Feuille d'entraînement : Diffraction et réseaux

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q6

   La pupille joue le rôle d'un diaphragme d'ouverture circulaire de diamètre D. En conditions de vision diurne (conditions photopiques), ce diamètre est typiquement de :

   D \approx 2\text{ à }3\text{ mm} = 3 \cdot 10^{-3}\text{ m}

   Pour une onde lumineuse au centre du spectre visible, on prend :

   \lambda \approx 550\text{ nm} = 5{,}5 \cdot 10^{-7}\text{ m}

   La diffraction à travers une ouverture circulaire de diamètre D produit à l'infini une figure de diffraction (tache d'Airy) dont le premier anneau sombre est atteint pour un demi-angle d'ouverture donné par le critère de Rayleigh :

   \theta_{\text{diff}} = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}

   En application numérique :

   \begin{aligned} \theta_{\text{diff}} &\approx 1{,}22 \times \frac{5{,}5 \cdot 10^{-7}}{3 \cdot 10^{-3}} \approx 2{,}2 \cdot 10^{-4}\text{ rad} \end{aligned}

   (ou \theta_{\text{diff}} \approx 3{,}4 \cdot 10^{-4}\text{ rad} si l'on prend D = 2\text{ mm}).

   D'après la question Q5, le pouvoir séparateur imposé par l'espacement des cônes sur la rétine est :

   \alpha \approx 1{,}3 \cdot 10^{-4}\text{ rad}

   On constate que \theta_{\text{diff}} et \alpha sont du même ordre de grandeur :

   \theta_{\text{diff}} \sim \alpha \sim 10^{-4}\text{ rad} \approx 1' \text{ d'arc}

   \boxed{\text{Oui, le pouvoir séparateur de l'œil est déterminé et limité par le phénomène de diffraction.}}

   Résultat

   $$\text{Oui, le pouvoir seˊparateur de l’œil est deˊtermineˊ et limiteˊ par le pheˊnomeˋne de diffraction.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique U PSI 2024, Q[27]

   La formule obtenue à la question précédente est :

   \Delta x_{\min} \sim \frac{\lambda f}{w}

   Elle ne fait pas intervenir la constante de Planck réduite \hbar.

   Physiquement, cela s'explique par le fait que :

   • la quantité de mouvement d'un photon est proportionnelle à son vecteur d'onde par la relation de de Broglie : \vec{p} = \hbar \vec{k}, d'où \Delta p_x = \hbar \Delta k_x ;

   • l'inégalité d'Heisenberg impose \Delta x \, \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}, soit :

     \Delta x (\hbar \Delta k_x) \ge \frac{\hbar}{2} \iff \Delta x \, \Delta k_x \ge \frac{1}{2}.

   La constante \hbar se simplifie rigoureusement. La relation \Delta x \, \Delta k_x \sim 1 est en réalité une propriété générale de l'analyse de Fourier valable pour toute onde classique (le produit de l'extension spatiale par la largeur spectrale spatiale est minoré par une constante d'ordre un). La limitation de la taille du faisceau au foyer est un phénomène purement ondulatoire classique, à savoir la diffraction, et n'a pas une origine intrinsèquement quantique.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique U PSI 2024, Q[28]

   L'intensité lumineuse au foyer s'exprime comme le rapport de la puissance lumineuse P à la surface de la tache de focalisation :

   I_{\text{foyer}} \sim \frac{P}{\pi (\Delta x)^2}

   D'après la question Q[26], la diffraction impose une taille transverse minimale de la tache focale :

   \Delta x \sim \frac{\lambda f}{w}

   où w désigne le diamètre transverse du faisceau incident intercepté par la lentille. L'intensité au foyer varie donc comme :

   I_{\text{foyer}} \propto \frac{P\, w^2}{\lambda^2 f^2}

   Pour une puissance incidente P, une longueur d'onde \lambda et une distance focale f fixées, maximiser l'intensité au foyer exige de minimiser la taille de la tache focale \Delta x, et donc de maximiser la largeur w du faisceau.

   Comme le diamètre utile du faisceau est limité par l'ouverture de la lentille (w \le D, où D désigne le diamètre de la lentille), il convient de choisir :

   \boxed{\text{un diamètre de lentille le plus grand possible}}

   de façon à maximiser l'angle d'ouverture numérique \theta \simeq \frac{D}{2f} (ou à minimiser le rapport d'ouverture f/D).

   Résultat

   $$\text{un diameˋtre de lentille le plus grand possible}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique U PSI 2024, Q[31]

   Le SLM, assimilé à une lame mince sans absorption située dans le plan z = 0, applique au champ incident une transmittance purement de phase :

   t(x) = e^{i\Phi(x)} = e^{i\left(\Phi_0 + \Phi_1 \cos(qx)\right)}.

   En adoptant la convention de dépendance temporelle en e^{-i\omega t} introduite à la question Q[30], l'onde plane incidente de pulsation \omega et d'amplitude E_0, se propageant selon les z croissants, s'écrit en z = 0^- :

   \underline{E}_{\text{inc}}(x, z=0^-, t) = E_0 e^{-i\omega t}.

   Le champ électrique immédiatement en sortie du SLM (en z = 0^+) est donc donné par :

   \boxed{\underline{E}(x, 0, t) = E_0 e^{i\Phi_0} e^{i\Phi_1 \cos(qx)} e^{-i\omega t}}

   Pour une modulation de faible amplitude (\Phi_1 \ll 1), effectuons un développement de Taylor au premier ordre de l'exponentielle :

   e^{i\Phi_1 \cos(qx)} = 1 + i\Phi_1 \cos(qx) + \mathcal{O}(\Phi_1^2).

   En injectant ce développement, le champ électrique à la sortie du SLM s'écrit au premier ordre en \Phi_1 :

   \boxed{\underline{E}(x, 0, t) \simeq E_0 e^{i\Phi_0} \Bigl( 1 + i\Phi_1 \cos(qx) \Bigr) e^{-i\omega t}}

   En utilisant les formules d'Euler, on peut également l'écrire sous forme décomposée :

   \underline{E}(x, 0, t) \simeq E_0 e^{i\Phi_0} \left( 1 + i\frac{\Phi_1}{2} e^{iqx} + i\frac{\Phi_1}{2} e^{-iqx} \right) e^{-i\omega t}.

   Résultat

   $$\underline{E}(x,0,t)=E_0{e}^{i{\Phi }_0}{e}^{i{\Phi }_1\cos (qx)}{e}^{-i\omega t}$$

   $$\underline{E}(x,0,t)\simeq E_0{e}^{i{\Phi }_0}(1+i{\Phi }_1\cos (qx))e^{-i\omega t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique U PSI 2022, Q25

   L'expression de l'amplitude complexe du champ s'écrit, en coordonnées cylindriques avec r^2 = x^2 + y^2 :

   |E(r, z)| = E_0 \, \frac{w_0}{w(z)} \exp\left(-\frac{r^2}{w(z)^2}\right)

   L'intensité lumineuse locale associée, proportionnelle au module carré du champ électrique, vérifie :

   I(r, z) = I(0, z) \exp\left(-\frac{2r^2}{w(z)^2}\right)

   On en déduit l'interprétation physique de w(z) :

   • À une cote z fixée, w(z) représente la demi-largeur transverse du faisceau (ou rayon du faisceau) : c'est la distance radiale à l'axe optique pour laquelle l'amplitude du champ électrique est divisée par un facteur e, ou de façon équivalente, la distance pour laquelle l'intensité lumineuse est divisée par un facteur e^2 \approx 7{,}4 (I(w(z), z) = I(0, z)/e^2 \approx 0{,}135 \, I(0, z)).
   • En z = 0, cette largeur atteint sa valeur minimale w(0) = w_0, appelée rayon au col (ou waist) du faisceau gaussien.

   \boxed{w(z) \text{ est la demi-largeur transverse (à } 1/e \text{ en amplitude, } 1/e^2 \text{ en intensité) du faisceau gaussien à la cote } z.}

   Résultat

   $$w(z)\text{ est la demi-largeur transverse (aˋ }1/e\text{ en amplitude, }1/e^2\text{ en intensiteˊ) du faisceau gaussien aˋ la cote }z.$$

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6. Exercice 6ENS Physique U PSI 2022, Q26

   1. Tracé qualitatif de w(z) :

   D'après l'expression établie à la question 25 :

   w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left(\frac{z}{z_R}\right)^2}

   La fonction w(z) est paire, minimale en z = 0 où w(0) = w_0, et vaut à la cote de Rayleigh z = z_R :

   w(z_R) = w_0 \sqrt{2} \approx 1{,}41\,w_0

   La courbe est une branche d'hyperbole admettant pour asymptotes obliques les droites d'équation w(z) \sim \pm \frac{w_0}{z_R}z quand z \to \pm\infty.

   2. Région de comportement d'onde plane :

   Pour |z| \ll z_R (au voisinage immédiat du col, et plus généralement dans la zone de Rayleigh |z| \le z_R) :

   • Le rayon du faisceau varie très peu : w(z) \approx w_0.
   • Le rayon de courbure diverge : R(z) \approx \frac{z_R^2}{z} \gg z_R \to \infty, ce qui signifie que les fronts d'onde sont des plans orthogonaux à l'axe optique (Oz).
   • Le terme de phase de courbure s'annule : k\frac{r^2}{2R(z)} \to 0.

   Le faisceau gaussien se comporte donc comme une onde plane dans la région |z| \ll z_R (au voisinage du col) pour r \lesssim w_0.

   3. Limite z \gg z_R et phénomène physique associé :

   Lorsque z \gg z_R, le rayon transverse devient linéaire en z :

   w(z) \approx \frac{w_0}{z_R} z = \frac{\lambda}{\pi w_0} z = \theta z

   et le rayon de courbure s'identifie à la distance de propagation : R(z) \approx z. Les surfaces d'onde sont alors des calottes sphériques centrées sur le col (z = 0) et le faisceau s'ouvre selon un cône de demi-angle de divergence :

   \boxed{\theta = \frac{\lambda}{\pi w_0}}

   Ce phénomène correspond à la diffraction en champ lointain (ou diffraction de Fraunhofer) d'une onde limitée spatialement à une ouverture transverse caractéristique w_0.

   Résultat

   $$\theta =\frac{\lambda }{\pi w_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique U PSI 2022, Q31

   Le miroir situé en z = D/2 est modélisé par un conducteur parfait sphérique, concave, de rayon de courbure R_c. Dans le repère cylindrique (r,\theta,z) avec r^2 = x^2 + y^2, le centre de courbure du miroir se situe en z = D/2 - R_c. L'équation exacte de la calotte sphérique s'écrit :

   \left(z - \left(\frac{D}{2} - R_c\right)\right)^2 + r^2 = R_c^2

   Dans l'approximation paraxiale (r \ll R_c), un développement limité au second ordre donne le profil de la surface du miroir :

   z_M(r) = \frac{D}{2} - R_c + R_c\sqrt{1 - \frac{r^2}{R_c^2}} \approx \frac{D}{2} - \frac{r^2}{2R_c}

   D'autre part, la phase spatiale de l'onde se propageant selon +z s'écrit (en négligeant la phase de Gouy \Phi(z) conformément aux hypothèses) :

   \phi(r,z) = kz + k\frac{r^2}{2R(z)}

   Une surface d'onde (surface équiphase \phi(r,z) = \text{cte}) passant par le sommet (r=0, z=D/2) vérifie :

   kz + k\frac{r^2}{2R(D/2)} \approx k\frac{D}{2} \implies z_{\text{onde}}(r) \approx \frac{D}{2} - \frac{r^2}{2R(D/2)}

   Sur la surface du miroir conducteur parfait, la composante tangentielle du champ électrique total doit s'annuler identiquement pour tout r. Comme le champ est principalement transverse (\mathbf{E} \approx E_x \mathbf{e}_x), le miroir doit coïncider avec une surface nodale du mode stationnaire, et donc épouser exactement la forme d'une surface d'onde. En identifiant les courbures de z_M(r) et de z_{\text{onde}}(r), on obtient immédiatement :

   \boxed{R(D/2) = R_c}

   D'après la question Q25, le rayon de courbure du faisceau s'exprime par :

   R(z) = z\left[1 + \left(\frac{z_R}{z}\right)^2\right]

   En évaluant cette relation en z = D/2 avec R(D/2) = R_c :

   \begin{aligned} \frac{D}{2}\left[1 + \left(\frac{2z_R}{D}\right)^2\right] &= R_c \\ 1 + \left(\frac{2z_R}{D}\right)^2 &= \frac{2R_c}{D} \\ \left(\frac{2z_R}{D}\right)^2 &= \frac{2R_c - D}{D} \end{aligned}

   On en déduit l'expression de la longueur de Rayleigh z_R :

   z_R = \frac{D}{2}\sqrt{\frac{2R_c - D}{D}} = \frac{1}{2}\sqrt{D(2R_c - D)}

   En utilisant la relation z_R = \dfrac{\pi w_{0,p}^2}{\lambda_p} (avec \lambda_p = \dfrac{2\pi}{k_p} la longueur d'onde du mode p), on trouve :

   \frac{\pi w_{0,p}^2}{\lambda_p} = \frac{1}{2}\sqrt{D(2R_c - D)}

   Soit finalement :

   \boxed{w_{0,p}^2 = \frac{\lambda_p}{2\pi}\sqrt{D(2R_c - D)}}

   Résultat

   $$R(D/2)=R_c$$

   $$w_{0,p}^2=\frac{{\lambda }_p}{2\pi }\sqrt{D(2R_c-D)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique PSI 2021, Q35

   D'après la question Q34, l'angle de déviation \theta vérifie :

   \sin\theta = \frac{\lambda F}{c_s}

   Or, la longueur d'onde acoustique \Lambda associée à la fréquence F se propageant à la célérité c_s est donnée par :

   \Lambda = \frac{c_s}{F}

   On en déduit :

   \sin\theta = \frac{\lambda}{\Lambda}

   L'application numérique de la question Q34 donne \sin\theta \approx 1{,}20 \times 10^{-2} \ll 1. On peut donc effectuer l'approximation des petits angles (\sin\theta \approx \theta, avec \theta exprimé en radians) :

   \boxed{\theta \approx \frac{\lambda}{\Lambda}}

   Cette relation correspond à l'angle de déviation du premier ordre de diffraction (p = 1) d'une onde lumineuse de longueur d'onde \lambda par un réseau de pas \Lambda (loi des réseaux sous incidence normale : \sin\theta = p\,\frac{\lambda}{\Lambda}).

   Le phénomène optique modélisé ici est la diffraction de la lumière par une onde acoustique (ou effet acousto-optique, le milieu se comportant comme un réseau de diffraction d'indice induit par les variations spatiales périodiques de masse volumique).

   Résultat

   $$\theta \approx \frac{\lambda }{\Lambda }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 1 PSI 2020, Q16

   Pour une onde lumineuse de longueur d'onde moyenne dans le domaine visible \lambda \approx 500\text{ nm} = 5 \times 10^{-7}\text{ m}, la diffraction par un obstacle circulaire (ou une ouverture circulaire selon le théorème de Babinet) de diamètre D = 2R_T donne un demi-angle caractéristique de diffraction :

   \theta_d \approx \frac{\lambda}{2R_T}

   Avec R_T \approx 6,37 \times 10^6\text{ m}, soit D \approx 1,27 \times 10^7\text{ m} :

   \theta_d \approx \frac{5 \times 10^{-7}}{1,27 \times 10^7} \approx 4 \times 10^{-14}\text{ rad}

   \boxed{\theta_d \sim 10^{-14}\text{ rad}}

   Dans le plan d'observation \mathscr{P}_e situé à la distance r_L = 3,84 \times 10^8\text{ m} de la Terre, la taille caractéristique de la diffraction est :

   a_d \approx r_L\,\theta_d

   Soit numériquement :

   a_d \approx 3,84 \times 10^8 \times 4 \times 10^{-14} \approx 1,5 \times 10^{-5}\text{ m} \approx 15\ \mu\text{m}

   \boxed{a_d \sim 10^{-5}\text{ m} = 10\ \mu\text{m}}

   Le rayon du cône d'ombre de la Terre au niveau de l'orbite lunaire ainsi que le rayon de la Lune (R_L \approx 1,74 \times 10^6\text{ m}) sont de l'ordre de plusieurs milliers de kilomètres. La lumière diffractée ne pénètre dans l'ombre que sur une distance a_d \sim 10\ \mu\text{m}, qui est strictement négligeable devant la taille de la zone d'ombre.

   \boxed{\text{La diffraction ne peut absolument pas éclairer le disque lunaire durant la totalité.}}

   Dans l'hypothèse d'une Terre sans atmosphère, les autres sources potentielles d'éclairage du disque lunaire sont :

   • la lumière stellaire issue des étoiles et de la Voie lactée ;
   • la lumière diffusée ou réfléchie par les autres planètes du Système solaire (notamment Vénus et Jupiter) ;
   • la lumière provenant de la couronne solaire externe (qui dépasse le disque terrestre vu depuis la Lune) ;
   • la lumière zodiacale (diffusion par les poussières interplanétaires).

   Résultat

   $${\theta }_d\sim 10^{-14}\text{ rad}$$

   $$a_d\sim 10^{-5}\text{ m}=10\mu \text{m}$$

   $$\text{La diffraction ne peut absolument pas eˊclairer le disque lunaire durant la totaliteˊ.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10ENS Physique U PSI 2024, Q[32]

    D'après le résultat de la question Q31, le champ électrique à la sortie du modulateur spatial de lumière (z = 0) s'écrit au premier ordre en \Phi_1 :

    \underline{E}(x, 0, t) \simeq E_0 e^{i\Phi_0} e^{-i\omega t} + i\frac{\Phi_1}{2} E_0 e^{i\Phi_0} e^{i(qx - \omega t)} + i\frac{\Phi_1}{2} E_0 e^{i\Phi_0} e^{i(-qx - \omega t)}.

    Par linéarité des équations de propagation, le champ pour z > 0 est la superposition de trois ondes planes, dont la forme est donnée par la question Q30 avec respectivement k_x = 0, k_x = +q et k_x = -q :

    • Faisceau d'ordre 0 (k_{x,0} = 0) : Le vecteur d'onde est purement longitudinal, dirigé selon l'axe optique \vec{u}_z. L'angle avec l'axe optique est :

      \theta_0 = 0.

    • Faisceaux d'ordre ± 1 (k_{x,\pm 1} = \pm q) : Pour une onde plane de norme d'onde k = \omega/c, la projection de la direction de propagation sur le plan transverse vérifie :

      \sin\theta_{\pm} = \frac{k_{x,\pm 1}}{k} = \pm \frac{qc}{\omega}.

      Puisque le rapport \frac{qc}{\omega} \ll 1, on effectue un développement à l'ordre 1 :

      \theta_{\pm} \simeq \pm \frac{qc}{\omega}.

    Le faisceau incident se sépare donc en trois faisceaux transmis, inclinés par rapport à l'axe optique des angles :

    \boxed{\theta_0 = 0 \quad \text{et} \quad \theta_{\pm} \simeq \pm \frac{qc}{\omega}}

    Résultat

    $${\theta }_0=0\text{et}{\theta }_{\pm }\simeq \pm \frac{qc}{\omega }$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question