Feuille d'entraînement : Diffraction et réseaux

3 questions · filière MPSI · durée estimée environ 7 min

Seulement 3 questions corrigées pour ces critères à ce jour.

Énoncés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2021, Q33· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
On place un écran derrière la fente, parallèlement à son plan (voir Figure 5), à une distance $d = 5 m$ . Pour cette valeur, on admet qu'on se trouve, avec une excellente approximation, dans une situation de diffraction à l'infini. Cette diffraction s'effectue selon la direction $O y$ . Quelle est l'expression de l'échelle angulaire $θ$ caractérisant cette expérience de diffraction de neutrons? A) $sin θ \approx \frac{λ _{D B}}{ε}$ B) $sin θ \approx \frac{ε}{λ _{D B}}$ C) $sin θ \approx \frac{λ _{D B}}{d}$ D) $sin θ \approx \frac{d}{λ _{D B}}$
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2021, Q34· Intermédiaire· ≈ 3 min
Calculer la valeur de $θ$ . On exprimera cette valeur en secondes d'arc ( $^{''}$ ). A) $θ = 4 \times 1 0^{- 3''}$ B) $θ = 4 \times 1 0^{- 2''}$ C) $θ = 4 \times 1 0^{- 1''}$ D) $θ = 4^{''}$
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2021, Q35· Intermédiaire· ≈ 2 min
La valeur précédente de $θ$ correspond au premier minimum de la figure de diffraction observée sur l'écran. Quelle est la position $y_{1} > 0$ de ce premier minimum? A) $y_{1} \approx 100 nm$ B) $y_{1} \approx 1 μ m$ C) $y_{1} \approx 10 μ m$ D) $y_{1} \approx 100 μ m$

Corrigés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2021, Q33
D'après le principe de la dualité onde-corpuscule, le faisceau de neutrons se comporte comme une onde monochromatique de longueur d'onde \lambda_{DB}. Lors de la traversée d'une fente de largeur \varepsilon parallèle à l'axe Ox et de largeur comptée selon Oy, le phénomène de diffraction à l'infini (ou de Fraunhofer) se traduit par une intensité diffractée dans la direction repérée par l'angle \theta par rapport à l'axe optique Oz proportionnelle à :
I(\theta) \propto \mathrm{sinc}^2\left(\frac{\pi \varepsilon \sin\theta}{\lambda_{DB}}\right)
La première extinction (premier zéro de la fonction sinus cardinal), qui définit l'échelle angulaire de diffraction et la demi-largeur angulaire de la tache centrale, est obtenue lorsque l'argument vaut \pi, soit :
\frac{\pi \varepsilon \sin\theta}{\lambda_{DB}} = \pi
On en déduit :
\boxed{\sin\theta \approx \frac{\lambda_{DB}}{\varepsilon}}
La réponse correcte est donc l'affirmation A.
Résultat
$sin θ \approx \frac{λ _{D B}}{ε}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2021, Q34
D'après la question Q33, l'échelle angulaire vérifie :
\sin\theta \approx \frac{\lambda_{DB}}{\varepsilon}
Comme \lambda_{DB} \ll \varepsilon, l'angle est très petit (\theta \ll 1\text{ rad}), ce qui permet d'écrire au premier ordre :
\theta \approx \frac{\lambda_{DB}}{\varepsilon}
Avec les valeurs numériques \lambda_{DB} \approx 2\text{ nm} = 2\times 10^{-9}\text{ m} (question Q32) et \varepsilon = 90\ \mu\text{m} = 90\times 10^{-6}\text{ m} :
\theta \approx \frac{2\times 10^{-9}}{90\times 10^{-6}} = \frac{2}{9}\times 10^{-4}\text{ rad} \approx 2{,}22\times 10^{-5}\text{ rad}
Un angle plein correspond à 2\pi\text{ rad} = 360^\circ. Sachant qu'un degré contient 60 minutes d'arc et chaque minute contient 60 secondes d'arc, un degré équivaut à 3\,600'' :
1\text{ rad} = \frac{180 \times 3\,600}{\pi}\,'' = \frac{648\,000}{\pi}\,'' \approx 2{,}06\times 10^5\,''
En exprimant \theta en secondes d'arc :
\theta \approx 2{,}22\times 10^{-5} \times 2{,}06\times 10^5\,'' \approx 4{,}6\,'' \approx 4''
L'affirmation exacte est donc la proposition D.
\boxed{\theta \approx 4''}
Résultat
$θ \approx 4^{''}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2021, Q35
Dans le cadre de l'approximation paraxiale (angles très petits, \theta \ll 1\text{ rad}), la déviation angulaire \theta et la position linéaire y_1 sur l'écran situé à la distance d de la fente sont reliées par :
y_1 = d \tan\theta \approx d\,\theta \approx d\,\frac{\lambda_{\mathrm{DB}}}{\varepsilon}
En utilisant les valeurs numériques fournies :
- d = 5\text{ m} ;
- \lambda_{\mathrm{DB}} \approx 2\text{ nm} = 2 \times 10^{-9}\text{ m} (d'après la question Q32) ;
- \varepsilon = 90\;\mu\text{m} = 90 \times 10^{-6}\text{ m}.
Il vient :
\begin{aligned} y_1 &\approx 5 \times \frac{2 \times 10^{-9}}{90 \times 10^{-6}} \\ &\approx \frac{10^{-8}}{9 \times 10^{-5}} \\ &\approx 1{,}1 \times 10^{-4}\text{ m} = 110\;\mu\text{m} \end{aligned}
La valeur approchée proposée la plus proche est donc y_1 \approx 100\;\mu\text{m}.
\boxed{\text{Réponse D}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponse D$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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