Feuille d'entraînement : Cinématique des fluides

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 1 MP 2022, Q22

   D'après le résultat de la question Q20, la loi de refroidissement de l'émetteur pour t > \tau s'écrit :

   T_{\mathrm{e}}(t) - T_{\mathrm{f}} = \Delta T_{\mathrm{e},\max} \, \exp\left(-\frac{t - \tau}{\tau_2}\right)

   En passant au logarithme népérien, on obtient une relation affine du temps :

   \ln\left(\frac{T_{\mathrm{e}}(t) - T_{\mathrm{f}}}{\Delta T_{\mathrm{e},\max}}\right) = -\frac{t - \tau}{\tau_2} = -\frac{1}{\tau_2}\,t + \frac{\tau}{\tau_2}

   Le tracé semi-logarithmique de droite de la figure 4 représente cette quantité en fonction du temps t :

   • Les courbes expérimentales sont des droites dont la pente p vaut p = -\frac{1}{\tau_2}. La détermination expérimentale de cette pente permet donc de mesurer la constante de temps de relaxation \tau_2.

   • D'après la question Q20, cette constante de temps est inversement proportionnelle au nombre de Nusselt :

     \tau_2 = \frac{\mu_{\mathrm{w}} c_{\mathrm{w}} d_{\mathrm{w}}^2}{4 \lambda_{\mathrm{f}} \mathcal{N}_u} = \frac{\mu_{\mathrm{w}} c_{\mathrm{w}} d_{\mathrm{w}}}{4h}

     La mesure de \tau_2 donne donc directement accès au nombre de Nusselt \mathcal{N}_u (ou au coefficient d'échange conducto-convectif h).

   • Enfin, d'après la loi de King \mathcal{N}_u = A + B\sqrt{\mathcal{R}_e} (avec \mathcal{R}_e = \frac{\mu_{\mathrm{f}} V d_{\mathrm{w}}}{\eta}), la vitesse V est une fonction univoque de \mathcal{N}_u.

   Ainsi, la mesure de la pente de relaxation semi-logarithmique permet de déterminer \tau_2, d'en déduire \mathcal{N}_u, puis, par inversion de la loi de King (après étalonnage préalable des constantes A et B), d'obtenir la vitesse V du fluide.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 1 MP 2022, Q24

   L'analyse des enregistrements temporels du fil récepteur (figure 5, droite) met en évidence que l'instant t_{\max} auquel la température T_{\mathrm{r}}(t) atteint son maximum (sommet du pic de température) dépend fortement de la vitesse d'écoulement V : plus la vitesse V est grande, plus le pic apparaît tôt.

   • Principe de la mesure : le paquet d'air chauffé au niveau du fil émetteur à l'instant initial est transporté par advection (convection) par l'écoulement jusqu'au récepteur situé à la distance \epsilon en aval.

   • Détermination de la vitesse : la durée de transit \Delta t \simeq t_{\max} (l'impulsion de chauffe de durée \tau \sim \mu\text{s} étant négligeable devant les millisecondes du transit) est inversement proportionnelle à la vitesse d'écoulement :

     \Delta t \sim \frac{\epsilon}{V} \iff V \sim \frac{\epsilon}{\Delta t}

   En mesurant le retard temporel \Delta t entre l'impulsion de chauffe et le maximum de température au récepteur, et après un étalonnage préalable (tenant compte de la diffusion thermique et du temps de réponse propre du fil récepteur), on accède de manière directe et précise à la norme V de la vitesse du fluide.

   Indice, stratégie et pièges de cette question