Corrigé détaillé Mines Physique 2 MP 2020

Choix du calibre :
Pour mesurer une grandeur avec la plus grande précision possible, il convient d'adopter le calibre le plus petit supérieur à la valeur à mesurer, car c'est lui qui offre la résolution la plus fine. La valeur affichée étant de l'ordre de 0{,}1\ \Omega, le calibre le mieux adapté est le calibre minimal disponible :

Ce calibre offre une résolution de 0{,}1\ \Omega (les autres calibres auraient une résolution de 1\ \Omega ou plus, incapable de distinguer les fractions d'ohm).

Incertitude sur la valeur affichée :
D'après la notice (table 1), pour le calibre 500\ \Omega, la tolérance constructeur (erreur maximale) est donnée par :

où L = 0{,}1\ \Omega est la valeur lue et \text{UR} = 0{,}1\ \Omega est l'unité du dernier rang (résolution). Ainsi :

En modélisant la distribution d'erreur par une loi rectangulaire, l'incertitude-type associée (d'évaluation de type B) vaut :

On peut donc écrire le résultat sous la forme :

Commentaires :

• L'incertitude absolue (\Delta R \simeq 0{,}3\ \Omega) est supérieure à la mesure elle-même (0{,}1\ \Omega) : l'incertitude relative dépasse 300\%, ce qui rend la mesure inexploitable.
• La résistance attendue d'un fil de cuivre de cette géométrie (L = 10\ \text{m}, diamètre d = 2\ \text{mm}) est de quelques dizaines de milliohms seulement.
• Un ohmmètre standard effectue une mesure « deux fils » : la résistance mesurée inclut celle des cordons de mesure et des contacts (typiquement 0{,}1 à 0{,}2\ \Omega). Cette méthode n'est donc absolument pas adaptée à la mesure de très faibles résistances.

1. Montage 1 (montage amont ou longue dérivation)

Dans le montage 1, l'ampèremètre est placé en série avec le résistor à l'intérieur de la dérivation du voltmètre. L'ampèremètre mesure donc le courant circulant effectivement dans le résistor :

En revanche, le voltmètre mesure la tension aux bornes de l'association série de l'ampèremètre et du conducteur ohmique :

La résistance apparente mesurée vaut donc :

L'erreur systématique associée s'écrit :

2. Montage 2 (montage aval ou courte dérivation)

Dans le montage 2, le voltmètre est connecté directement aux bornes du conducteur ohmique :

En revanche, l'ampèremètre mesure l'intensité totale issue du nœud, somme des courants dérivé dans le voltmètre et traversant le résistor :

La résistance mesurée est la résistance équivalente de l'association parallèle :

L'erreur systématique correspondante est :

3. Représentation graphique

L'erreur \varepsilon_1(R) = R_A / R est une fonction strictement décroissante de R (divergeant en R \to 0), tandis que \varepsilon_2(R) = R / (R + R_V) est strictement croissante (tendant vers 1 à l'infini et équivalente à R/R_V pour R \ll R_V). Les deux courbes se croisent pour \varepsilon_1(R_0) = \varepsilon_2(R_0), soit :

4. Choix du montage pertinent

D'après la question 1, la résistance du fil est de l'ordre de R \sim 0{,}1\ \Omega. D'après les tables 2 et 3 :

• Pour l'ampèremètre sur le calibre 10\text{ A} (utilisé pour quelques ampères) :

  R_A \le \frac{U_{\max}}{I_{\max}} \approx \frac{0{,}70\text{ V}}{10\text{ A}} = 0{,}070\ \Omega
• Pour le voltmètre : R_V \ge 10\text{ M}\Omega = 10^7\ \Omega.

La résistance de croisement vaut donc :

Pour R \sim 0{,}1\ \Omega, nous avons :

Dans le montage 1, la résistance de l'ampèremètre fausserait totalement la mesure, avec une erreur relative inacceptable de plusieurs dizaines de pourcents. Dans le montage 2, le courant de fuite dérivé par le voltmètre est parfaitement négligeable devant le courant mesuré.

1. Estimation de la résistance du fil :

D'après la question 2, le montage adapté est le montage 2 (montage aval). La résistance mesurée s'écrit :

Avec un seul chiffre significatif, on obtient :

2. Comparaison chiffrée des précisions :

Pour l'ampèremètre sur le calibre 10\text{ A dc} (résolution \text{UR} = 10\text{ mA} = 0{,}01\text{ A}) :

Pour le voltmètre sur le calibre 500\text{ mV dc} (résolution \text{UR} = 0{,}1\text{ mV}) :

Par la formule de propagation des incertitudes relatives maximales :

soit une incertitude absolue \Delta R \simeq 1\text{ m}\Omega.

À la question 1, la mesure directe à l'ohmmètre donnait R = 0{,}1\ \Omega avec une incertitude \Delta R \simeq 0{,}3\ \Omega, soit une incertitude relative de l'ordre de 300\% (l'incertitude était supérieure à la valeur mesurée). La méthode volt-ampéremétrique permet d'atteindre une précision relative de l'ordre de 2\%, soit un gain d'un facteur supérieur à 100.

3. Amélioration de la mesure :

• Réaliser plusieurs mesures pour différentes valeurs de l'intensité I, tracer la caractéristique U = f(I) et déterminer R par régression linéaire (ce qui moyenne les erreurs aléatoires et élimine un éventuel décalage d'origine).
• Inverser le sens du courant continu et moyenner les valeurs obtenues afin d'annuler les forces électromotrices parasites d'origine thermoélectrique (effet Seebeck aux jonctions cuivre-bornes).
• Adopter un montage à quatre fils (connexions de Kelvin) au niveau des contacts du fil pour s'affranchir complètement de la résistance des contacts et des fils de connexion.

La résistance électrique R d'un conducteur cylindrique de longueur \ell, de section droite uniforme S et de conductivité électrique \gamma s'exprime par la relation de Pouillet :

Le fil étant de section circulaire de diamètre d, on a :

On en déduit l'expression littérale de la conductivité électrique \gamma :

Pour l'application numérique, afin de ne pas propager prématurément l'arrondi à un chiffre significatif demandé à la question précédente, on utilise la valeur non arrondie R \simeq 5{,}5 \times 10^{-2}\ \Omega obtenue avec U = 287{,}5\text{ mV} et I = 5{,}23\text{ A}.

Avec les valeurs de l'énoncé :

• \ell = 10{,}0\text{ m},
• d = 2{,}0\text{ mm} = 2{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}, soit S = \pi \times 10^{-6}\text{ m}^2 \simeq 3{,}14 \times 10^{-6}\text{ m}^2,
• R \simeq 5{,}5 \times 10^{-2}\ \Omega,

on obtient :

Si l'on utilise strictement la valeur arrondie à un chiffre significatif de la question 3 (R \simeq 5 \times 10^{-2}\ \Omega), on trouve \gamma \simeq 6 \times 10^7\ \Omega^{-1}\cdot\text{m}^{-1}.

On étudie un électron de conduction de masse m et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'électron est soumis à :

• la force de Coulomb : \vec{f}_C = -e\vec{E} ;
• la force de frottement fluide phénoménologique : \vec{f}_D = -\dfrac{m}{\tau}\vec{v}.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

La vitesse limite \vec{v}_{\text{lim}} est atteinte en régime stationnaire lorsque l'accélération s'annule (\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}) :

d'où l'expression de la vitesse limite :

Le vecteur densité de courant électrique associé au transport de ces porteurs de charge de densité volumique n s'écrit :

Par identification avec la loi d'Ohm locale \vec{j} = \gamma\vec{E}, on en déduit la formule de Drude pour la conductivité électrique :

Considérons l'évolution de la quantité de mouvement du i-ème électron entre les instants t et t+\mathrm{d}t :

• Cas 1 : l'électron subit une collision. Ce cas se produit avec la probabilité P_1 = \dfrac{\mathrm{d}t}{\theta}.
  Immédiatement après le choc survenu à une date t_c \in [t, t+\mathrm{d}t], la quantité de mouvement vaut \vec{p}_{i,0}^{\,+}. Entre t_c et t+\mathrm{d}t, l'électron n'est soumis qu'à la force de Coulomb \vec{f}_C, d'où :

  \vec{p}_{i,1}(t+\mathrm{d}t) = \vec{p}_{i,0}^{\,+} + \vec{f}_C \, (t+\mathrm{d}t - t_c) = \vec{p}_{i,0}^{\,+} + \mathcal{O}(\mathrm{d}t)

• Cas 2 : l'électron ne subit aucune collision. Ce cas se produit avec la probabilité complémentaire P_2 = 1 - \dfrac{\mathrm{d}t}{\theta}.
  L'électron n'étant soumis qu'à la force électrique constante \vec{f}_C sur tout l'intervalle [t, t+\mathrm{d}t], le principe fondamental de la dynamique s'écrit \dfrac{\mathrm{d}\vec{p}_i}{\mathrm{d}t} = \vec{f}_C, ce qui donne :

  \vec{p}_{i,2}(t+\mathrm{d}t) = \vec{p}_i(t) + \vec{f}_C \, \mathrm{d}t

En prenant l'espérance de la quantité de mouvement à t+\mathrm{d}t :

Comme le terme \dfrac{\mathrm{d}t}{\theta} \vec{f}_C \, \mathrm{d}t est du second ordre en \mathrm{d}t, on le néglige devant les termes d'ordre 1, ce qui conduit bien à la relation demandée :

Sommons la relation de la question Q6 sur l'ensemble des N électrons :

Juste après un choc, la direction de la vitesse de l'électron est aléatoire et isotrope : les directions de diffusion étant équiprobables dans toutes les directions de l'espace, la quantité de mouvement moyenne des électrons venant de subir une collision est nulle :

En utilisant la définition \vec{p}(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \vec{p}_i(t), l'équation devient :

Soit en réorganisant les termes :

En prenant la limite \mathrm{d}t \to 0, le membre de gauche tend vers la dérivée temporelle de \vec{p}(t) :

Commentaire : Cette équation traduit l'évolution macroscopique de la quantité de mouvement moyenne des porteurs de charge. Elle fait intervenir :

• le terme moteur \vec{f}_C, force électrostatique due au champ extérieur \vec{E} ;
• un terme de rappel -\frac{\vec{p}(t)}{\theta}, qui tend à dissiper la quantité de mouvement d'ensemble avec un temps caractéristique \theta, traduisant la thermalisation de la vitesse lors des collisions aléatoires sur le réseau cristallin.

Lien entre \theta et \tau : À la question Q5, le principe fondamental de la dynamique appliqué à la vitesse moyenne s'écrivait macroscopiquement :

Par identification directe entre les deux équations différentielles, on en déduit :

Pour qu'un électron ne subisse aucune collision entre l'instant 0 et l'instant t + \mathrm{d}t, il faut et il suffit qu'il ne subisse aucune collision entre 0 et t (de probabilité \Pi(t)) et qu'il ne subisse pas de collision entre t et t+\mathrm{d}t.

D'après l'énoncé, la probabilité d'avoir une collision pendant l'intervalle \mathrm{d}t est \frac{\mathrm{d}t}{\theta} = \frac{\mathrm{d}t}{\tau} (puisque \theta = \tau d'après la question Q7). La probabilité de ne pas en subir est donc 1 - \frac{\mathrm{d}t}{\tau}.

L'absence de mémoire du processus de collision permet d'écrire :

En développant et en faisant tendre \mathrm{d}t vers 0, on obtient l'équation différentielle :

À l'instant t=0, aucune collision n'a eu lieu sur l'intervalle [0, 0], donc \Pi(0) = 1. L'intégration de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants donne :

Notons T_c la variable aléatoire représentant la durée écoulée jusqu'à la première collision après t=0. La probabilité que cette collision survienne entre t et t + \mathrm{d}t est égale à la probabilité de n'avoir aucune collision sur [0, t] multipliée par la probabilité de subir une collision sur [t, t+\mathrm{d}t] :

La densité de probabilité associée est donc p(t) = \frac{1}{\tau}\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) pour t \ge 0.

La moyenne temporelle \langle \tau_c \rangle de la durée entre deux collisions successives est l'espérance de cette variable aléatoire :

Une intégration par parties donne :

La constante \tau s'interprète donc physiquement comme le temps de vol libre moyen (ou durée moyenne entre deux collisions successives) des électrons de conduction au sein du métal.

Considérons une section plane d'aire S, perpendiculaire à l'axe Ox et située à l'abscisse x.

D'après le modèle unidimensionnel proposé :

• La densité volumique d'électrons se déplaçant vers les x croissants avec la vitesse v est \frac{1}{2}n ;
• La densité volumique d'électrons se déplaçant vers les x décroissants avec la vitesse v est également \frac{1}{2}n.

Pendant un intervalle de temps \mathrm{d}t :

• Les électrons se dirigeant vers la droite qui traversent la section S sont ceux contenus dans le cylindre de volume S v\,\mathrm{d}t situé immédiatement à gauche de x. Leur nombre est :

  \mathrm{d}N_+ = \frac{1}{2} n S v\,\mathrm{d}t

  Ces électrons ont subi leur dernier choc thermalisateur en moyenne une durée \tau auparavant, c'est-à-dire à l'abscisse x - v\tau. Ils transportent donc chacun une énergie cinétique moyenne \mathcal{E}(T(x - v\tau)) dans le sens de +\hat{u}_x. L'énergie apportée à travers S vers la droite est :

  \mathrm{d}E_+ = \mathrm{d}N_+ \mathcal{E}(T(x - v\tau)) = \frac{1}{2} n S v\,\mathrm{d}t \, \mathcal{E}(T(x - v\tau))

• De même, les électrons se déplaçant vers la gauche qui traversent S pendant \mathrm{d}t proviennent du cylindre de volume S v\,\mathrm{d}t situé à droite de x. Leur nombre est :

  \mathrm{d}N_- = \frac{1}{2} n S v\,\mathrm{d}t

  Leur dernière collision a eu lieu en moyenne à l'abscisse x + v\tau. L'énergie transportée à travers S dans le sens de -\hat{u}_x est :

  \mathrm{d}E_- = \mathrm{d}N_- \mathcal{E}(T(x + v\tau)) = \frac{1}{2} n S v\,\mathrm{d}t \, \mathcal{E}(T(x + v\tau))

L'énergie thermique nette transférée algébriquement à travers la section S dans le sens de +\hat{u}_x pendant la durée \mathrm{d}t s'écrit :

Le flux thermique par unité de surface j_q = \frac{\delta Q}{S\,\mathrm{d}t} s'en déduit immédiatement :

1. Hypothèses du calcul :

• Équilibre local et milieu faiblement inhomogène : le libre parcours moyen \ell = v\tau entre deux collisions est très petit devant l'échelle caractéristique de variation de la température L_T = \left| \frac{T}{\mathrm{d}T/\mathrm{d}x} \right| (\ell \ll L_T, soit v\tau \left|\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\right| \ll T). On peut ainsi tronquer le développement limité de la température et de l'énergie au premier ordre en v\tau.

• Dépendance thermique exclusive de l'énergie cinétique moyenne : l'énergie moyenne ne dépend de la position x que par l'intermédiaire de la température T(x), ce qui permet d'utiliser la règle de dérivation en chaîne :

  \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}T}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = C_V \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}

2. Expression du flux thermique j_q : En effectuant un développement de Taylor à l'ordre 1 en \pm v\tau au voisinage de x :

En soustrayant ces deux expressions :

En injectant ce résultat dans l'expression établie à la question Q9 :

3. Identification de la conductivité thermique \lambda : D'après la loi phénoménologique de Fourier en géométrie unidimensionnelle :

Par identification directe, on déduit l'expression de la conductivité thermique :

D'après la question Q10, la conductivité thermique du gaz d'électrons s'écrit :

Dans le cadre du modèle classique monodimensionnel, chaque électron possède un seul degré de liberté de translation selon l'axe Ox. D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie, l'énergie cinétique moyenne d'un électron à la température T vaut :

On en déduit l'expression du carré de la vitesse quadratique moyenne :

La chaleur spécifique (ou capacité thermique) associée à un électron est alors :

En injectant ces deux résultats dans l'expression de \lambda, on obtient :

D'après la question Q5, la conductivité électrique s'écrit :

D'après la question Q11, la conductivité thermique dans le modèle classique monodimensionnel vaut :

On en déduit le rapport :

Généralisation au cas tridimensionnel :

• Conductivité électrique : L'application d'un champ électrique selon Ox induit un déplacement d'ensemble uniquement selon cet axe. L'expression de la vitesse limite moyenne et du vecteur densité de courant reste inchangée : \gamma = \dfrac{n e^2 \tau}{m}.

• Conductivité thermique : En trois dimensions, la distribution des vitesses est isotrope, de sorte que la vitesse quadratique moyenne v vérifie :

  \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle = \frac{1}{3} v^2

  Le transport d'énergie thermique le long de l'axe Ox fait intervenir la composante v_x, ce qui introduit un facteur 1/3 dans la conductivité thermique par rapport au modèle unidimensionnel où toutes les particules se déplaçaient le long de Ox :

  \lambda_{\text{3D}} = \frac{1}{3} n v^2 \tau C_V

• Énergie et capacité thermique en 3D : Pour un gaz parfait classique à 3 dimensions, chaque particule possède 3 degrés de liberté de translation, d'où d'après le théorème d'équipartition :

  \mathcal{E} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{3}{2} k_B T \implies v^2 = \frac{3 k_B T}{m} \quad\text{et}\quad C_V = \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}T} = \frac{3}{2} k_B

On en déduit la conductivité thermique tridimensionnelle classique :

Le rapport \dfrac{\lambda}{\gamma T} dans le modèle de Drude tridimensionnel s'écrit alors :

D'après la question Q12, la conductivité thermique tridimensionnelle s'écrit :

Dans le modèle quantique de Sommerfeld, la vitesse des électrons transporteurs d'énergie est la vitesse de Fermi, soit v = v_F. L'énergie de Fermi est reliée à cette vitesse par :

En injectant l'expression de la capacité thermique d'un électron fournie par l'énoncé, C_V = \frac{\pi^2}{2} \left(\frac{k_B T}{\epsilon_F}\right) k_B, la conductivité thermique devient :

D'après la question Q5, la conductivité électrique s'écrit :

Le coefficient de Lorenz \kappa est défini par le rapport \frac{\lambda}{\gamma T} :

Les grandeurs microscopiques propres au matériau (n, \tau et m) se simplifient rigoureusement :

1. Comparaison des valeurs du coefficient de Lorenz

D'après les questions Q12 et Q13, les coefficients de Lorenz classique tridimensionnel et quantique s'écrivent respectivement :

Leur rapport vaut :

Avec les données de l'énoncé (k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\cdot K^{-1}} et e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}) :

Les deux coefficients sont remarquablement du même ordre de grandeur (10^{-8}\ \mathrm{W\cdot\Omega\cdot K^{-2}}), ne différant que d'un facteur d'environ 2.

2. Discussion critique du modèle classique

À température ambiente (T \simeq 300\ \mathrm{K}), on a :

Ce critère (k_B T \ll \epsilon_F, ou de façon équivalente T \ll T_F, où T_F \sim 10^4\text{ à }10^5\ \mathrm{K} est la température de Fermi) montre que le gaz d'électrons dans un métal est fortement dégénéré. Les électrons sont des fermions obéissant au principe d'exclusion de Pauli et à la statistique de Fermi-Dirac, ce qui rend la statistique classique de Maxwell-Boltzmann totalement caduque.

Si le modèle classique de Drude conduit à un coefficient de Lorenz du bon ordre de grandeur, il s'agit d'une compensation fortuite de deux erreurs majeures :

• Surestimation de la capacité thermique : le modèle classique attribue à chaque électron libre une capacité thermique issue de l'équipartition (C_V \sim k_B), alors que le principe d'exclusion n'autorise que les électrons proches du niveau de Fermi (une fraction de l'ordre de k_B T / \epsilon_F \sim 10^{-2}) à être excités thermiquement. Le modèle classique surestime ainsi C_V d'un facteur de l'ordre de 40 à 100.
• Sous-estimation de la vitesse des porteurs : le modèle classique utilise une vitesse thermique v^2 \sim k_B T / m (v \sim 10^5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}), alors que les électrons transportant l'énergie thermique se déplacent à la vitesse de Fermi v_F^2 \sim \epsilon_F / m (v_F \sim 10^6\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}). Le terme v^2 est donc sous-estimé d'un facteur \epsilon_F / (k_B T) \sim 40 à 100.

Comme la conductivité thermique fait intervenir le produit v^2 C_V, ces deux facteurs d'erreur d'environ deux ordres de grandeur se compensent exactement :

1. Détermination expérimentale de la masse volumique \rho :

• Principe et matériel : On mesure la masse m d'un échantillon de cuivre à l'aide d'une balance de précision. Son volume V peut être déterminé selon deux méthodes :

  • Méthode géométrique : si l'échantillon présente une géométrie simple (le fil cylindrique de la partie I ou la plaque de la partie III), on mesure ses dimensions à l'aide d'un pied à coulisse ou d'un micromètre (palmer) pour calculer V (par exemple V = \pi \frac{d^2}{4}\ell pour un fil de diamètre d et de longueur \ell).
  • Méthode par déplacement de liquide : on introduit l'échantillon dans une éprouvette graduée contenant un volume initial d'eau V_0 ; le nouveau volume lu V_1 donne V = V_1 - V_0.

• Expression : La masse volumique s'en déduit par :

  \boxed{\rho = \frac{m}{V}}

2. Détermination expérimentale de la capacité thermique massique c :

• Principe (méthode des mélanges) : On utilise un calorimètre adiabatique de capacité thermique C_{\text{cal}} (préalablement étalonné), contenant une masse d'eau m_e de capacité thermique massique connue c_e.

• Protocole :

  1. On mesure la température initiale T_0 de l'eau et du calorimètre à l'aide d'un thermomètre.
  2. Un bloc de cuivre de masse m_{\text{Cu}} est chauffé à une température connue T_1 > T_0 (par exemple en le plongeant dans de l'eau bouillante à T_1 = 100^\circ\mathrm{C} pendant une durée suffisante pour que l'équilibre thermique soit atteint).
  3. Le bloc de cuivre est transféré rapidement dans le calorimètre afin de minimiser les pertes thermiques lors du transfert.
  4. Sous agitation, on relève la température finale d'équilibre thermique T_f.

• Exploitation : En modélisant le calorimètre et son contenu comme un système fermé thermiquement isolé, le premier principe de la thermodynamique impose une variation d'enthalpie globale nulle (\Delta H = Q = 0) :

  (m_e c_e + C_{\text{cal}})(T_f - T_0) + m_{\text{Cu}} c (T_f - T_1) = 0

  On en déduit l'expression de la capacité thermique massique du cuivre :

  \boxed{c = \frac{(m_e c_e + C_{\text{cal}})(T_f - T_0)}{m_{\text{Cu}}(T_1 - T_f)}}

Considérons le système fermé constitué par le cuivre contenu entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite S et de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x. Sa masse est \mathrm{d}m = \rho\, S\,\mathrm{d}x.

Le cuivre étant une phase condensée indéformable, la variation d'énergie interne du système entre les instants t et t + \mathrm{d}t s'écrit :

Les pertes latérales étant négligées, le transfert thermique s'effectue exclusivement par conduction unidimensionnelle selon la direction Ox. La loi de Fourier donne pour la composante du vecteur densité de flux thermique :

Le transfert thermique élémentaire reçu par le système à travers ses deux faces en x et x + \mathrm{d}x pendant la durée \mathrm{d}t est :

En l'absence de source volumique de chaleur et de travail mécanique, le premier principe de la thermodynamique appliqué au système s'écrit \mathrm{d}U = \delta Q, soit :

On en déduit l'équation différentielle (équation de la chaleur) :

avec le coefficient de diffusion thermique :

D'après la question Q16, le champ de température vérifie l'équation de la diffusion thermique unidimensionnelle sans terme source :

En injectant la forme à variables séparées T(x,t) = f(x)\,g(t), on obtient :

Pour les couples (x,t) où T(x,t) \neq 0, divisons par D\,f(x)\,g(t) :

Le membre de gauche ne dépend que de la variable temporelle t et le membre de droite ne dépend que de la variable spatiale x. Ils sont donc nécessairement égaux à une même constante, notée K :

On en déduit les deux équations différentielles :

Discussion physique de la constante K :

• Si K > 0, la fonction temporelle est de la forme g(t) \propto \exp(KDt), ce qui conduit à une divergence exponentielle de la température lorsque t \to +\infty. En l'absence de source d'énergie interne, le système est passif et relaxe : cette situation est physiquement impossible.

• Si K \le 0, on pose K = -k^2 avec k \in \mathbb{R}^+. L'équation temporelle devient :

  \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t} + k^2 D\,g = 0 \implies g(t) = C\,\exp(-k^2 D t)

  ce qui correspond à un amortissement temporel cohérent avec la diffusion.

Pour une valeur de k > 0, l'équation spatiale s'écrit :

où A et B sont des constantes d'intégration réelles.

Pour une constante de séparation fixée k, la solution élémentaire s'écrit donc :

(le cas k=0 étant inclus comme limite où f(x) est affine et g(t) constante).

L'équation de diffusion étant linéaire et homogène, le principe de superposition s'applique. La forme générale de la fonction T(x,t) est ainsi une superposition de ces solutions élémentaires (sous forme discrète ou continue) :

L'équation de la diffusion thermique établie à la question Q16,

est une équation aux dérivées partielles linéaire et homogène.

D'après la méthode de séparation des variables étudiée à la question Q17, les solutions élémentaires à variables séparées s'écrivent sous la forme :

où la constante \alpha = D k^2 doit être positive ou nulle (\alpha \ge 0, soit k réel) afin d'assurer la stabilité thermique du milieu et d'éviter une divergence non physique de la température lorsque t \to +\infty.

Le système physique considéré présente une géométrie bornée le long de l'axe Ox (la plaque d'épaisseur L est comprise entre x=0 et x=L). Les conditions aux limites imposées aux surfaces limites (plaque thermiquement isolée à ses deux extrémités pour t > 0) sélectionnent un ensemble discret de vecteurs d'onde notés k_n (n \in \mathbb{N}), auxquels sont associées des constantes d'atténuation temporelle \alpha_n = D k_n^2.

En vertu du principe de superposition, toute combinaison linéaire de ces solutions élémentaires reste solution de l'équation de diffusion. Enfin, pour être en mesure de décomposer n'importe quelle condition initiale spatiale T(x,0) (dont le profil est fixé par le flash lumineux) sur la base orthogonale des fonctions trigonométriques associées (série de Fourier sur [0, L]), il convient d'exprimer la solution générale sous la forme de la somme discrète infinie :

Pour t > 0, la plaque est supposée thermiquement isolée en x=0 et en x=L. D'après la loi de Fourier, la densité de flux thermique s'écrit :

L'absence d'échange thermique avec l'extérieur impose l'annulation du flux aux deux extrémités :

À partir de la forme de la solution donnée à la question précédente :

On calcule la dérivée spatiale :

1. Détermination de w_n :

En x = 0, la condition aux limites s'écrit :

Les exponentielles de taux d'amortissement distincts formant une famille libre (ou chaque mode devant individuellement vérifier les conditions aux limites), on a pour tout n :

Pour n \geq 1 (k_n \neq 0), cela impose w_n = 0. Pour n = 0, le terme \sin(k_0 x) est identiquement nul, donc w_0 n'intervient pas et peut être choisi nul sans perte de généralité :

2. Détermination de k_n :

En x = L, avec w_n = 0, la condition d'isolation devient :

Pour avoir une solution non triviale (u_n \neq 0), chaque mode doit satisfaire :

D'où l'expression des vecteurs d'onde spatiaux :

3. Détermination de \alpha_n :

D'après l'équation de diffusion thermique établie à la question Q16 (\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}) ou les équations différentielles issues de la séparation de variables obtenues à la question Q17 :

En remplaçant k_n par son expression :

D'après les questions Q18 et Q19, avec w_n = 0, k_n = \frac{n\pi}{L} et \alpha_0 = 0, le champ de température à l'instant initial t = 0 s'écrit sous la forme d'une série de Fourier en cosinus :

D'après l'énoncé, le profil initial de température est donné par :

1. Détermination de u_0 :

En intégrant T(x,0) sur [0, L], les termes oscillants en cosinus sont d'intégrale nulle :

Par ailleurs, en utilisant l'expression par morceaux de T(x,0) :

On en déduit immédiatement :

2. Détermination de u_n pour n \ge 1 :

En multipliant par \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) et en intégrant sur [0, L], la formule d'orthogonalité du formulaire (avec \alpha = L) donne :

Le calcul direct avec l'expression de T(x,0) donne :

On en déduit, pour tout n \ge 1 :

3. Expression du champ de température T(x,t) :

Comme \alpha_0 = 0 et \cos(k_0 x) = 1, le terme pour n = 0 vaut u_0 = \Gamma. En réinjectant les coefficients dans la décomposition spatiotemporelle et en factorisant par \Gamma, on obtient :

D'après la question Q20, le champ de température pour tout x \in [0, L] et t > 0 s'écrit :

En x = L, sachant que k_n = \frac{n\pi}{L} d'après la question Q19, le terme trigonométrique spatial vaut :

L'expression exacte de la température de la face arrière devient donc :

L'épaisseur \delta chauffée par le flash infrarouge étant supposée très petite devant l'épaisseur totale de la plaque (\delta \ll L), on a, pour les modes n contribuant significativement à la somme (les modes d'ordre élevé étant fortement atténués par le facteur \exp(-\alpha_n t)) :

On en déduit immédiatement la forme approchée demandée :

D'après la figure 2, la courbe représente la fonction adimensionnelle \zeta(t) en fonction du produit adimensionné \alpha_1 t.

L'instant caractéristique t_{1/2} est défini par :

Sur le graphe :

• chaque graduation principale de l'axe des abscisses vaut 1 et est subdivisée en 10 petits carreaux, soit une résolution de 0{,}1 par carreau ;
• pour \zeta = 0{,}5, la courbe est interceptée entre 1{,}3 et 1{,}4, très près de 1{,}38.

Une lecture graphique donne ainsi :

On en déduit la relation recherchée :

1. Détermination graphique de la durée t_{1/2} :

D'après le graphe expérimental (figure 3), l'impulsion lumineuse (flash) est émise à l'instant :

L'origine des temps t=0 du modèle théorique correspond à cet instant d'émission.

La température de la face arrière atteint un maximum d'environ 7{,}0 unités arbitraires vers 85\text{ ms} (avant de décroître lentement sous l'effet des pertes thermiques négligées dans le modèle). La demi-valeur maximale est donc :

Sur la figure 3, chaque division de 16\text{ ms} est subdivisée en 4 graduations de 4\text{ ms}. La courbe atteint la valeur de 3{,}5\text{ u.a.} à l'instant :

La durée caractéristique de demi-montée comptée depuis le flash vaut donc :

2. Détermination de la diffusivité thermique D :

D'après le résultat de la question Q22, \alpha_1 t_{1/2} \simeq 1{,}38, soit :

D'après la question Q19, \alpha_1 = \frac{\pi^2 D}{L^2}, ce qui conduit à :

En remarquant que L = 3{,}12\text{ mm} \simeq \pi\text{ mm}, on a \frac{L}{\pi} \simeq 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}, d'où :

La diffusivité thermique du cuivre est ainsi estimée à :

3. Estimation de la conductivité thermique \lambda :

D'après la question Q16, D = \frac{\lambda}{\rho c}, d'où :

Avec les données numériques fournies :

• \rho = 9{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• c = 4{,}0 \times 10^2\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• \rho c = 3{,}6 \times 10^6\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-3}.

Le calcul numérique donne :

En conservant deux chiffres significatifs conformément aux consignes de l'énoncé :

D'après la loi de Wiedemann-Franz énoncée en préambule, le coefficient de Lorenz expérimental est donné par :

En utilisant les grandeurs obtenues précédemment :

• conductivité électrique (d'après la question Q4) : \gamma \simeq 5{,}8 \times 10^7\ \mathrm{S\cdot m^{-1}} ;
• conductivité thermique (d'après la question Q23) : \lambda \simeq 4{,}1 \times 10^2\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}} ;
• température : T \simeq 300\text{ K}.

L'application numérique donne :

Or, le coefficient de Lorenz théorique calculé dans le cadre quantique de Drude-Sommerfeld (d'après les questions Q13 et Q14) vaut :

L'écart relatif entre la valeur expérimentale et la prédiction théorique est de :

Cet écart est remarquablement faible et reste parfaitement compatible avec les incertitudes expérimentales et la précision des données limitées à deux chiffres significatifs.