} - v

Comme gz \ge 0, on a c(z) \ge v, ce qui garantit c^-(z) \ge 0.

Signification physique : c^+(z) et c^-(z) sont les célérités de propagation des fronts d'onde mesurées dans le référentiel du laboratoire. Le défilement de la corde entraîne les ondes : l'onde allant dans le sens du mouvement est accélérée par la vitesse d'entraînement v, tandis que l'onde remontant le défilement est freinée par celle-ci.

3. Rapports c^+/v et c^-/v et représentation graphique

En divisant par v, on obtient les lois adimensionnées en fonction de la variable réduite \tilde{z} = z/L \in [0,1] :

Avec les valeurs numériques fournies (g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, L = 1\text{ m}, v = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), le paramètre adimensionné vaut :

Les valeurs particulières aux extrémités sont :

• En z = 0 :

  \frac{c^+(0)}{v} = 2 \quad \text{et} \quad \frac{c^-(0)}{v} = 0

• En z = L : avec \sqrt{1 + 0{,}10} = \sqrt{1{,}1} \approx 1{,}05,

  \frac{c^+(L)}{v} = \sqrt{1{,}1} + 1 \approx 2{,}05 \approx 2 \quad \text{et} \quad \frac{c^-(L)}{v} = \sqrt{1{,}1} - 1 \approx 0{,}05

1. Analyse des observations expérimentales (Figure 11)

• Présence de deux fronts d'onde : La perturbation transversale imposée par la tige (figure 10) comporte deux étapes séparées par une durée \Delta t \sim 0{,}1\text{ s} : l'enfoncement à t_0 (créant le front 1) et le retrait à t_1 (créant le front 2). Sur le premier cliché à t_1^+, le front 1 a déjà progressé vers le haut tandis que le front 2 vient d'être initié à l'altitude d'impact. Les deux lignes en pointillés suivent l'évolution temporelle de ces deux fronts.
• Sens de propagation vers le haut : Bien que le brin (AB) soit descendant (\vec{v} = -v\vec{u}_z), les deux fronts se déplacent vers les altitudes z croissantes (vers la poulie supérieure A).
• Accélération du front : La pente locale \mathrm{d}z/\mathrm{d}t des trajectoires augmente au fur et à mesure que z augmente ; le mouvement de remontée est accéléré.
• Élargissement du paquet d'ondes : Le front 1, situé à une altitude plus élevée que le front 2, se déplace plus vite que ce dernier. La distance verticale séparant les deux fronts croît donc au cours du temps.
• Absence de l'onde descendante : Aucun front se propageant vers le bas n'apparaît sur les clichés successifs.

2. Interprétation théorique

D'après les résultats de la question 32, la tension locale sur le brin descendant vaut T(z) = \mu(v^2 + gz), d'où une célérité locale des ondes dans le référentiel de la corde :

La vitesse propre de l'onde est donc supérieure à la vitesse d'entraînement du brin : le défilement est en régime subcritique (analogue à un régime subsonique).

• Onde se propageant vers le haut dans le laboratoire : L'onde qui se propage vers le haut par rapport à la matière a une vitesse dans le référentiel du laboratoire donnée par :

  v_{z,-} = c^-(z) = \sqrt{v^2 + gz} - v \approx v\left(1 + \frac{gz}{2v^2}\right) - v = \frac{gz}{2v} > 0

  Comme c^-(z) > 0, cette onde remonte le brin descendant à contre-courant. C'est l'onde suivie par les deux tracés pointillés.

• Accélération et dispersion spatiale : Comme c^-(z) \approx \frac{gz}{2v} est une fonction strictement croissante de z, la vitesse de remontée augmente avec l'altitude, expliquant la courbure convexe de z(t). De plus, z_1(t) > z_2(t) \implies c^-(z_1) > c^-(z_2), ce qui justifie l'étalement spatial progressif de la perturbation.

• Ordre de grandeur de la vitesse de remontée : Avec g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et v = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

  c^-(z) \approx \frac{10 z}{2 \times 10} = 0{,}5\,z\text{ (en m}\cdot\text{s}^{-1}\text{)}

  Pour z \in [0{,}4\text{ m} \,;\, 0{,}8\text{ m}], on a c^-(z) \approx 0{,}2 \text{ à } 0{,}4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. L'équation différentielle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{g}{2v}z s'intègre en :

  z(t) = z_0 \exp\left(\frac{g t}{2v}\right)

  Pour une durée totale d'observation de 11 intervalles de \tau = 0{,}1\text{ s} (\Delta t \approx 1{,}1\text{ s}), on obtient :

  z(1{,}1\text{ s}) \approx 0{,}4 \times \exp(0{,}5 \times 1{,}1) \approx 0{,}4 \times 1{,}73 \approx 0{,}7\text{ m}

  ce qui concorde parfaitement avec la position finale observée sur la figure 11.

• Sortie quasi instantanée de l'onde descendante : L'onde se propageant vers le bas par rapport à la corde avance dans le laboratoire à la vitesse :

  c^+(z) = \sqrt{v^2 + gz} + v \approx 2v = 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

  Pour parcourir la distance séparant l'impact du bas du brin (\approx 0{,}4\text{ m}), il lui faut un temps :

  \Delta t_{\mathrm{descente}} \sim \frac{0{,}4}{20} = 0{,}02\text{ s} \ll \tau = 0{,}1\text{ s}

  Cette onde a donc quitté le brin bien avant la prise du cliché suivant, ce qui explique qu'elle soit invisible sur la chronophotographie.