Feuille d'entraînement : Mécanique des fluides

4 questions · filière MPI · durée estimée environ 24 min

Seulement 4 questions corrigées pour ces critères à ce jour.

Énoncés

Exercice 1Mines-Ponts Physique 1 MPI 2024, Q16· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
On s'intéresse à l'équilibre de la colonne de fluide d'aire $S$ et comprise entre les altitudes $z_{1}$ et $z_{2}$ . Expliciter, éventuellement sous forme intégrale, les forces exercées sur cette colonne. En déduire l'équation différentielle reliant $P (z)$ , $ρ (z)$ et $G (z)$ .
Exercice 2X-ENS Physique MPI 2023, Q29· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
La modélisation de l'effet de serre passe par celle de l'atmosphère terrestre. Nous traitons celle-ci, de manière simplifiée, comme un gaz parfait de masse molaire $M = 30 g \cdot mol^{- 1}$ , dont la pression $P$ et la température $T$ ne dépendent que de l'altitude $z$ . Nous faisons en outre l'approximation que le gradient de température vertical est constant, $d T (z) / d z = - Γ$ , avec $Γ = 6 K \cdot km^{- 1}$ . Le poids de l'atmosphère fait augmenter sa pression lorsque l'altitude diminue, et nous admettons que le gradient de pression, qui s'obtient en effectuant un bilan de forces, est donné par $d P (z) / d z = - M g N (z)$ , où $N (z)$ est la concentration molaire à l'altitude $z$ , et $g = 10 m \cdot s^{- 2}$ est l'accélération de la pesanteur. En éliminant $z$ entre ces deux équations, montrer que la température est une fonction de la pression de la forme $T (z) / T (0) = (P (z) / P (0))^{β}$ , où $β$ est une constante dont on déterminera l'expression en fonction de $Γ$ , $M$ , $g$ , et de la constante des gaz parfaits $R = 8 J \cdot mol^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .
Exercice 3Mines-Ponts Physique 1 MPI 2024, Q18· Intermédiaire· ≈ 7 min
Expliciter le champ gravitationnel $G (r)$ ressenti au sein de l'étoile en équilibre à la distance $r$ du centre, en fonction de $G$ , $M$ , $R$ et $r$ . En déduire l'expression de la pression $P (r) = \frac{3 G M ^{2}}{8 π R ^{6}} (R^{2} - r^{2})$ .
Exercice 4X-ENS Physique MPI 2023, Q32· Intermédiaire· ≈ 6 min
Exprimer $μ (z)$ en fonction de $P (z)$ , $x$ , $M$ et $g$ . En déduire la pression $P (h)$ à l'altitude $h$ .

Corrigés

Exercice 1Mines-Ponts Physique 1 MPI 2024, Q16
Considérons la colonne de fluide immobile de section droite d'aire S, délimitée par les plans horizontaux de cotes z_1 et z_2 (avec z_1 < z_2).
Les forces extérieures appliquées à cette colonne sont :
- la force pressante exercée sur la face inférieure en z_1, dirigée vers le haut :
  \vec{F}_1 = P(z_1) \, S \, \hat{u}_z
- la force pressante exercée sur la face supérieure en z_2, dirigée vers le bas :
  \vec{F}_2 = - P(z_2) \, S \, \hat{u}_z
- les forces pressantes exercées par le fluide environnant sur la surface latérale : perpendiculaires à la paroi verticale en chaque point, leur résultante est purement horizontale et ne possède aucune composante selon \hat{u}_z :
  \vec{F}_{\text{lat}} \cdot \hat{u}_z = 0
- la force de gravitation volumique : pour une tranche élémentaire de fluide comprise entre z et z + \mathrm{d}z, de masse \mathrm{d}m = \rho(z) \, S \, \mathrm{d}z, le poids élémentaire s'écrit \mathrm{d}\vec{F}_g = \vec{G}(z) \, \mathrm{d}m = \rho(z) \, G(z) \, S \, \mathrm{d}z \, \hat{u}_z. La résultante sur la colonne vaut donc :
  \vec{F}_g = \left( \int_{z_1}^{z_2} \rho(z) \, G(z) \, S \, \mathrm{d}z \right) \hat{u}_z
À l'équilibre mécanique de la colonne dans le référentiel d'étude, la résultante des forces est nulle :
\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_{\text{lat}} + \vec{F}_g = \vec{0}
En projetant sur le vecteur unitaire \hat{u}_z, il vient :
P(z_1) \, S - P(z_2) \, S + S \int_{z_1}^{z_2} \rho(z) \, G(z) \, \mathrm{d}z = 0
Soit, en simplifiant par S \neq 0 :
P(z_2) - P(z_1) = \int_{z_1}^{z_2} \rho(z) \, G(z) \, \mathrm{d}z
Cette relation étant valable pour tout couple d'altitudes (z_1, z_2), on dérive par rapport à z_2 (ou on pose z_1 = z et z_2 = z + \mathrm{d}z), ce qui donne l'équation différentielle fondamentale de la statique des fluides :
\boxed{\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = \rho(z) \, G(z)}
Résultat
$\frac{d P}{d z} = ρ (z) G (z)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2X-ENS Physique MPI 2023, Q29
L'atmosphère étant modélisée comme un gaz parfait, l'équation d'état reliant la pression P, le volume V, la quantité de matière n et la température T s'écrit :
P(z) = \frac{n}{V} R T(z) = N(z) R T(z) \implies N(z) = \frac{P(z)}{R T(z)}
En injectant cette relation dans l'équation de la statique des fluides fournie par l'énoncé, on obtient :
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = -\frac{M g}{R T(z)} P(z)
L'énoncé précise par ailleurs que le gradient vertical de température est constant :
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\Gamma
En éliminant l'altitude z par division membre à membre des deux gradients :
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}}{\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}} = \frac{-\dfrac{M g}{R T} P}{-\Gamma} = \frac{M g}{R \Gamma} \frac{P}{T}
En séparant les variables :
\frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{R \Gamma}{M g} \frac{\mathrm{d}P}{P}
On intègre cette relation entre le niveau du sol (z = 0, où P=P(0) et T=T(0)) et l'altitude z :
\int_{T(0)}^{T(z)} \frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{R \Gamma}{M g} \int_{P(0)}^{P(z)} \frac{\mathrm{d}P}{P}
ce qui donne immédiatement :
\ln\left(\frac{T(z)}{T(0)}\right) = \frac{R \Gamma}{M g} \ln\left(\frac{P(z)}{P(0)}\right) = \ln\left[\left(\frac{P(z)}{P(0)}\right)^{\frac{R \Gamma}{M g}}\right]
En prenant l'exponentielle, on retrouve la loi polytropique recherchée :
\boxed{\frac{T(z)}{T(0)} = \left(\frac{P(z)}{P(0)}\right)^\beta \quad \text{avec} \quad \beta = \frac{R \Gamma}{M g}}
Résultat
$\frac{T ( z )}{T ( 0 )} = (\frac{P ( z )}{P ( 0 )})^{β} avec β = \frac{R Γ}{M g}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3Mines-Ponts Physique 1 MPI 2024, Q18
La distribution de masse possède une symétrie sphérique centrée en O. Le champ gravitationnel est donc purement radial et ne dépend que de la distance r au centre :
\vec{G}(\vec{r}) = G_r(r)\,\hat{u}_r
D'après le théorème de Gauss appliqué au champ gravitationnel à travers une sphère de centre O et de rayon r \leqslant R :
\iint_{S(r)} \vec{G} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = -4\pi\mathcal{G}\,m_{\text{int}}(r)
Par invariance et symétrie, le flux s'écrit \iint_{S(r)} \vec{G} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 4\pi r^2 G_r(r). La masse intérieure m_{\text{int}}(r) = m(r) vaut, d'après la question Q14, m(r) = M\frac{r^3}{R^3}. On en déduit :
4\pi r^2 G_r(r) = -4\pi\mathcal{G} M \frac{r^3}{R^3}
soit :
\boxed{\vec{G}(\vec{r}) = -\frac{\mathcal{G}M}{R^3} r\,\hat{u}_r}
D'après le préambule de la question, l'équation différentielle d'équilibre s'obtient en transposant celle de la question Q16 en coordonnées sphériques par la substitution z \to r, avec \rho(r) = \rho = \text{cste} :
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r} = \rho\,G_r(r)
En remplaçant \rho = \frac{3M}{4\pi R^3} (question Q14) et G_r(r) = -\frac{\mathcal{G}Mr}{R^3} :
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r} = -\left(\frac{3M}{4\pi R^3}\right)\left(\frac{\mathcal{G}Mr}{R^3}\right) = -\frac{3\mathcal{G}M^2}{4\pi R^6}\,r
À la surface de l'étoile (r = R), le fluide est au contact du vide, ce qui impose la condition aux limites P(R) = 0. On intègre alors entre r et R :
\begin{aligned} \int_{P(r)}^{0} \mathrm{d}P &= -\frac{3\mathcal{G}M^2}{4\pi R^6} \int_r^R r'\,\mathrm{d}r' \\ 0 - P(r) &= -\frac{3\mathcal{G}M^2}{4\pi R^6} \left[\frac{{r'}^2}{2}\right]_r^R = -\frac{3\mathcal{G}M^2}{8\pi R^6}(R^2 - r^2) \end{aligned}
On retrouve bien :
\boxed{P(r) = \frac{3\mathcal{G}M^2}{8\pi R^6}(R^2 - r^2)}
Résultat
$G (r) = - \frac{G M}{R ^{3}} r \overset{u}{^}_{r}$ $P (r) = \frac{3 G M ^{2}}{8 π R ^{6}} (R^{2} - r^{2})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4X-ENS Physique MPI 2023, Q32
La fraction molaire x de \mathrm{CO}_2 étant uniforme dans l'atmosphère, la concentration molaire en dioxyde de carbone à l'altitude z' s'écrit :
N_{\mathrm{CO}_2}(z') = x N(z')
Par définition, \mu(z) représente le nombre total de moles de \mathrm{CO}_2 contenues dans une colonne atmosphérique de section unité s'étendant de l'altitude z à l'infini :
\mu(z) = \int_z^{+\infty} N_{\mathrm{CO}_2}(z')\,\mathrm{d}z' = x \int_z^{+\infty} N(z')\,\mathrm{d}z'
D'après la relation de la statique des fluides rappelée à la question Q29, on a :
\frac{\mathrm{d}P(z')}{\mathrm{d}z'} = -M g N(z') \iff N(z')\,\mathrm{d}z' = -\frac{1}{M g}\,\mathrm{d}P(z')
En intégrant entre z et +\infty, et en notant que la pression s'annule aux confins de l'atmosphère (P(+\infty) = 0), il vient :
\mu(z) = -\frac{x}{M g} \int_{P(z)}^{0} \mathrm{d}P = \frac{x}{M g} P(z)
\boxed{\mu(z) = \frac{x\,P(z)}{M g}}
L'altitude effective d'émission h est définie par la condition critique \mu(h) = \mu_c. On en déduit immédiatement la pression atmosphérique P(h) à cette altitude :
\frac{x\,P(h)}{M g} = \mu_c \iff \boxed{P(h) = \frac{\mu_c M g}{x}}
Résultat
$μ (z) = \frac{x P ( z )}{M g}$ $P (h) = \frac{μ _{c} M g}{x}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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