Feuille d'entraînement : Électronique numérique

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2025, Q38

   Après traitement par corrélation (filtrage adapté), l'écho présente un pic central dont la largeur temporelle vaut désormais :

   \tau_{\mathrm{c}} = \frac{1}{\Delta f}

   au lieu de la durée caractéristique initiale \tau. La résolution spatiale étant directement proportionnelle à la largeur temporelle du signal traité (d'après la question 35), la nouvelle résolution (\Delta Y)_{\min,\mathrm{c}} s'obtient simplement en substituant \tau par \tau_{\mathrm{c}} = \frac{1}{\Delta f} :

   (\Delta Y)_{\min,\mathrm{c}} = \frac{(\Delta Y)_{\min}}{\tau \Delta f}

   \boxed{(\Delta Y)_{\min,\mathrm{c}} = \frac{c}{\Delta f \sin\theta}}

   (ou \frac{c}{2\Delta f \sin\theta} si l'on a retenu le demi-écartement à la question 35).

   Application numérique : Le produit bande-durée (facteur de compression d'impulsion) vaut :

   \tau \Delta f = (40 \times 10^{-6}\text{ s}) \times (15 \times 10^6\text{ Hz}) = 600

   Avec \Delta f = 15\text{ MHz}, c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \theta = 30^{\circ} (\sin 30^{\circ} = 0{,}5) :

   (\Delta Y)_{\min,\mathrm{c}} = \frac{3{,}0 \times 10^8}{15 \times 10^6 \times 0{,}5} = 40\text{ m}

   (ou 20\text{ m} selon la convention de la question 35).

   \boxed{(\Delta Y)_{\min,\mathrm{c}} = 40\text{ m} \quad (\text{ou } 20\text{ m})}

   Commentaire : La résolution est améliorée d'un facteur 600. Alors qu'une résolution kilométrique (24\text{ km} ou 12\text{ km}) ne permettait pas de distinguer un édifice volcanique (une caldeira mesurant typiquement quelques kilomètres, comme l'échelle de 2\text{ km} indiquée sur la figure 13), une résolution de quelques dizaines de mètres (20 à 40\text{ m}) est parfaitement adaptée à la cartographie fine du relief et au suivi des déformations locales.

   Résultat

   $$(\Delta Y{)}_{\min ,\mathrm{c}}=\frac{c}{\Delta f\sin \theta }$$

   $$(\Delta Y{)}_{\min ,\mathrm{c}}=40\text{ m}(\text{ou }20\text{ m})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question