Feuille d'entraînement : Lentilles, miroirs et formation des images

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 2 PSI 2021, Q4

   1. Schéma et expression de d_0' :

   Le faisceau incident étant collimaté (rayons parallèles à l'axe optique), le système optique doit être afocal pour que le faisceau émergent soit également collimaté. Le foyer image F'_1 de la lentille convergente L_1 doit donc être confondu avec le foyer objet F_2 de la lentille convergente L_2 :

   F'_1 \equiv F_2

   D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles formés par les rayons marginaux et le foyer commun F'_1 \equiv F_2 :

   \frac{d_0'/2}{f'_2} = \frac{d_0/2}{f'_1}

   d'où l'expression de la largeur d_0' :

   \boxed{d_0' = d_0 \frac{f'_2}{f'_1}}

   Pour obtenir un faisceau élargi (d_0' > d_0), il est nécessaire de choisir f'_2 > f'_1.

   2. Encombrement du dispositif :

   L'encombrement e correspond à la distance inter-lentilles O_1 O_2 = f'_1 + f'_2. En substituant f'_2 = f'_1 \frac{d_0'}{d_0}, il vient :

   \boxed{e = f'_1 \left(1 + \frac{d_0'}{d_0}\right)}

   3. Réduction de l'encombrement :

   Ce premier montage est une lunette astronomique (ou de Kepler). Pour réduire l'encombrement, on peut réaliser un dispositif de type lunette de Galilée en remplaçant la lentille convergente L_1 par une lentille divergente de distance focale f''_1 < 0 telle que |f''_1| = f'_1.

   Le système reste afocal en faisant coïncider le foyer image virtuel de la lentille divergente avec le foyer objet réel de la lentille convergente : F''_1 \equiv F_2. Le grandissement transversal en valeur absolue est conservé :

   \frac{d_0'}{d_0} = \frac{f'_2}{|f''_1|}

   Le nouvel encombrement e' s'écrit alors :

   e' = O_1 O_2 = f'_2 + f''_1 = f'_2 - |f''_1|

   En factorisant par |f''_1| = f'_1 :

   \boxed{e' = f'_1 \left(\frac{d_0'}{d_0} - 1\right)}

   Puisque \frac{d_0'}{d_0} > 1, on a :

   \frac{d_0'}{d_0} - 1 < \frac{d_0'}{d_0} + 1 \implies e' < e

   L'encombrement est donc strictement réduit d'une longueur 2f'_1.

   Résultat

   $$d_0^{\prime }=d_0\frac{f_2^{\prime }}{f_1^{\prime }}$$

   $$e=f_1^{\prime }\left(1+\frac{d_0^{\prime }}{d_0}\right)$$

   $$e^{\prime }=f_1^{\prime }\left(\frac{d_0^{\prime }}{d_0}-1\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q2

   1. Traversée du premier dioptre (air/verre, plan) :

   • Les rayons incidents sont parallèles à l'axe optique et arrivent orthogonalement à la face d'entrée plane ; l'angle d'incidence par rapport à la normale est donc nul : i_1 = 0.

   • D'après la loi de Snell-Descartes (établie en Q1) :

     n_{\text{air}}\sin i_1 = n \sin i_2 \iff 1\times \sin 0 = n \sin i_2 \implies i_2 = 0

     Les rayons pénètrent dans le verre sans subir de déviation et se propagent parallèlement à l'axe optique.

   2. Traversée du second dioptre (verre/air, courbe) :

   • En chaque point d'incidence sur la face de sortie, la normale locale au dioptre est la droite passant par le centre de courbure de la surface sphérique.

   • En notant i l'angle d'incidence dans le verre et i' l'angle de réfraction dans l'air, la loi de Snell-Descartes s'écrit :

     n \sin i = n_{\text{air}} \sin i' = \sin i'

   • Comme le verre est plus réfringent que l'air (n > 1), on a :

     \sin i' = n \sin i > \sin i \implies i' > i

     Le rayon émergent s'écarte de la normale au dioptre.

   • Le rayon central passant par le sommet de la lentille est sur l'axe optique ; il arrive sous incidence normale (i=0) et traverse donc la lentille en ligne droite (i'=0).

   3. Tracé qualitatif des rayons :

   • Lentille plan-convexe (1) : Le centre de courbure de la face de sortie est situé du côté du verre (vers la gauche). Pour un rayon situé au-dessus de l'axe optique, la normale pointe vers le haut et la droite. En s'écartant de la normale, le rayon est dévié vers l'axe optique (vers le bas). Par symétrie, le rayon situé sous l'axe optique est dévié vers le haut. Les rayons convergent vers l'axe optique.
   • Lentille plan-concave (2) : Le centre de courbure de la face de sortie est situé du côté de l'air (vers la droite). Pour un rayon situé au-dessus de l'axe optique, la normale pointe vers le bas et la droite (vers l'axe). En s'écartant de cette normale, le rayon est dévié vers le haut, s'éloignant ainsi de l'axe optique. Par symétrie, le rayon inférieur s'écarte vers le bas. Les rayons divergent en sortie de la lentille.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q3

   D'après l'analyse des tracés de rayons effectuée à la question précédente :

   • Pour la lentille (1) (plan-convexe), un faisceau incident de rayons parallèles à l'axe optique émerge en convergeant vers l'axe optique, coupant celui-ci en un foyer principal image réel situé après la lentille. La lentille (1) est donc convergente.
   • Pour la lentille (2) (plan-concave), le faisceau de rayons parallèles émerge en s'écartant de l'axe optique (les prolongements des rayons émergents se coupent en un foyer principal image virtuel situé avant la lentille). La lentille (2) est donc divergente.

   \boxed{\text{La lentille (1) est convergente et la lentille (2) est divergente.}}

   Résultat

   $$\text{La lentille (1) est convergente et la lentille (2) est divergente.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q5

   1. Construction géométrique :

   • Le rayon incident passant par le centre optique O_1 n'est pas dévié par (L_1) et se propage en ligne droite jusqu'à la lentille (L_2). En prolongeant sa trajectoire en pointillés au-delà de (L_2), il coupe le plan focal image de (L_1) en un foyer secondaire image intermédiaire B_1.
   • Tout autre rayon incident parallèle au premier converge vers ce même foyer intermédiaire B_1. Entre (L_1) et (L_2), il est donc dévié vers B_1 (tracé en trait plein jusqu'à (L_2), puis en pointillés au-delà).
   • Le point B_1 appartient au plan focal objet de (L_2) car la lunette est afocale (F'_1 \equiv F_2). C'est un foyer secondaire objet virtuel pour (L_2).
   • Par conséquent, le faisceau émergeant de (L_2) est constitué de rayons parallèles entre eux, orientés selon la direction de la droite passant par O_2 et B_1, faisant un angle \alpha' avec l'axe optique.

   2. Tracé des rayons :

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique U PSI 2024, Q[21]

   Les rayons lumineux incidents constituent un faisceau cylindrique parallèle à l'axe optique z, ce qui correspond à un objet ponctuel situé à l'infini sur l'axe optique.

   D'après les lois de l'optique géométrique pour une lentille mince convergente, tout faisceau incident parallèle à l'axe optique converge au foyer principal image F' de la lentille.

   Le faisceau est donc focalisé dans le plan focal image, à une distance de la lentille égale à sa distance focale f :

   \boxed{d = f}

   Résultat

   $$d=f$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique U PSI 2024, Q[22]

   Dans le cadre de l'optique géométrique, un faisceau de rayons incidents parallèles à l'axe optique converge rigoureusement en un unique point géométrique : le foyer principal image F' de la lentille.

   Le diamètre du faisceau au point de focalisation est donc strictement nul :

   \boxed{d_f = 0}

   La puissance lumineuse totale transportée par le faisceau, \mathcal{P} = I_0 \times \frac{\pi w^2}{4}, étant finie et non nulle, elle se retrouve concentrée sur une surface géométrique nulle (S \to 0). L'intensité lumineuse au foyer est par conséquent infinie :

   \boxed{I(F') \to +\infty}

   Résultat

   $$d_f=0$$

   $$I(F^{\prime })\to +\infty$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique U PSI 2024, Q[23]

   D'après la figure 1, le faisceau incident, de symétrie cylindrique autour de l'axe optique z, possède un diamètre w. Les rayons marginaux, qui correspondent à la trajectoire la plus inclinée par rapport à l'axe après réfraction, coupent le plan de la lentille à une distance de l'axe optique :

   x_{\max} = \frac{w}{2}.

   Ces rayons convergent au foyer image F' situé sur l'axe optique à la distance f de la lentille. Dans le triangle rectangle délimité par le centre optique, le bord supérieur du faisceau sur la lentille et le foyer, l'angle maximal d'inclinaison \theta vérifie :

   \tan\theta = \frac{w/2}{f} = \frac{w}{2f}.

   L'énoncé précisant que l'angle \theta est petit (\theta \ll 1), le développement au premier ordre donne :

   \boxed{\theta \simeq \frac{w}{2f}}

   Résultat

   $$\theta \simeq \frac{w}{2f}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2021, Q3

   Le Soleil est une source à l'infini sous un diamètre angulaire apparent \alpha. Son image par la lentille convergente se forme dans le plan focal image (où se trouve la feuille de papier) et présente un diamètre :

   d = f'\alpha

   La surface de cette tache circulaire vaut donc :

   S_{\text{image}} = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi}{4}{f'}^2\alpha^2

   La masse de papier contenue dans cette zone s'exprime à l'aide de la masse surfacique \sigma :

   m = \sigma S_{\text{image}} = \frac{\pi}{4}\sigma{f'}^2\alpha^2

   L'énergie thermique minimale nécessaire pour porter cette masse de la température initiale T_0 = 20\text{ }^\circ\text{C} à la température d'auto-inflammation T_{\text{ai}} = 232\text{ }^\circ\text{C} est :

   \Delta H = m c (T_{\text{ai}} - T_0) = \frac{\pi}{4}\sigma c (T_{\text{ai}} - T_0){f'}^2\alpha^2

   Par ailleurs, la lentille de rayon r intercepte un faisceau lumineux d'aire S_{\text{lentille}} = \pi r^2. Compte tenu de l'absorption de 25\,\% par la lentille, la transmission vaut \tau = 1 - 0{,}25 = 0{,}75. En supposant que le papier noir absorbe la totalité du rayonnement incident, la puissance reçue par la zone d'échauffement s'écrit :

   \mathcal{P} = \tau \varphi_0 \pi r^2

   En l'absence de pertes thermiques (par diffusion, convection ou rayonnement), la durée minimale \Delta t_{\text{min}} nécessaire à l'auto-inflammation vérifie \mathcal{P}\Delta t_{\text{min}} = \Delta H, soit :

   \Delta t_{\text{min}} = \frac{\sigma c (T_{\text{ai}} - T_0)}{4\tau\varphi_0}\left(\frac{f'\alpha}{r}\right)^2

   Application numérique :

   • \alpha = 32' = \dfrac{32 \times \pi}{60 \times 180} \approx 9{,}31 \times 10^{-3}\text{ rad} ;
   • f' = 0{,}10\text{ m} et r = 0{,}05\text{ m}, d'où \dfrac{f'}{r} = 2 ;
   • \sigma = 100\text{ g}\cdot\text{m}^{-2} = 0{,}100\text{ kg}\cdot\text{m}^{-2} ;
   • c = 1{,}4\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} = 1{,}4 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} ;
   • T_{\text{ai}} - T_0 = 232 - 20 = 212\text{ K} ;
   • \varphi_0 = 800\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} et \tau = 0{,}75.

   \begin{aligned} \Delta t_{\text{min}} &= \frac{0{,}100 \times 1{,}4 \times 10^3 \times 212}{4 \times 0{,}75 \times 800} \times \left(2 \times 9{,}31 \times 10^{-3}\right)^2 \\ &= \frac{29680}{2400} \times 3{,}466 \times 10^{-4} \approx 4{,}3 \times 10^{-3}\text{ s} \end{aligned}

   \boxed{\Delta t_{\text{min}} \approx 4{,}3\text{ ms}}

   Résultat

   $$\Delta t_{\text{min}}\approx 4,3\text{ ms}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9X-ENS Physique PSI 2021, Q36

   Le chemin optique des deux rayons se décompose selon les étapes suivantes :

   • Source ponctuelle au foyer objet F_1 de (L_1) : Le point d'émergence des faisceaux à la sortie du cristal est situé sur l'axe optique (\Delta) à une distance f_1 de la lentille (L_1). Ce point coïncide donc avec le foyer principal objet F_1 de (L_1). Le rayon 1 (trait plein, angle \theta_1) et le rayon 2 (pointillés, angle \theta_2) partent de ce point.
   • Traversée de (L_1) : Tout rayon issu du foyer objet F_1 émerge de (L_1) parallèlement à l'axe optique (\Delta). Entre (L_1) et (L_2), les deux rayons sont donc parallèles à (\Delta), situés respectivement aux ordonnées y_1 = f_1 \tan\theta_1 \approx f_1 \theta_1 et y_2 = f_1 \tan\theta_2 \approx f_1 \theta_2.
   • Traversée de (L_2) : Tout rayon incident parallèle à l'axe optique émerge d'une lentille convergente en passant par son foyer principal image F'_2. Par conséquent, les deux rayons convergent et se croisent exactement sur l'axe optique en F'_2.
   • Traversée de l'objectif : Après avoir franchi F'_2, les rayons divergent depuis l'axe optique et atteignent l'objectif sous des angles respectifs \alpha_1 et \alpha_2 par rapport à l'axe (\Delta). Comme l'écran de détection est situé dans le plan focal image de l'objectif (à la distance f_{\text{obj}}), tous les rayons ayant une même inclinaison \alpha convergent au foyer secondaire image correspondant, situé à la distance F'_{\text{obj}}C \approx f_{\text{obj}} |\alpha| sous l'axe optique. On construit ce point en traçant un rayon fictif parallèle passant par le centre optique de l'objectif.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10X-ENS Physique PSI 2021, Q37

    Considérons le rayon issu du cristal avec l'angle \theta_1 par rapport à l'axe optique (\Delta) :

    1. Traversée de la lentille (L_1) :
       Le point d'émergence sur le cristal est situé sur l'axe optique à la distance f_1 devant (L_1), c'est-à-dire au foyer objet F_1 de la lentille (L_1). Le rayon atteint (L_1) à une hauteur comptée par rapport à l'axe optique :

       h_1 = f_1 \tan\theta_1 \approx f_1 \theta_1

       Étant issu du foyer objet F_1, il émerge de la lentille (L_1) parallèlement à l'axe optique (\Delta), en conservant la hauteur h_1.

    2. Traversée de la lentille (L_2) :
       Le rayon frappe la lentille (L_2) à la même hauteur h_2 = h_1 \approx f_1 \theta_1. Comme il est parallèle à l'axe optique avant (L_2), il émerge en passant par le foyer image F'_2 de (L_2), situé à la distance focale f_2 derrière celle-ci. L'angle \alpha_1 que fait ce rayon avec l'axe optique après (L_2) vérifie :

       \tan\alpha_1 = \frac{h_2}{f_2} = \frac{f_1}{f_2} \tan\theta_1 \approx \frac{f_1}{f_2} \theta_1

    3. Traversée de l'objectif et formation du point C_1 :
       Le rayon pénètre dans l'objectif sous l'inclinaison \alpha_1 par rapport à l'axe optique. La surface sensible de la caméra est disposée dans le plan focal image de l'objectif.

       Or, dans les conditions de Gauss, tout rayon incliné d'un angle \alpha_1 par rapport à l'axe optique coupe le plan focal image en un point situé à la distance du foyer image F'_{\text{obj}} donnée par :

       F'_{\text{obj}}C_1 = f_{\text{obj}} \tan\alpha_1 \approx f_{\text{obj}} \alpha_1

       (ce résultat s'obtient directement en considérant le rayon parallèle fictif passant sans déviation par le centre optique de l'objectif).

    En remplaçant \alpha_1 par son expression en fonction de \theta_1, on obtient :

    \boxed{F'_{\text{obj}}C_1 = \frac{f_1 f_{\text{obj}}}{f_2} \theta_1}

    Résultat

    $$F_{\text{obj}}^{\prime }{C}_1=\frac{f_1{f}_{\text{obj}}}{f_2}{\theta }_1$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question