Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2020 (page 2/3 : Partie I (questions 16 à 26))

D'après la figure 2, en phase de déstockage, le sens de parcours du fluide est inversé par rapport au stockage :

• le gaz issu de l'enceinte haute pression à la température T_1 et à la pression P_H traverse la turbine pour être détendu jusqu'à la pression P_B et la température T_{2d} ;
• le gaz issu de l'enceinte basse pression à la température T_3 et à la pression P_B traverse le compresseur pour être comprimé jusqu'à la pression P_H et la température T_{0d}.

1. Détente dans la turbine en déstockage :

Pour une détente isentropique idéale de la pression P_H à P_B à partir de T_1, la relation de Laplace s'écrit :

Par définition du rendement isentropique de la turbine en déstockage \eta_{td} (modèle du gaz parfait à capacité thermique massique c_p constante) :

On en déduit l'expression de la température réelle T_{2d} :

Or, d'après le résultat de la question Q8, la température T_1 en sortie de compresseur lors du stockage vaut :

En reportant cette expression dans celle de T_{2d}, on obtient :

2. Compression dans le compresseur en déstockage :

Pour une compression isentropique idéale de la pression P_B à P_H à partir de T_3, la relation de Laplace s'écrit :

Par définition du rendement isentropique du compresseur en déstockage \eta_{cd} :

On en déduit l'expression de la température réelle T_{0d} :

Or, d'après le résultat de la question Q8, la température T_3 en sortie de turbine lors du stockage s'exprime par :

En substituant T_3, on parvient directement à l'expression attendue :

Puisque P_H > P_B et \gamma > 1, on a :

Posons x = \Psi - 1 > 0. Les expressions obtenues à la question Q16 font intervenir un produit de la forme :

où \eta_c est le rendement isentropique d'une compression et \eta_t celui d'une détente.

Par définition des rendements par rapport à l'isentropique, compte tenu du second principe de la thermodynamique, on a :

Comme x > 0, on en déduit les inégalités suivantes :

• pour le terme de compression :

  \frac{x}{\eta_c} \geqslant x \implies 1 + \frac{x}{\eta_c} \geqslant 1 + x > 0 ;

• pour le terme de détente :

  \eta_t \frac{x}{1 + x} \leqslant \frac{x}{1 + x} \implies 1 - \eta_t \frac{x}{1 + x} \geqslant 1 - \frac{x}{1 + x} = \frac{1}{1 + x} > 0.

Par produit d'inégalités entre grandeurs strictement positives :

En appliquant ce résultat aux deux couples de rendements :

• pour le couple (\eta_{cd}, \eta_{ts}), f(\eta_{cd}, \eta_{ts}) \geqslant 1, ce qui donne :

  \frac{T_{0d}}{T_{0n}} = f(\eta_{cd}, \eta_{ts}) \geqslant 1 \implies \boxed{T_{0d} \geqslant T_{0n}}

• pour le couple (\eta_{cs}, \eta_{td}), f(\eta_{cs}, \eta_{td}) \geqslant 1, ce qui donne :

  \frac{T_{2d}}{T_{2n}} = f(\eta_{cs}, \eta_{td}) \geqslant 1 \implies \boxed{T_{2d} \geqslant T_{2n}}

D'après la question Q16, le rapport des températures s'écrit sous la forme :

Pour \Psi > 1 (rapport de pression strictement supérieur à 1), ces deux facteurs ne sont égaux à 1 que dans le cas où les turbomachines sont idéales, c'est-à-dire si leurs rendements isentropiques sont tous unitaires :

(Le cas trivial \Psi = 1 correspondrait à une absence totale de compression et de détente, ce qui ne permet aucun transfert thermique utile.)

Cette situation correspondrait à des compressions et des détentes purement isentropiques (adiabatiques et réversibles).

Ce cas n'est absolument pas réaliste en pratique :

• L'écoulement rapide du gaz au sein des compresseurs et des turbines s'accompagne inévitablement de frottements visqueux (dissipation visqueuse), de décollements de couches limites et de tourbillons turbulents.
• Il existe également des fuites aux jeux d'aubes et des échanges thermiques parasites avec le carter.

Ces irréversibilités mécaniques et thermiques entraînent nécessairement une création d'entropie s_{\text{créée}} > 0. Les rendements isentropiques des meilleures turbomachines industrielles restent donc toujours strictement inférieurs à l'unité (typiquement \eta \approx 0{,}85 \text{ à } 0{,}96).

Pour éviter l'échauffement progressif des enceintes au cours des cycles successifs, il est nécessaire de dissiper l'énergie thermique excédentaire générée par les irréversibilités.

Plusieurs solutions techniques complémentaires peuvent être envisagées :

• Mise en place d'échangeurs thermiques auxiliaires (refroidisseurs) : On peut insérer sur le circuit de gaz un ou deux échangeurs de chaleur (aérothermes à air ou échangeurs tubulaires à circulation d'eau de refroidissement) :

  • entre la sortie du compresseur et l'entrée de l'enceinte haute pression, pour refroidir l'argon de T_{0d} à T_{0n} ;
  • entre la sortie de la turbine et l'enceinte basse pression, pour ramener le gaz de T_{2d} à T_{2n}.

  L'évacuation de chaleur est particulièrement aisée pour ramener T_{0d} à T_{0n} car cette dernière est proche de la température ambiante (T_{0n} = 293\text{ K} \approx 20\text{ }^\circ\text{C}), ce qui permet d'utiliser simplement l'air atmosphérique ou une source d'eau naturelle comme puits thermique.

• Valorisation de la chaleur fatale : L'énergie thermique évacuée (notamment celle à haute température issue de la détente si T_{2d} > T_{2n} \approx 500\text{ }^\circ\text{C}) peut être valorisée sous forme de cogénération (réseau de chaleur urbain, séchage industriel, ou alimentation d'un cycle de Rankine secondaire).

D'après la question Q16, si le rapport de pression isentropique était identique en stockage et en déstockage (\Psi_d = \Psi), la température du gaz en sortie de turbine lors du déstockage s'écrirait :

Or, d'après l'étude menée à la question Q17, en présence d'irréversibilités réelles (\eta_{cs} < 1 ou \eta_{td} < 1), ce produit est strictement supérieur à 1 : on a nécessairement T_{2d} > T_{2n}.

En introduisant un rapport de pression isentropique propre à la phase de déstockage :

la température en sortie de turbine de déstockage devient :

La condition imposée T_{2d} = T_{2n} requiert donc :

Cette égalité ne peut pas être satisfaite pour \Psi_d = \Psi, ce qui prouve la nécessité d'avoir :

Les turbomachines (compresseurs et turbines) sont des organes conçus pour des conditions nominales de fonctionnement très précises, notamment un taux de compression ou de détente \Pi = P_H / P_B fixé de façon à maximiser leur rendement isentropique et leur stabilité aérodynamique.

Puisque les rapports de pression doivent être différents entre la charge (\Psi) et la décharge (\Psi_d), et que le sens de circulation du fluide est inversé, il est impossible d'utiliser les mêmes machines de manière optimale. Il est donc indispensable d'utiliser deux paires distinctes de turbomachines : l'une dimensionnée pour le stockage, l'autre pour le déstockage.

D'après la question Q20, l'égalité industrielle T_{2d} = T_{2n} impose au gaz caloporteur de retrouver sa température nominale après la détente dans la turbine de déstockage, ce qui se traduit par :

Posons pour alléger l'écriture A = 1 + \dfrac{\Psi - 1}{\eta_{cs}} = \dfrac{\eta_{cs} + \Psi - 1}{\eta_{cs}}. L'égalité précédente devient :

En isolant le terme en 1/\Psi_d :

Or, le quotient \dfrac{A - 1}{A} s'exprime directement à l'aide de \Psi et \eta_{cs} :

On en déduit l'inverse de \Psi_d :

Soit finalement :

Vérification sur un cas limite :

• Turbomachines isentropiques idéales (\eta_{cs} = \eta_{td} = 1) : En remplaçant les rendements par 1 dans l'expression trouvée :

  \Psi_d = \frac{1 \cdot (1 + \Psi - 1)}{1 \cdot 1 - (1 - 1)(\Psi - 1)} = \frac{\Psi}{1} = \Psi

  En l'absence d'irréversibilités mécaniques et thermiques dans les turbomachines, le cycle est idéalement réversible : le rapport de compression en stockage et le rapport de détente en déstockage sont rigoureusement identiques.

• Absence de compression (\Psi = 1) : Pour \Psi = 1, on obtient immédiatement \Psi_d = 1, ce qui est également physiquement attendu.

D'après le résultat de la question Q21, le paramètre \Psi_d s'exprime par :

Calculons la différence \Psi_d - \Psi :

Analysons les termes en jeu :

• La haute pression étant strictement supérieure à la basse pression, P_H > P_B, et comme \gamma > 1, on a \Psi = \left(\frac{P_H}{P_B}\right)^{1 - 1/\gamma} > 1, soit \Psi - 1 > 0.

• Dans une installation réelle, les turbomachines ne sont pas parfaites : 0 < \eta_{cs} < 1 et 0 < \eta_{td} < 1. Par conséquent :

  \eta_{td}(1 - \eta_{cs}) > 0 \quad \text{et} \quad \Psi(1 - \eta_{td}) > 0

  Le numérateur est donc strictement positif.

• Le dénominateur est également positif pour toute valeur physique admissible de \Psi_d > 0.

On en déduit :

Le rapport de pression r_p = \frac{P_H}{P_B} est relié à \Psi par r_p = \Psi^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}}. Comme \frac{\gamma}{\gamma - 1} > 0, la fonction x \mapsto x^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}} est strictement croissante sur \mathbb{R}^{+*}. Par conséquent :

Le rapport de pression au déstockage est strictement supérieur au rapport de pression au stockage.

Lors de la phase de déstockage, le gaz caloporteur circule en sens inverse et échange du travail avec deux turbomachines :

• Dans le compresseur, il subit une compression adiabatique de la basse pression P_{B,d} (température d'entrée T_3) à la haute pression P_{H,d} (température de sortie T_{0d}) :

  w_{c,d} = h_{0d} - h_3 = c_p(T_{0d} - T_3)

• Dans la turbine, il subit une détente adiabatique de la haute pression P_{H,d} (température d'entrée T_1) à la basse pression P_{B,d} (température de sortie T_{2d}) :

  w_{t,d} = h_{2d} - h_1 = c_p(T_{2d} - T_1)

L'énergie massique nette mise en jeu lors du déstockage s'écrit donc :

Pour le compresseur de déstockage, une évolution isentropique conduirait à la température T_{0d\text{ is}} = T_3 \Psi_d. Par définition du rendement isentropique :

Pour la turbine de déstockage, une évolution isentropique mènerait à la température T_{2d\text{ is}} = \dfrac{T_1}{\Psi_d}. Par définition du rendement isentropique :

En regroupant ces deux termes et en factorisant par (\Psi_d - 1) exactement comme à la question Q10, on obtient :

En tenant compte de la condition industrielle T_{2d} = T_{2n} retenue à la question Q20, on a T_{2d} - T_1 = T_{2n} - T_1 = -T_{2n}\dfrac{\Psi - 1}{\eta_{cs}}, ce qui permet également d'écrire :

où T_3 = T_{0n}\left(1 - \eta_{ts}\dfrac{\Psi - 1}{\Psi}\right) d'après la question Q8.

La figure 7 donne le rendement théorique \Gamma du procédé en fonction de la température d'entrée T_1 (en ^\circ\text{C}) pour différentes valeurs du rendement isentropique \eta supposé commun aux quatre machines.

Pour obtenir un rendement théorique supérieur ou égal à 90\,\% (\Gamma \geqslant 0{,}90) sous la contrainte d'une température maximale T_1 \leqslant 1000\,^\circ\text{C}, on observe l'intersection des courbes avec la ligne horizontale \Gamma = 0{,}90 :

• Pour \eta \leqslant 0{,}92, le rendement maximal à T_1 = 1000\,^\circ\text{C} est inférieur à 0{,}90 (pour \eta = 0{,}92, \Gamma \approx 0{,}84). Le seuil de 90\,\% ne peut donc jamais être atteint sur la plage de température accessible.

• Pour \eta = 0{,}94, la courbe atteint \Gamma = 0{,}90 précisément à la limite technologique :

  T_1 \approx 1000\,^\circ\text{C}

• Pour \eta = 0{,}96, le rendement \Gamma \geqslant 0{,}90 est atteint dès :

  T_1 \geqslant 600\,^\circ\text{C}

• Pour \eta = 0{,}98, la condition est vérifiée dès :

  T_1 \geqslant 300\,^\circ\text{C}

où T_{1,\min} \approx 1000\,^\circ\text{C} pour \eta = 0{,}94, T_{1,\min} \approx 600\,^\circ\text{C} pour \eta = 0{,}96 et T_{1,\min} \approx 300\,^\circ\text{C} pour \eta = 0{,}98.

L'analyse de la figure 7 montre que pour atteindre un rendement global \Gamma élevé du procédé SEPT, il est nécessaire de maximiser simultanément :

• la température haute du cycle T_1 (à rendement isentropique fixé, \Gamma est une fonction strictement croissante de T_1) ;
• le rendement isentropique \eta des turbomachines (à température T_1 fixée, une légère baisse de \eta dégrade considérablement \Gamma).

Or, sur le plan technologique et des matériaux, ces deux exigences s'opposent :

1. Contraintes thermomécaniques à haute température : aux températures considérées (pouvant atteindre 1000\,^\circ\text{C} soit près de 1273\text{ K}), les matériaux des aubages sont soumis à d'intenses contraintes mécaniques et thermiques (dilatations différentielles, risque de fluage).
2. Dégradation du rendement isentropique : pour éviter le contact entre les parties tournantes et le carter lors des dilatations, il est nécessaire de prévoir des jeux de fonctionnement plus larges en extrémité d'aubes. De plus, la tenue thermique impose parfois l'injection d'un débit de fluide de refroidissement. Ces jeux accrus génèrent des écoulements de fuite et des dissipations visqueuses supplémentaires, ce qui diminue directement le rendement isentropique \eta.
3. Exigence de géométrie précise pour \eta élevé : inversement, l'obtention d'un rendement isentropique très élevé (\eta \geqslant 0{,}94) impose des profils aérodynamiques optimisés et des jeux mécaniques extrêmement faibles, incompatibles avec des régimes thermiques trop sévères.

Le concepteur d'une installation SEPT doit donc nécessairement réaliser un compromis entre le choix de matériaux capables de supporter de très hautes températures T_1 et la préservation d'un rendement isentropique \eta suffisamment élevé pour maintenir la rentabilité du stockage.

Le modèle thermodynamique développé jusqu'ici ne prend en compte que les irréversibilités internes aux turbomachines (rendements isentropiques \eta < 1). Dans une installation réelle, d'autres phénomènes dissipatifs et transferts d'énergie viennent dégrader le rendement global :

1. Pertes électromécaniques : le convertisseur électromécanique (moteur électrique en phase de stockage, génératrice en phase de déstockage) présente un rendement électrique et mécanique inférieur à l'unité en raison de l'effet Joule dans les bobinages, des pertes ferromagnétiques et des frottements mécaniques dans les paliers et les réducteurs.
2. Pertes de charge dans le circuit fluide : l'écoulement du gaz à fort débit à travers le lit granulaire poreux des régénérateurs, les canalisations et les vannes s'accompagne de pertes de charge visqueuses non négligeables, ce qui augmente le travail de compression requis et réduit le travail récupérable à la détente.
3. Pertes thermiques vers l'environnement extérieur : l'isolation thermique des enceintes et des conduites n'étant pas idéale, des fuites de chaleur vers le milieu extérieur ont lieu en continu, particulièrement au niveau de l'enceinte haute température.
4. Irréversibilités des transferts thermiques gaz-solide : l'échange thermique entre l'argon et le matériau granulaire nécessite un écart de température fini entre le fluide et le solide (\Delta T = T_f - T_s \neq 0), ce qui est source d'irréversibilité thermique (création d'entropie). De plus, la diffusion thermique axiale (étudiée en partie ) tend à homogénéiser les températures et dégrade le front thermique.
5. Pertes liées à l'évacuation de l'excédent thermique : comme établi à la question Q17, les irréversibilités provoquent un échauffement résiduel du fluide en sortie d'enceinte (T_{0d} > T_{0n} et T_{2d} > T_{2n}). L'énergie thermique évacuée (par exemple par un aéroréfrigérant) pour stabiliser le cycle est définitivement perdue.