Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2020 (page 3/3 : Partie II)

La porosité \varepsilon est le rapport du volume occupé par le fluide (volume des interstices) sur le volume total. En notant C la compacité (fraction volumique occupée par les sphères de rayon R) :

où a désigne le paramètre de la maille cubique et N le nombre de sphères appartenant en propre à la maille.

1. Structure cubique simple (CS) :

• Nombre de sphères par maille : les 8 sommets sont partagés chacun par 8 mailles :

  N_{\text{CS}} = 8 \times \frac{1}{8} = 1

• Condition de contact : les sphères sont tangentes le long des arêtes :

  a = 2R

• Compacité et porosité :

  C_{\text{CS}} = \frac{1 \times \dfrac{4}{3}\pi R^3}{(2R)^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524

2. Structure cubique à faces centrées (CFC) :

• Nombre de sphères par maille : 8 sommets partagés par 8 mailles et 6 centres de faces partagés par 2 mailles :

  N_{\text{CFC}} = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

• Condition de contact : les sphères sont tangentes le long de la diagonale d'une face :

  a\sqrt{2} = 4R \implies a = 2\sqrt{2}\,R

• Compacité et porosité :

  C_{\text{CFC}} = \frac{4 \times \dfrac{4}{3}\pi R^3}{(2\sqrt{2}\,R)^3} = \frac{\dfrac{16}{3}\pi R^3}{16\sqrt{2}\,R^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6} \approx 0{,}740

3. Qualification d'empilement compact :

• La structure cubique à faces centrées est constituée d'un empilement de plans de compacité bidimensionnelle maximale (plans hexagonaux compacts) suivant la séquence périodique ABCABC\dots
• Chaque sphère est entourée de 12 plus proches voisines tangentes (coordinence maximale égale à 12).
• Sa compacité C_{\text{CFC}} \approx 74\,\% correspond au taux d'occupation spatial maximal possible pour un empilement de sphères rigides identiques dans l'espace à trois dimensions (conjecture de Kepler).

D'après le préambule de la partie II.A, l'efficacité du stockage thermique augmente avec la porosité jusqu'à un optimum situé autour de :

D'après les résultats de la question Q27 :

• l'empilement cubique présente une porosité \varepsilon_{\text{cubique}} \approx 47{,}6\,\%, valeur très proche de l'optimum visé ;
• l'empilement cubique à faces centrées présente une porosité \varepsilon_{\text{CFC}} \approx 26{,}0\,\%, nettement trop éloignée de cet optimum.

Par conséquent, au regard du critère d'efficacité thermique :

À la lecture des courbes de la figure 11 :

• Pour h = 5\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}, l'écart de température entre le fluide (courbe en pointillés) et le solide (courbe en trait plein) est notable au niveau de la zone de transition du front thermique (pouvant atteindre plusieurs dizaines de kelvins).
• Pour h = 20\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}, les deux courbes sont presque confondues tout au long du profil spatial z.

Ainsi, la différence de température |T_f - T_s| diminue lorsque le coefficient d'échange h augmente.

Commentaire physique : Le transfert thermique conducto-convectif surfacique entre le fluide et le solide est régi par la loi de Newton :

où \varphi est la densité de flux thermique échangée.

• Une augmentation de h diminue la résistance thermique d'interface (R_{\text{th}} \propto 1/h) et améliore ainsi le couplage thermique entre le gaz et le solide granulaire.
• Pour transférer un même flux de chaleur, un écart de température plus faible est alors nécessaire. À la limite d'un coefficient h très grand, le fluide et le matériau solide seraient en équilibre thermique local (T_f \approx T_s).

Pendant la phase de stockage, le gaz chaud entre au sommet de l'enceinte (z = 0) à la température T_1 et en ressort au bas (z = 10\text{ m}) à une température qui doit rester aussi proche que possible de la température nominale T_{0n} \approx 300\text{ K} pour assurer le bon fonctionnement de la détente ultérieure dans la turbine. La fin de la charge est donc dictée par la « percée thermique », moment où le front atteint la sortie et où la température en z = 10\text{ m} commence à croître.

D'après la figure 11 :

• Pour h = 5\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}, le front thermique est très étalé dans l'espace. Dès t = 10\text{ h}, la température en sortie s'élève notablement (T > 300\text{ K}), et à t = 13{,}3\text{ h}, elle dépasse 400\text{ K}. Le stockage doit donc être interrompu prématurément pour ne pas rejeter un gaz anormalement chaud.
• Pour h = 20\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}, le front thermique est beaucoup plus raide et étroit. À t = 10\text{ h}, la température en z = 10\text{ m} est rigoureusement maintenue à 300\text{ K}. Même à t = 13{,}3\text{ h}, le pied du front commence tout juste à atteindre le bas de l'enceinte, maintenant le fluide sortant à une température quasi égale à T_0.

Le processus de stockage peut ainsi être poursuivi plus longtemps (ici au-delà de 13\text{ h} contre moins de 10\text{ h} pour le faible coefficient), ce qui permet d'élever la température d'un volume plus important de solide granulaire jusqu'à T_1 et donc d'accroître l'énergie thermique stockée \Delta U_s = \int_0^{H_e} \rho_s (1-\varepsilon) c_s S (T_s(z) - T_0)\,\mathrm{d}z.

Un transfert thermique est intrinsèquement irréversible dès lors qu'il se produit à travers un écart de température fini. Pour qu'un échange thermique entre un fluide à la température T_f et un solide à la température T_s puisse être considéré comme thermodynamiquement réversible, il faut que la transformation soit quasi-statique d'un point de vue thermique, c'est-à-dire que l'écart de température entre les deux milieux soit infinitésimal à chaque instant et en tout point de contact :

Considérons une surface d'échange A traversée pendant une durée \mathrm{d}t par un transfert thermique élémentaire \delta Q du fluide vers le solide. D'après la loi de Newton du transfert conducto-convectif :

Le bilan entropique appliqué à la frontière de contact fluide-solide donne pour l'entropie créée élémentaire :

En exprimant ce taux de création d'entropie en fonction du flux thermique \Phi = \frac{\delta Q}{\mathrm{d}t} = h A (T_f - T_s), on obtient :

Pour qu'un flux thermique non nul puisse être échangé à travers l'interface tout en annulant l'entropie créée (\delta S_c = 0, soit T_f - T_s \to 0), il faut que la résistance thermique d'interface R_{\text{th}} = \frac{1}{hA} soit nulle, ce qui impose :

D'après la figure 12, le rendement global \Gamma de l'installation est une fonction croissante de la largeur L_e de l'enceinte (il passe d'environ 0{,}42 pour L_e = 22\text{ m} à plus de 0{,}54 pour L_e = 42\text{ m}).

Cette évolution s'explique par deux phénomènes complémentaires :

1. Effet d'échelle sur les pertes thermiques vers l'extérieur :
   Le volume utile de stockage de l'enceinte vaut V_e = L_e^2 H_e, de sorte que l'énergie thermique stockée varie en L_e^2. En revanche, les déperditions thermiques avec le milieu extérieur se font principalement à travers les parois latérales de surface S_{\text{lat}} = 4 L_e H_e \propto L_e. Le ratio des pertes thermiques relatives par rapport à l'énergie emmagasinée s'écrit donc :

   \frac{\mathcal{P}_{\text{pertes}}}{E_{\text{stockée}}} \propto \frac{S_{\text{lat}}}{V_e} = \frac{4}{L_e}

   Lorsque L_e augmente, ce ratio décroît en 1/L_e : l'enceinte est thermiquement mieux isolée par auto-confinement volumique.

2. Amélioration du transfert conducto-convectif interne et diminution des pertes de charge :
   À hauteur H_e et débit massique D_m fixés, la section droite de passage du gaz S = L_e^2 augmente, ce qui réduit la vitesse superficielle du gaz v = \frac{D_m}{\rho S} \propto \frac{1}{L_e^2}.

   • Le temps de séjour \tau = \frac{H_e}{v} \propto L_e^2 augmente, ce qui favorise l'équilibre thermique local entre le fluide et les particules solides. L'écart |T_f - T_s| diminue, réduisant ainsi la création d'entropie par transfert thermique (d'après Q31).
   • La dissipation d'énergie mécanique par pertes de charge au travers du lit poreux (loi de Darcy-Ergun) diminue fortement avec la vitesse d'écoulement.

D'après la figure 13, le rendement \Gamma de l'installation décroît de façon monotone lorsque le débit massique D_m du gaz augmente (il passe d'environ 0{,}56 pour D_m = 0{,}6 à moins de 0{,}50 pour D_m = 1{,}4).

Cette dégradation s'explique par deux phénomènes physiques principaux :

• Diminution de l'efficacité des transferts thermiques : La vitesse moyenne du gaz dans les enceintes poreuses est proportionnelle au débit massique (v \propto D_m). Lorsque D_m augmente, le temps de séjour du fluide dans le régénérateur diminue :

  \tau = \frac{L_e}{v} \propto \frac{1}{D_m}

  De manière équivalente, le nombre d'unités de transfert \mathrm{NUT} = \frac{h A}{D_m c_p} diminue. Le transfert conducto-convectif gaz-solide est donc moins complet, ce qui élargit le front thermique et impose un écart de température |T_f - T_s| plus grand pour transférer la chaleur requise. Comme établi à la question Q31, cela accroît l'irréversibilité thermique (création d'entropie) et abaisse le rendement.

• Augmentation des pertes de charge : L'écoulement de l'argon à travers le milieu poreux granulaire engendre des pertes de charge visqueuses et inertielles \Delta P régies par la loi de Darcy ou la loi d'Ergun, avec \Delta P fonction croissante de la vitesse v (en v puis en v^2). La puissance mécanique dissipée par ces frottements :

  \mathcal{P}_{\text{dissipée}} \approx \frac{D_m}{\rho} \Delta P

  augmente fortement avec D_m (en D_m^2 ou D_m^3), ce qui consomme une fraction plus importante du travail fourni ou récupéré par les turbomachines.

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique associé à la conduction axiale selon l'axe vertical (Oz) s'écrit :

L'enceinte étant à base carrée de côté L_e, la section droite horizontale traversée par le flux thermique a pour aire :

Le flux thermique axial (en valeur absolue) à travers cette section vaut ainsi :

Le gradient thermique étant supposé uniforme et constant durant la pause, l'énergie thermique diffusée pendant la durée \Delta t s'exprime par :

Avec les valeurs numériques fournies :

• \lambda = 0{,}03\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• L_e = 10\text{ m} ;
• \left|\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\right| = 200\text{ K}\cdot\text{m}^{-1} ;
• \Delta t = 24\text{ h} = 24 \times 3\,600\text{ s} = 86\,400\text{ s}.

On obtient :

Comparons cette énergie à l'énergie interne stockée dans l'enceinte U = 1{,}7 \times 10^{12}\text{ J} :

L'énergie diffusée axialement représente environ 0{,}003\,\% de l'énergie stockée, ce qui est tout à fait négligeable.

Conclusion : La diffusion thermique axiale au cours des phases de pause (même pour une durée d'une journée entière) n'entraîne aucune dégradation notable de la stratification thermique ; il n'est donc pas nécessaire de la prendre en compte dans l'évaluation de l'efficacité globale du procédé SEPT.

Considérons un bloc élémentaire de milieu poreux de longueur L dans la direction du flux thermique et de section transverse totale S.

1. Modèle parallèle (strates parallèles au flux) Les deux phases s'étendent sur toute la longueur L et sont soumises au même écart de température \Delta T. La section transverse se répartit proportionnellement aux fractions volumiques :

Le flux thermique total est la somme des flux traversant chaque phase, ce qui correspond à deux conductances thermiques en parallèle :

Avec G_{\text{th}} = \frac{\lambda S}{L}, il vient :

Soit, en simplifiant par S/L :

2. Modèle série (strates perpendiculaires au flux) Le flux thermique \Phi traverse successivement la couche solide puis la couche gazeuse à travers la même section S. Les épaisseurs de chaque couche sont proportionnelles aux fractions volumiques, pour une épaisseur totale L :

La différence de température totale est la somme des écarts de température aux bornes de chaque strate, ce qui correspond à deux résistances thermiques en série :

Avec R_{\text{th}} = \frac{L}{\lambda S}, on obtient :

Soit :

En réduisant au même dénominateur :

3. Validation sur les cas limites

• Milieu purement solide (\varepsilon = 0) :

  \lambda_\parallel(\varepsilon = 0) = \lambda_s \quad \text{et} \quad \lambda_\perp(\varepsilon = 0) = \frac{\lambda_s \lambda_g}{\lambda_g} = \lambda_s

• Milieu purement gazeux (\varepsilon = 1) :

  \lambda_\parallel(\varepsilon = 1) = \lambda_g \quad \text{et} \quad \lambda_\perp(\varepsilon = 1) = \frac{\lambda_s \lambda_g}{\lambda_s} = \lambda_g

• Phases de même conductivité (\lambda_s = \lambda_g = \lambda_0) :

  \lambda_\parallel = (1 - \varepsilon)\lambda_0 + \varepsilon\lambda_0 = \lambda_0 \quad \text{et} \quad \lambda_\perp = \frac{\lambda_0^2}{\varepsilon\lambda_0 + (1 - \varepsilon)\lambda_0} = \lambda_0

Les deux expressions redonnent fidèlement le comportement d'un milieu homogène dans ces situations limites, ce qui valide les expressions obtenues.

D'après les résultats de la question Q35, les conductivités thermiques effectives associées aux deux configurations extrêmes s'écrivent :

Calculons la différence \lambda_\parallel - \lambda_\perp en posant, pour alléger l'écriture, a = 1 - \varepsilon et b = \varepsilon (avec a > 0, b > 0 et a + b = 1) :

Comme a + b = 1, on a a^2 + b^2 - 1 = (a + b)^2 - 2ab - 1 = -2ab. Le numérateur devient ainsi :

On en déduit l'expression factorisée de la différence :

Pour un milieu poreux biphasique réel (0 < \varepsilon < 1) et deux phases de conductivités distinctes (\lambda_s > \lambda_g), le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs. On en déduit :

La conductivité thermique en mode parallèle est donc toujours supérieure à celle en mode série, ce qui permet d'identifier les bornes extrêmes :

D'après les expressions établies à la question Q36, les conductivités thermiques effectives minimale et maximale s'écrivent :

Avec les valeurs numériques fournies :

• Porosité du milieu granulaire : \varepsilon = 0,47 (d'où 1 - \varepsilon = 0,53) ;
• Conductivité du solide (sable) : \lambda_s = 0,40\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• Conductivité du gaz (argon) : \lambda_g = 0,018\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

Pour la borne supérieure :

Pour la borne inférieure :

En conservant deux chiffres significatifs en accord avec les données :

Compte tenu de la longueur supposée infinie du fil et de la symétrie axiale, la température ne dépend ni de la coordonnée axiale z, ni de l'angle azimutal \theta. Le champ scalaire de température s'écrit donc sous la forme T(r, t).

Le vecteur densité de flux thermique est purement radial d'après la loi de Fourier :

Considérons le système fermé constitué par le milieu matériel situé à l'instant t entre les rayons r et r + \mathrm{d}r, sur une longueur L. Son volume s'écrit :

Le milieu étant incompressible et indilatable (\mathrm{d}V = 0), le travail des forces de pression est nul. En l'absence de terme source volumique dans le matériau granulaire pour r > r_0, le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système entre les instants t et t+\mathrm{d}t donne :

où :

• la variation d'énergie interne s'exprime par :

  \mathrm{d}U = \rho c_p \mathrm{d}V \frac{\partial T}{\partial t}(r, t)\,\mathrm{d}t = \rho c_p (2\pi r\,\mathrm{d}r\,L)\frac{\partial T}{\partial t}(r, t)\,\mathrm{d}t

• la chaleur reçue pendant \mathrm{d}t correspond au bilan des flux conductifs nets entrant en r et sortant en r+\mathrm{d}r :

  \delta Q = \left[\Phi(r, t) - \Phi(r+\mathrm{d}r, t)\right]\mathrm{d}t = -\frac{\partial \Phi}{\partial r}(r, t)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t

Le flux conductif traversant la surface cylindrique latérale de rayon r orientée vers l'extérieur vaut :

D'où :

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U et \delta Q :

En introduisant la diffusivité thermique \alpha = \frac{\lambda}{\rho c_p}, on obtient l'équation de diffusion vérifiée par T(r, t) :

D'après la question Q38, la température T(r, t) vérifie l'équation de la diffusion radiale :

Considérons une échelle caractéristique de variation spatiale \delta sur une durée t. En estimant les ordres de grandeur des termes dominants :

L'équilibre entre la variation temporelle et la diffusion thermique impose :

À l'instant t, la longueur caractéristique de pénétration de la chaleur dans le milieu selon la direction radiale est donc :

D'après la loi de Fourier, le transfert thermique s'effectuant uniquement par conduction dans le milieu selon la direction radiale, le vecteur densité de flux de chaleur s'écrit :

Considérons un tronçon de fil de longueur L et de rayon r_0. Le flux thermique évacué par la surface latérale cylindrique d'aire S = 2\pi r_0 L à travers la frontière en r = r_0 s'exprime par :

Par définition, le fil injecte dans le milieu un flux thermique constant par unité de longueur \varphi_L, soit :

En identifiant les deux expressions du flux, on obtient :

Soit finalement :

En r = r_0, la température fournie par l'énoncé s'écrit :

L'échelle de temps caractéristique associée à la diffusion thermique sur le rayon r_0 du fil est :

La condition pour que la variable x soit petite devant 1 (x \ll 1) correspond donc au régime des « temps longs » :

Dans cette limite, on utilise l'approximation proposée :

On en déduit l'expression approchée de la température à la surface du fil :

D'après la question Q41, la variation théorique de température du fil s'écrit pour les temps longs (t \gg r_0^2 / (4\alpha)) :

Le modèle théorique prévoit donc une loi affine entre \Delta T et \ln(t), avec une pente constante égale à :

Sur la figure 16, qui représente \Delta T en fonction de \ln(t) (t en secondes) :

• Pour les temps courts (\ln(t) \lesssim 2, soit t \lesssim 7\text{ s}), les points expérimentaux s'écartent de la droite : c'est le régime transitoire initial où la condition x = r_0^2/(4\alpha t) \ll 1 n'est pas encore pleinement vérifiée et où l'inertie thermique propre du fil ne peut être négligée.
• Pour les temps longs (\ln(t) \gtrsim 2), les points expérimentaux s'alignent remarquablement le long d'une droite, comme le met en évidence la régression linéaire.

D'après l'expression asymptotique établie à la question Q41 :

La courbe \Delta T = f(\ln t) présente une asymptote linéaire de pente :

où \varphi_L = \frac{\varphi}{l} est le flux thermique par unité de longueur émis par le fil.

Sur la figure 16, la droite de régression linéaire passe par les points :

• \ln t_1 = 2{,}0 \quad \Longrightarrow \quad \Delta T_1 \approx 6{,}0\text{ }^\circ\text{C} ;
• \ln t_2 = 5{,}0 \quad \Longrightarrow \quad \Delta T_2 \approx 23{,}6\text{ }^\circ\text{C}.

On en déduit la pente expérimentale :

On en déduit l'expression littérale de la conductivité thermique effective :

Application numérique : Avec \varphi = 0{,}64\text{ W}, l = 0{,}20\text{ m} et p \approx 5{,}9\text{ K} :

En ordre de grandeur :

La valeur de conductivité thermique effective obtenue expérimentalement, \lambda \approx 0{,}043\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, appelle plusieurs commentaires :

• Cohérence avec les bornes théoriques : La valeur mesurée est bien comprise entre les bornes extrêmes calculées à la question Q37 :

  \lambda_{\min} \approx 0{,}036\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \leqslant \lambda \leqslant \lambda_{\max} \approx 0{,}22\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}
• Proximité avec la borne minimale \lambda_{\min} : La valeur est très proche de la borne inférieure (modèle série). Dans un milieu granulaire réel, les contacts entre les grains solides sont quasi ponctuels, ce qui engendre une très forte résistance thermique de contact (constriction des lignes de courant thermique). Le flux de chaleur doit donc traverser les interstices remplis d'argon ; les phases solide et gazeuse sont ainsi disposées thermiquement plutôt « en série », et la conductivité effective est bridée par celle du fluide le moins conducteur (\lambda_g = 0{,}018\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).
• Cohérence avec les données du sujet : Cette mesure concorde parfaitement avec la valeur de modélisation retenue dans la sous-partie II.C (\lambda = 0{,}03\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).
• Intérêt pour le procédé SEPT : Une conductivité thermique effective aussi faible est un atout déterminant pour le régénérateur : elle garantit une excellente isolation thermique intrinsèque du milieu granulaire, limitant ainsi la diffusion thermique axiale lors des périodes d'arrêt (conformément au résultat de la question Q34) et préservant la netteté du front thermique au cours du temps.