Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2021 (page 2/4 : Partie I (questions 10 à 22))

Les trois modes de transfert thermique sont :

1. La conduction thermique (ou diffusion) :

   • C'est un transfert d'énergie thermique qui s'effectue de proche en proche au sein de la matière, à l'échelle microscopique (par collisions moléculaires dans les fluides, par phonons et électrons libres dans les solides), sans déplacement macroscopique de matière.
   • Elle est régie phénoménologiquement par la loi de Fourier et constitue le mode de transfert privilégié au sein des solides immobiles.

2. La convection :

   • C'est un transfert thermique au sein d'un fluide (liquide ou gaz) associé à un déplacement macroscopique de matière.
   • Elle peut être naturelle (mouvement induit par les gradients de masse volumique sous l'effet de la pesanteur / poussée d'Archimède) ou forcée (mise en mouvement mécanique du fluide par un ventilateur, une pompe, du vent).
   • Aux interfaces solide-fluide, elle est souvent modélisée de manière globale par la loi de Newton.

3. Le rayonnement thermique :

   • C'est un transfert d'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques émises par tout corps porté à une température thermodynamique non nulle (loi de Stefan-Boltzmann, loi de Planck).
   • Sa spécificité essentielle est qu'il ne nécessite aucun support matériel et peut se propager dans le vide (ainsi qu'à travers les milieux transparents ou semi-transparents).

Dans le contexte d'un incendie (comme celui de la charpente de Notre-Dame), les trois modes de transfert thermique interviennent de manière complémentaire :

1. La conduction thermique :

   • Elle assure le transfert de chaleur au sein même des éléments solides (poutres, planchers, cloisons).
   • Elle permet la propagation du front thermique le long d'une pièce de bois, échauffant la matière adjacente jusqu'à sa température de pyrolyse (T_i) puis de combustion (T_c).
   • Elle peut également transmettre la chaleur à travers des éléments de structure non combustibles (métaux, maçonnerie) et enflammer des matériaux disposés de l'autre côté.

2. La convection thermique :

   • Les fumées et les gaz chauds générés par la combustion s'élèvent sous l'effet de la poussée d'Archimède (tirage thermique). Ce flux ascendant propage préférentiellement l'incendie vers le haut (étages supérieurs, combles, flèche).
   • Ce mouvement d'air crée un appel d'air frais (convection naturelle ou forcée par le vent), ce qui réapprovisionne continuellement le foyer en comburant (\mathrm{O}_2), attisant ainsi les flammes.
   • La convection permet également le transport sur de longues distances d'escarbilles ou de brandons enflammés, provoquant des départs de feux secondaires disjoints.

3. Le rayonnement thermique :

   • Émis principalement dans l'infrarouge par les flammes, les gaz chauds et les braises rougeoyantes (dont la puissance surfacique varie en T^4 d'après la loi de Stefan-Boltzmann), il se propage dans toutes les directions sans support matériel.
   • Il préchauffe et assèche les matériaux combustibles situés à distance sans contact direct, entraînant leur dégazage par pyrolyse.
   • Lorsque le flux radiatif reçu devient critique, il peut provoquer l'auto-inflammation simultanée de tous les combustibles exposés, phénomène d'embrasement généralisé éclair (flashover).

Considérons le système fermé constitué par la tranche de poutre comprise entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section S et de masse :

L'évolution se déroulant à pression atmosphérique fixée, le premier principe appliqué à ce système entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit sous forme d'un bilan enthalpique :

Détaillons chacun des termes :

• La variation d'enthalpie liée à l'élévation de température s'écrit :

  \mathrm{d}H = \mathrm{d}m\,c_p\,\mathrm{d}T = \mu\,c_p\,S\,\mathrm{d}x\,\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t

• Le transfert thermique conductif net reçu par la tranche résulte des flux traversant les sections en x et en x+\mathrm{d}x :

  \delta Q_{\text{cond}} = \left[\Phi(x,t) - \Phi(x+\mathrm{d}x,t)\right]\mathrm{d}t = -\frac{\partial \Phi}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

  En appliquant la loi de Fourier à une dimension, la densité de flux thermique s'écrit \vec{j}_{\text{th}} = -\lambda\,\frac{\partial T}{\partial x}\,\vec{u}_x, d'où le flux thermique traversant la section S orientée vers les x croissants :

  \Phi(x,t) = \vec{j}_{\text{th}}(x,t)\cdot(S\,\vec{u}_x) = -\lambda\,S\,\frac{\partial T}{\partial x}(x,t)

  Il en découle :

  \delta Q_{\text{cond}} = \lambda\,S\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

• La puissance thermique dégagée par la combustion est \mathcal{P}_{\text{reac}} = P_c\,\mathrm{d}m = P_c\,\mu\,S\,\mathrm{d}x, d'où l'énergie thermique fournie au système par la réaction :

  \delta H_{\text{reac}} = P_c\,\mu\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

En rassemblant ces contributions dans le bilan d'enthalpie, on obtient :

En simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, il vient :

Soit, en divisant par le terme volumique \mu\,c_p :

On identifie ainsi l'équation demandée avec :

Dans la zone non altérée (x > x_2(t)), la température T(x,t) reste inférieure à la température d'inflammation T_i. Par conséquent, aucune réaction de combustion ne s'y produit et le terme source volumique de chaleur est nul (\kappa = 0).

Le transfert thermique dans le bois étant purement diffusif et unidimensionnel selon l'axe (Ox), et la diffusivité thermique D étant supposée identique dans tout le matériau d'après l'énoncé, l'évolution de la température est régie par l'équation de la chaleur classique sans terme source :

Le temps caractéristique de diffusion thermique sur une échelle spatiale L \sim 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m} est donné par :

Avec D = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} :

Pour estimer la durée de combustion \tau_c d'une section de poutre de cette taille, on peut relier le pouvoir calorifique inférieur \mathrm{PCI} = 19\text{ MJ}\cdot\text{kg}^{-1} à la puissance thermique massique de combustion P_c = 4{,}0 \times 10^3\text{ W}\cdot\text{kg}^{-1} :

Cette valeur est en plein accord avec l'ordre de grandeur usuel de la combustion d'une bûche de 10 cm (environ une à deux heures, soit \tau_c \sim 10^3 \text{ à } 10^4\text{ s}).

On constate ainsi que :

Conclusion : L'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) nécessiterait que la diffusion thermique s'établisse quasi instantanément à l'échelle de temps de la combustion, c'est-à-dire \tau_d \ll \tau_c. Ici, la diffusion est beaucoup plus lente que la progression de la combustion (\tau_d \gg \tau_c). L'ARQS n'est donc pas applicable et le terme temporel \frac{\partial T}{\partial t} ne peut en aucun cas être négligé, ce qui justifie l'approche par onde de propagation adoptée dans les questions suivantes.

Le changement de variable proposé est u = x - ct, avec c > 0, de sorte que la température s'écrit sous la forme d'une onde progressive :

Pour une valeur fixée du profil de température (c'est-à-dire \theta(u) = \text{cte}, soit u = \text{cte}), la position x(t) vérifie :

La quantité c s'interprète donc comme la célérité (ou vitesse de propagation) de l'onde thermique et du front de combustion, qui se propage dans la poutre dans le sens des x croissants :

Le changement de variable est défini par u = x - ct, de sorte que T(x,t) = \theta(u). Par dérivation des fonctions composées, on obtient :

Dans la zone inaltérée : D'après la question Q13, l'équation de la chaleur s'écrit :

En y injectant les dérivées partielles, on obtient :

L'équation différentielle du premier ordre satisfaite par la dérivée \theta'(u) est donc :

Dans la zone en combustion : D'après la question Q12, l'équation régissant l'évolution thermique est :

Soit, en fonction de la variable u :

L'équation différentielle régissant l'évolution de la dérivée \theta'(u) s'écrit alors :

Zone 1 : zone brûlée (u < u_1)

D'après le préambule de la partie I.C, la zone brûlée est à température uniforme et constante :

où a_1 est une constante (qui vaut T_c).

Zone 2 : zone en combustion (u_1 < u < u_2)

D'après la question Q16, la dérivée \theta_2'(u) vérifie l'équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre constant :

Une solution particulière constante évidente est \theta_{2,\text{part}}'(u) = -\dfrac{\kappa}{c}. La solution générale de l'équation s'écrit donc :

où K_2 est une constante d'intégration. En intégrant une nouvelle fois par rapport à u, il vient :

En posant b_2 = -\dfrac{D}{c}K_2, constante d'intégration arbitraire, on obtient :

Zone 3 : zone inaltérée (u > u_2)

D'après la question Q16, l'équation différentielle vérifiée par \theta_3'(u) s'écrit :

Sa solution générale est :

où K_3 est une constante. L'intégration par rapport à u donne :

En posant b_3 = -\dfrac{D}{c}K_3, on aboutit à :

On retrouve ainsi la forme générale demandée pour l'ensemble des trois zones :

D'après l'énoncé, la température dans la zone ayant brûlé (x < x_1(t), soit u < u_1) est uniforme et fixée à la température de combustion T_c = 720\text{ K}. L'expression de la solution dans cette zone étant \theta_1(u) = a_1, on en déduit directement :

Dans la zone inaltérée (x > x_2(t), soit u > u_2), l'énoncé précise que loin de la frontière x_2(t), c'est-à-dire lorsque x \to +\infty (soit u \to +\infty), la température de la poutre reste constante et égale à T_\infty = 320\text{ K} :

Or, d'après la forme de la solution établie à la question Q17 :

Les grandeurs c et D étant strictement positives, l'exposant est négatif et le terme exponentiel s'atténue vers zéro à l'infini :

Par identification avec la condition aux limites, on obtient :

D'après les questions précédentes et les données de l'énoncé, le profil de température \theta(u) présente les caractéristiques suivantes :

• dans la zone brûlée (u < u_1), la température est uniforme et vaut \theta_1(u) = T_c = 720\text{ K} ;
• la température est continue en u = u_1, soit \theta(u_1) = T_c ;
• dans la zone de combustion (u_1 < u < u_2), la température décroît continûment de T_c à la température d'inflammation T_i = 520\text{ K} atteinte en u = u_2 ;
• dans la zone inaltérée (u > u_2), la température décroît de façon exponentielle à partir de \theta_3(u_2) = T_i et tend asymptotiquement vers la température ambiante T_\infty = 320\text{ K} lorsque u \to +\infty.

Les constantes d'intégration a_2, b_2 et b_3 s'obtiennent en écrivant les conditions aux limites et de raccordement aux deux interfaces u = u_1 et u = u_2 :

1. Continuité de la température :

   • En u = u_1, la température atteint la température de combustion T_c :

     \theta_2(u_1) = \theta_1(u_1) = T_c

   • En u = u_2, la température est égale à la température d'inflammation T_i :

     \theta_2(u_2) = T_i \quad \text{et} \quad \theta_3(u_2) = T_i

     ce qui assure la continuité \theta_2(u_2) = \theta_3(u_2) = T_i.

   Ces trois équations suffisent à déterminer les trois constantes a_2, b_2 et b_3 en fonction de u_1 et u_2.

2. Continuité du flux thermique :
   En l'absence de source surfacique d'énergie et la conductivité thermique \lambda étant supposée identique dans tout le matériau, le vecteur densité de flux thermique -\lambda \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}u}\vec{u}_x est continu en tout point, ce qui impose la continuité de la dérivée \theta'(u) :

   • En u = u_1 :

     \theta_2'(u_1) = \theta_1'(u_1) = 0

   • En u = u_2 :

     \theta_2'(u_2) = \theta_3'(u_2)

L'équation satisfaite par la célérité c s'écrit :

Introduisons la variable sans dimension :

Avec les valeurs numériques fournies :

On constate que :

Le membre de gauche s'écrit donc :

L'équation se ramène ainsi à :

La valeur X = 0 correspond au cas sans combustion (c = 0). La solution non triviale correspond à l'intersection de la courbe y = \ln(1 - x) avec la droite d'équation y = -2x.

Sur le graphique de l'annexe :

• pour x = 0{,}8, -2x = -1{,}6 et \ln(1 - 0{,}8) = \ln(0{,}2) \approx -1{,}61 ;
• la droite y = -2x coupe donc la courbe en :

On en déduit l'expression littérale puis la valeur de la vitesse c :

Avec \kappa = 2{,}0\text{ K}\cdot\text{s}^{-1} (établi à la question Q12), D = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} et T_i - T_\infty = 200\text{ K} :

Conclusion : La vitesse de propagation du front de combustion est très faible, de l'ordre de 10\text{ cm}\cdot\text{h}^{-1} (soit environ 1{,}7\text{ mm}\cdot\text{min}^{-1}). Le temps nécessaire pour consumer un tronçon de 10\text{ cm} est ainsi de l'ordre de \frac{0{,}1}{2{,}8 \times 10^{-5}} \approx 3{,}6 \times 10^3\text{ s} \approx 1\text{ h}, ce qui est en parfait accord avec l'ordre de grandeur de \tau_c \sim 5 \times 10^3\text{ s} estimé à la question Q14. Le bois massif de chêne est donc un matériau qui se consume lentement.

Le front de combustion se propage à la vitesse constante c. La durée nécessaire à la combustion complète d'un tronçon de poutre de longueur L s'écrit donc :

D'après la question Q21, la célérité de propagation vaut c \approx 2{,}8 \times 10^{-5}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Pour une longueur L = 1{,}0\text{ m} :

En convertissant en heures :