Feuille d'entraînement : Conversion électromécanique

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique-SI MP 2021, Q29

   Lorsque la force extérieure est nulle (\underline{\tilde{F}}_{\mathrm{o}} = 0), la relation dynamique issue de la question Q26 donne :

   Z_{\text{méca}}(j\omega)\,(j\omega\underline{\tilde{\Delta}}) + \gamma\,\underline{\tilde{\psi}} = 0 \iff j\omega\underline{\tilde{\Delta}} = -\frac{\gamma}{Z_{\text{méca}}(j\omega)}\,\underline{\tilde{\psi}}

   D'après la question Q27, le courant complexe \underline{\tilde{\imath}} fourni par le générateur s'écrit comme la somme du courant traversant le condensateur C_{\mathrm{e}} et du courant \underline{\tilde{J}} entrant dans le transformateur électromécanique (\mathrm{T}) :

   \underline{\tilde{\imath}} = jC_{\mathrm{e}}\omega\,\underline{\tilde{\psi}} + \underline{\tilde{J}} \quad \text{avec} \quad \underline{\tilde{J}} = -\gamma\,(j\omega\underline{\tilde{\Delta}})

   En substituant l'expression de la vitesse complexe j\omega\underline{\tilde{\Delta}}, on obtient pour le courant motionnel :

   \underline{\tilde{J}} = \frac{\gamma^2}{Z_{\text{méca}}(j\omega)}\,\underline{\tilde{\psi}}

   L'admittance de cette branche ramenée au primaire s'écrit donc :

   Y_{\mathrm{m}}(j\omega) = \frac{\underline{\tilde{J}}}{\underline{\tilde{\psi}}} = \frac{1}{Z_{\mathrm{m}}(j\omega)} \quad \text{où} \quad Z_{\mathrm{m}}(j\omega) = \frac{Z_{\text{méca}}(j\omega)}{\gamma^2}

   En remplaçant l'impédance mécanique par son expression Z_{\text{méca}}(j\omega) = j\omega M + \dfrac{K^{\star\star}}{j\omega} (équation 13) :

   Z_{\mathrm{m}}(j\omega) = j\omega \frac{M}{\gamma^2} + \frac{1}{j\omega \left(\dfrac{\gamma^2}{K^{\star\star}}\right)}

   Cette impédance Z_{\mathrm{m}} s'interprète comme l'association en série :

   • d'une inductance équivalente (dite « motionnelle ») :

     L_{\mathrm{m}} = \frac{M}{\gamma^2}

   • d'une capacité équivalente :

     C_{\mathrm{m}} = \frac{\gamma^2}{K^{\star\star}}

   L'admittance totale Y_Q = 1/Z_Q perçue par le générateur s'exprime donc sous la forme :

   Y_Q = jC_{\mathrm{e}}\omega + \frac{1}{jL_{\mathrm{m}}\omega + \dfrac{1}{jC_{\mathrm{m}}\omega}}

   \boxed{ Z_Q \text{ est constituée du condensateur } C_{\mathrm{e}} \text{ en parallèle avec la branche série } L_{\mathrm{m}}\text{--}C_{\mathrm{m}} \quad \left(L_{\mathrm{m}} = \frac{M}{\gamma^2}, \; C_{\mathrm{m}} = \frac{\gamma^2}{K^{\star\star}}\right) }

   Résultat

   $$Z_Q\text{ est constitueˊe du condensateur }{C}_{\mathrm{e}}\text{ en paralleˋle avec la branche seˊrie }{L}_{\mathrm{m}}\text{–}{C}_{\mathrm{m}}\left(L_{\mathrm{m}}=\frac{M}{{\gamma }^2},C_{\mathrm{m}}=\frac{{\gamma }^2}{K^{\star \star }}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique-SI MP 2021, Q26

   Considérons le système constitué de la masse mobile totale M = m^\star + M_{\mathrm{o}}, repérée par son élongation \Delta(t) = u(L, t), dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

   Ce système est soumis à deux forces portées par l'axe (Ox) :

   • la force extérieure \vec{F}_{\mathrm{o}} = F_{\mathrm{o}}(t)\,\vec{e}_x ;
   • l'action mécanique exercée par le reste de l'élément piézo-électrique. D'après l'énoncé, la force exercée par l'extérieur sur le milieu piézo-électrique en x = L est \vec{F}_L = F_L\,\vec{e}_x. Par le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force exercée par le milieu piézo-électrique sur la masse M est -\vec{F}_L = -F_L\,\vec{e}_x.

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse M en projection sur l'axe (Ox) s'écrit :

   M \frac{\mathrm{d}^2\Delta}{\mathrm{d}t^2} = F_{\mathrm{o}} - F_L \tag{1}

   D'après le système d'équations électromécaniques (11) :

   \begin{aligned} \psi &= \frac{Q}{C_{\mathrm{e}}} + \frac{B}{\varepsilon}\Delta \implies Q = C_{\mathrm{e}}\psi - \frac{B C_{\mathrm{e}}}{\varepsilon}\Delta \\ F_L &= K^\star \Delta + \frac{B}{\varepsilon}Q \end{aligned}

   En injectant l'expression de Q dans celle de F_L, il vient :

   F_L = K^\star \Delta + \frac{B}{\varepsilon}\left(C_{\mathrm{e}}\psi - \frac{B C_{\mathrm{e}}}{\varepsilon}\Delta\right) = \left(K^\star - \frac{B^2 C_{\mathrm{e}}}{\varepsilon^2}\right)\Delta + \frac{B C_{\mathrm{e}}}{\varepsilon}\psi

   En introduisant les notations données par l'énoncé :

   \gamma = \frac{C_{\mathrm{e}}}{\varepsilon}B, \qquad K_{\mathrm{e}} = \frac{\gamma B}{\varepsilon} = \frac{B^2 C_{\mathrm{e}}}{\varepsilon^2}, \qquad K^{\star\star} = K^\star - K_{\mathrm{e}}

   la force F_L s'exprime simplement sous la forme :

   F_L = K^{\star\star}\Delta + \gamma\psi

   L'équation du mouvement (1) devient alors :

   M \frac{\mathrm{d}^2\Delta}{\mathrm{d}t^2} + K^{\star\star}\Delta + \gamma\psi = F_{\mathrm{o}}

   En régime sinusoïdal de pulsation \omega, en adoptant la notation complexe \underline{s}(t) = \underline{\tilde{s}}\exp(j\omega t), les dérivées temporelles se traduisent par une multiplication par j\omega :

   \frac{\mathrm{d}^2\Delta}{\mathrm{d}t^2} \longrightarrow (j\omega)^2\underline{\tilde{\Delta}} = j\omega(j\omega\underline{\tilde{\Delta}}) \quad \text{et} \quad \underline{\tilde{\Delta}} = \frac{1}{j\omega}(j\omega\underline{\tilde{\Delta}})

   Le regroupement des termes inertiel et élastique fait apparaître l'impédance mécanique Z_{\text{méca}}(j\omega) :

   \begin{aligned} M(j\omega)^2\underline{\tilde{\Delta}} + K^{\star\star}\underline{\tilde{\Delta}} &= \left(j\omega M + \frac{K^{\star\star}}{j\omega}\right)(j\omega\underline{\tilde{\Delta}}) \\ &= Z_{\text{méca}}(j\omega)(j\omega\underline{\tilde{\Delta}}) \end{aligned}

   On en déduit la relation liant les amplitudes complexes :

   \boxed{\underline{\tilde{F}}_{\mathrm{o}} = Z_{\text{méca}}(j\omega)\,(j\omega\underline{\tilde{\Delta}}) + \gamma\,\underline{\tilde{\psi}}}

   Résultat

   $${\underline{\tilde{F}}}_{\mathrm{o}}=Z_{\text{meˊca}}(j\omega )(j\omega \underline{\tilde{\Delta }})+\gamma \underline{\tilde{\psi }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique-SI MP 2021, Q27

   D'après le système d'équations (11) donné par l'énoncé, la différence de potentiel \psi(t) s'exprime en fonction de la charge Q(t) et du déplacement \Delta(t) par :

   \psi(t) = \frac{Q(t)}{C_{\mathrm{e}}} + \frac{B}{\varepsilon}\Delta(t)

   En exprimant la charge Q(t) portée par l'électrode droite, on obtient :

   Q(t) = C_{\mathrm{e}}\psi(t) - \frac{C_{\mathrm{e}}B}{\varepsilon}\Delta(t)

   En introduisant le paramètre de couplage électromécanique \gamma = \dfrac{C_{\mathrm{e}}}{\varepsilon}B, cette relation devient :

   Q(t) = C_{\mathrm{e}}\psi(t) - \gamma\Delta(t)

   Le courant débité par le générateur alimentant l'électrode est relié à la charge par i(t) = \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}. En dérivant par rapport au temps :

   i(t) = C_{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t} - \gamma\frac{\mathrm{d}\Delta}{\mathrm{d}t}

   En régime sinusoïdal de pulsation \omega, en utilisant la notation complexe s(t) = \underline{\tilde{s}}\exp(j\omega t), l'opérateur de dérivation temporelle \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} se traduit par une multiplication par j\omega. Il vient ainsi immédiatement :

   \boxed{\underline{\tilde{\imath}} = C_{\mathrm{e}}(j\omega\underline{\tilde{\psi}}) - \gamma(j\omega\underline{\tilde{\Delta}})}

   Résultat

   $$\underline{\tilde{ı}}=C_{\mathrm{e}}(j\omega \underline{\tilde{\psi }})-\gamma (j\omega \underline{\tilde{\Delta }})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique-SI MP 2021, Q28

   1. Expressions de J, F_{\mathrm{e}} et du rapport de transformation

   D'après le schéma de la figure (7), la loi des nœuds appliquée à l'électrode supérieure s'écrit en grandeurs instantanées :

   i(t) = C_{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t} + J(t)

   Or, d'après la relation établie à la question précédente (en représentation temporelle ou complexe) :

   i(t) = C_{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t} - \gamma \dot{\Delta}(t)

   Par identification directe, il vient :

   \boxed{ J(t) = -\gamma \dot{\Delta}(t) }

   soit en amplitudes complexes : \underline{\tilde{J}} = -\gamma (j\omega \underline{\tilde{\Delta}}).

   Considérons à présent la maille mécanique de droite. La vitesse \dot{\Delta} circule dans le sens trigonométrique le long de cette maille. En appliquant la loi des mailles (analogue à la loi d'Ohm généralisée pour une force) :

   F_{\mathrm{o}}(t) = F_{\mathrm{e}}(t) + Z_{\text{méca}} \dot{\Delta}(t)

   Or, d'après la question 26, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

   \underline{\tilde{F}}_{\mathrm{o}} = \gamma \underline{\tilde{\psi}} + Z_{\text{méca}}(j\omega)\,(j\omega\underline{\tilde{\Delta}})

   Par identification, on en déduit l'expression de la force électromécanique :

   \boxed{ F_{\mathrm{e}}(t) = \gamma \psi(t) }

   soit en amplitudes complexes : \underline{\tilde{F}}_{\mathrm{e}} = \gamma \underline{\tilde{\psi}}.

   Le rapport de transformation s'en déduit immédiatement :

   \boxed{ \frac{F_{\mathrm{e}}}{\psi} = \gamma }

   2. Contenu du dipôle (B)

   L'impédance mécanique définie par l'équation (13) s'écrit :

   Z_{\text{méca}}(j\omega) = j\omega M + \frac{K^{\star\star}}{j\omega} = j\omega M + \frac{1}{j\omega \left(\frac{1}{K^{\star\star}}\right)}

   Dans l'analogie électromécanique directe (force \leftrightarrow tension, vitesse \leftrightarrow courant) :

   • le terme d'inertie j\omega M correspond à une inductance L_{\mathrm{m}} = M ;
   • le terme d'élasticité \dfrac{K^{\star\star}}{j\omega} correspond à un condensateur de capacité C_{\mathrm{m}} = \dfrac{1}{K^{\star\star}}.

   Le dipôle (B) est donc constitué de l'association en série d'une bobine d'inductance M et d'un condensateur de capacité 1/K^{\star\star}.

   3. Caractère « parfait » du transformateur (T)

   Le transformateur (T) est dit « parfait » car :

   • il est non dissipatif (sans pertes) : la puissance totale instantanée absorbée par le quadripôle est rigoureusement nulle à tout instant :

     \mathcal{P}(t) = \psi(t) J(t) + F_{\mathrm{e}}(t) \dot{\Delta}(t) = \psi(t) \big(-\gamma \dot{\Delta}(t)\big) + \big(\gamma \psi(t)\big) \dot{\Delta}(t) = 0
   • les lois de transfert entre grandeurs d'entrée et de sortie sont purement algébriques et instantanées, sans stockage d'énergie interne (pas d'inductance de fuite ni de magnétisation).

   Résultat

   $$J(t)=-\gamma \dot{\Delta }(t)$$

   $$F_{\mathrm{e}}(t)=\gamma \psi (t)$$

   $$\frac{F_{\mathrm{e}}}{\psi }=\gamma$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question