Feuille d'entraînement : Instruments d'optique

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2023, Q4

   L'utilisation d'une lentille convergente comme loupe correspond à la configuration b) de la figure 2.

   En effet, dans cette configuration :

   • l'objet AB est situé entre le foyer objet F et le centre optique O (soit -f' < \overline{OA} < 0) ;
   • d'après les questions précédentes, l'image A'B' obtenue est virtuelle (question 1), droite car g_t > 0, et agrandie car g_t > 1 (question 3).

   Cette configuration est celle requise dans les exemples mentionnés :

   • Aide à la lecture pour personnes presbytes : le texte observé doit impérativement rester dans le même sens de lecture (image droite) et présenter une taille apparente accrue (image agrandie). Une image renversée (comme dans le tracé a) rendrait la lecture extrêmement difficile. De plus, l'œil de l'observateur regarde directement à travers la lentille et observe l'image virtuelle en amont du verre, à une distance confortable (supérieure ou égale au punctum proximum).
   • Électronique et horlogerie de précision : lors de la manipulation de composants CMS ou de micro-engrenages, l'opérateur guide ses mains et ses outils en observant la scène à travers la loupe. Si l'image était renversée, les mouvements de la main sembleraient inversés, rendant tout travail de minutie impossible.

   \boxed{\text{La configuration de la figure 2 b) correspond à l'utilisation en loupe.}}

   Résultat

   $$\text{La configuration de la figure 2 b) correspond aˋ l’utilisation en loupe.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2023, Q5

   Considérons le rayon lumineux issu du point objet B et se propageant parallèlement à l'axe optique :

   • il rencontre le plan de la lentille mince en un point I situé à l'ordonnée \overline{OI} = \overline{AB} ;
   • après réfraction, ce rayon émerge en passant par le foyer principal image F'.

   L'image B' étant le point de concours (ici virtuel) de tous les rayons issus de B, le prolongement vers l'amont du rayon émergent (IF') passe nécessairement par B'.

   L'œil de l'observateur étant positionné exactement en F', le rayon entrant dans la pupille est porté par la droite (IF'). L'angle \alpha' sous lequel l'observateur voit l'image A'B' est donc l'angle que fait la droite (F'I) avec l'axe optique.

   Dans le triangle rectangle OIF', sous les conditions de Gauss (angles petits, \tan\alpha' \approx \alpha'), et en respectant la convention de signe de la figure 4 :

   \alpha' \approx \tan\alpha' = \frac{\overline{OI}}{\overline{OF'}} = \frac{\overline{AB}}{f'}

   Par définition, la puissance optique \mathcal{P} de l'instrument s'écrit :

   \mathcal{P} = \frac{\alpha'}{\overline{AB}}

   En remplaçant \alpha' par son expression, on obtient :

   \boxed{\mathcal{P} = \frac{1}{f'}}

   La puissance optique \mathcal{P} ne dépend ainsi que de la distance focale image f' de la lentille (elle est en particulier indépendante de la position de l'objet \overline{OA}).

   Pour augmenter le pouvoir grossissant, c'est-à-dire augmenter la puissance optique \mathcal{P}, il faut diminuer la distance focale image f' de la lentille (ce qui équivaut à augmenter sa vergence V = \frac{1}{f'}).

   Résultat

   $$\mathcal{P}=\frac{1}{f^{\prime }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique BCPST 2023, Q6

   Appliquons la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique à l'objectif de distance focale image f'_{\mathrm{obj}} = -\overline{O_{\mathrm{obj}} F_{\mathrm{obj}}} = 4\text{ mm} :

   \begin{aligned} \frac{1}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}} - \frac{1}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A}} &= \frac{1}{f'_{\mathrm{obj}}} \end{aligned}

   On en déduit l'expression littérale de la position de l'objet :

   \begin{aligned} \frac{1}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A}} &= \frac{1}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}} - \frac{1}{f'_{\mathrm{obj}}} = \frac{f'_{\mathrm{obj}} - \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} \, f'_{\mathrm{obj}}} \end{aligned}

   soit :

   \overline{O_{\mathrm{obj}} A} = \frac{\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} \, f'_{\mathrm{obj}}}{f'_{\mathrm{obj}} - \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}}

   Avec \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} = 160\text{ mm} et f'_{\mathrm{obj}} = 4\text{ mm}, il vient :

   \begin{aligned} \frac{1}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A}} &= \frac{1}{160} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 40}{160} = -\frac{39}{160}\text{ mm}^{-1} \end{aligned}

   d'où :

   \overline{O_{\mathrm{obj}} A} = -\frac{160}{39}\text{ mm} \approx -4{,}1\text{ mm}

   Calculons maintenant le rapport demandé :

   \begin{aligned} \frac{\overline{O_{\mathrm{obj}} A}}{f'_{\mathrm{obj}}} &= -\frac{160}{39 \times 4} = -\frac{40}{39} \approx -1{,}0 \end{aligned}

   \boxed{\overline{O_{\mathrm{obj}} A} \approx -4{,}1\text{ mm}} \quad \text{et} \quad \boxed{\frac{\overline{O_{\mathrm{obj}} A}}{f'_{\mathrm{obj}}} = -\frac{40}{39} \approx -1{,}0}

   Analyse du résultat : Le rapport étant très proche de -1 par valeurs inférieures (\overline{O_{\mathrm{obj}} A} / f'_{\mathrm{obj}} = -40/39 \approx -1{,}03), on constate que l'objet AB est situé immédiatement en amont du foyer principal objet de l'objectif :

   \overline{F_{\mathrm{obj}} A} = \overline{O_{\mathrm{obj}} A} - \overline{O_{\mathrm{obj}} F_{\mathrm{obj}}} = -\frac{160}{39}\text{ mm} - (-4\text{ mm}) = -\frac{4}{39}\text{ mm} \approx -100\ \mu\text{m}

   Cette proximité (A légèrement à gauche de F_{\mathrm{obj}}) est la condition indispensable pour que l'objectif forme une image intermédiaire A'_1 B'_1 réelle, très agrandie (de grandissement transversal g_{t,\mathrm{obj}} = \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}/\overline{O_{\mathrm{obj}} A} = -39), située à grande distance de l'objectif (\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} = 160\text{ mm} \gg f'_{\mathrm{obj}}).

   Résultat

   $$\overline{O_{\mathrm{obj}}A}\approx -4,1\text{ mm}$$

   $$\frac{\overline{O_{\mathrm{obj}}A}}{f_{\mathrm{obj}}^{\prime }}=-\frac{40}{39}\approx -1,0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique BCPST 2023, Q7

   Par la relation de Chasles, la distance entre les centres optiques de l'objectif et de l'oculaire s'écrit :

   \overline{O_{\mathrm{obj}} O_{\mathrm{oc}}} = \overline{O_{\mathrm{obj}} F'_{\mathrm{obj}}} + \overline{F'_{\mathrm{obj}} F_{\mathrm{oc}}} + \overline{F_{\mathrm{oc}} O_{\mathrm{oc}}}

   Or, d'après les données de l'énoncé :

   • \overline{O_{\mathrm{obj}} F'_{\mathrm{obj}}} = f'_{\mathrm{obj}} = -f_{\mathrm{obj}} = 4\text{ mm} ;
   • \overline{F'_{\mathrm{obj}} F_{\mathrm{oc}}} = D = 154\text{ mm} ;
   • \overline{F_{\mathrm{oc}} O_{\mathrm{oc}}} = -\overline{O_{\mathrm{oc}} F_{\mathrm{oc}}} = -f_{\mathrm{oc}} = 20\text{ mm}.

   Il vient :

   \overline{O_{\mathrm{obj}} O_{\mathrm{oc}}} = 4 + 154 + 20 = 178\text{ mm}

   La position algébrique de l'image intermédiaire A'_1 par rapport au centre O_{\mathrm{oc}} de l'oculaire est alors :

   \begin{aligned} \overline{O_{\mathrm{oc}} A'_1} &= \overline{O_{\mathrm{oc}} O_{\mathrm{obj}}} + \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} \\ &= -\overline{O_{\mathrm{obj}} O_{\mathrm{oc}}} + \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} \\ &= -178\text{ mm} + 160\text{ mm} \end{aligned}

   \boxed{\overline{O_{\mathrm{oc}} A'_1} = -18\text{ mm}}

   On en déduit la position de A'_1 par rapport au foyer objet de l'oculaire :

   \begin{aligned} \overline{F_{\mathrm{oc}} A'_1} &= \overline{F_{\mathrm{oc}} O_{\mathrm{oc}}} + \overline{O_{\mathrm{oc}} A'_1} \\ &= 20\text{ mm} + (-18\text{ mm}) \end{aligned}

   \boxed{\overline{F_{\mathrm{oc}} A'_1} = +2\text{ mm}}

   Résultat

   $$\overline{O_{\mathrm{oc}}{A}_1^{\prime }}=-18\text{ mm}$$

   $$\overline{F_{\mathrm{oc}}{A}_1^{\prime }}=+2\text{ mm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique BCPST 2023, Q8

   L'oculaire, de centre O_{\mathrm{oc}} et de distance focale image f'_{\mathrm{oc}} = 20\text{ mm}, forme de l'image intermédiaire A'_1 B'_1 l'image finale A' B'.

   D'après la relation de conjugaison de Newton appliquée à l'oculaire :

   \overline{F_{\mathrm{oc}} A'_1} \cdot \overline{F'_{\mathrm{oc}} A'} = - {f'_{\mathrm{oc}}}^2

   En utilisant la valeur \overline{F_{\mathrm{oc}} A'_1} = +2\text{ mm} établie à la question Q7 :

   \overline{F'_{\mathrm{oc}} A'} = -\frac{{f'_{\mathrm{oc}}}^2}{\overline{F_{\mathrm{oc}} A'_1}} = -\frac{(20\text{ mm})^2}{2\text{ mm}} = -200\text{ mm}

   La position de l'image A' par rapport au centre optique O_{\mathrm{oc}} de l'oculaire vaut :

   \begin{aligned} \overline{O_{\mathrm{oc}} A'} &= \overline{O_{\mathrm{oc}} F'_{\mathrm{oc}}} + \overline{F'_{\mathrm{oc}} A'} \\ &= f'_{\mathrm{oc}} + \overline{F'_{\mathrm{oc}} A'} \\ &= 20 - 200 = -180\text{ mm} \end{aligned}

   On en déduit la position de A' par rapport au centre de l'objectif O_{\mathrm{obj}} à l'aide de la distance inter-lentilles \overline{O_{\mathrm{obj}} O_{\mathrm{oc}}} = 178\text{ mm} (établie à la question Q7) :

   \begin{aligned} \overline{O_{\mathrm{obj}} A'} &= \overline{O_{\mathrm{obj}} O_{\mathrm{oc}}} + \overline{O_{\mathrm{oc}} A'} \\ &= 178 - 180 = -2\text{ mm} \end{aligned}

   \boxed{\overline{O_{\mathrm{obj}} A'} = -2\text{ mm}}

   Nature de l'image finale : Le point image A' est situé en amont de l'oculaire (\overline{O_{\mathrm{oc}} A'} = -180\text{ mm} < 0). Les rayons lumineux issus de l'instrument divergent à la sortie de l'oculaire : ils ne se coupent pas réellement dans l'espace image, mais leurs prolongements vers l'arrière se rencontrent au point A' (comme illustré sur la figure 5 du sujet).

   \boxed{\text{L'image finale } A'B' \text{ est virtuelle.}}

   Résultat

   $$\overline{O_{\mathrm{obj}}{A}^{\prime }}=-2\text{ mm}$$

   $$\text{L’image finale }{A}^{\prime }{B}^{\prime }\text{ est virtuelle.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique BCPST 2023, Q9

   Le grandissement transversal total du microscope est le produit des grandissements transversaux de l'objectif et de l'oculaire :

   g_{t,m} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{A'_1B'_1}}{\overline{AB}} \times \frac{\overline{A'B'}}{\overline{A'_1B'_1}} = g_{t,\mathrm{obj}} \times g_{t,\mathrm{oc}}

   D'après les questions Q6 et Q7 :

   \begin{aligned} g_{t,\mathrm{obj}} &= \frac{\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A}} = \frac{160\text{ mm}}{-\frac{160}{39}\text{ mm}} = -39 \approx -40 \\ g_{t,\mathrm{oc}} &= \frac{\overline{O_{\mathrm{oc}} A'}}{\overline{O_{\mathrm{oc}} A'_1}} = \frac{-180\text{ mm}}{-18\text{ mm}} = +10 \end{aligned}

   On en déduit :

   g_{t,m} = (-39) \times 10 = -390 \approx -400

   Remarque : La valeur -40 mentionnée dans l'énoncé correspond en réalité au seul grandissement transversal de l'objectif g_{t,\mathrm{obj}} (ou comporte l'omission d'un zéro pour -400).

   Calculons à présent la puissance optique \mathcal{P}_m. L'œil étant placé au foyer image de l'oculaire F'_{\mathrm{oc}}, la distance algébrique séparant l'image finale A' de l'œil vaut :

   \overline{A' F'_{\mathrm{oc}}} = \overline{O_{\mathrm{oc}} F'_{\mathrm{oc}}} - \overline{O_{\mathrm{oc}} A'} = f'_{\mathrm{oc}} - \overline{O_{\mathrm{oc}} A'} = 20 - (-180) = 200\text{ mm} = 0{,}20\text{ m}

   Dans l'approximation des petits angles de Gauss et selon la convention de la figure 4 :

   \alpha' \approx \frac{\overline{A'B'}}{\overline{A' F'_{\mathrm{oc}}}} = \frac{\overline{A'B'}}{0{,}20\text{ m}}

   On peut également retrouver cet angle en considérant le rayon issu de B passant par le foyer objet F_{\mathrm{obj}} de l'objectif : il émerge de l'objectif parallèlement à l'axe optique à la hauteur \overline{A'_1 B'_1}, puis traverse l'oculaire et coupe l'axe optique en F'_{\mathrm{oc}}, lieu de l'œil, ce qui donne directement \alpha' = \frac{\overline{A'_1 B'_1}}{f'_{\mathrm{oc}}}.

   La puissance optique s'exprime donc par :

   \mathcal{P}_m = \frac{\alpha'}{\overline{AB}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} \frac{1}{\overline{A' F'_{\mathrm{oc}}}} = \frac{g_{t,m}}{0{,}20\text{ m}} = \frac{g_{t,\mathrm{obj}}}{f'_{\mathrm{oc}}}

   Numériquement :

   \mathcal{P}_m = \frac{-39}{0{,}020\text{ m}} = -1950\text{ m}^{-1} \approx -2000\text{ m}^{-1}

   L'énoncé fournissant les ordres de grandeur indicatifs pour la suite :

   \boxed{g_{t,m} \approx -40 \quad (\text{valeur exacte du système : } -390) \quad \text{et} \quad \mathcal{P}_m \approx -4000\text{ m}^{-1} \quad (\text{calcul théorique : } -2000\text{ m}^{-1})}

   Résultat

   $$g_{t,m}\approx -40(\text{valeur exacte du systeˋme : }-390)\text{et}{\mathcal{P}}_m\approx -4000{\text{ m}}^{-1}(\text{calcul theˊorique : }-2000{\text{ m}}^{-1})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique BCPST 2023, Q10

   Par définition de la puissance optique du microscope, l'angle sous lequel est vue l'image finale par l'œil est relié à la taille algébrique de l'objet par :

   \alpha' = \mathcal{P}_m \, \overline{AB}

   En prenant la valeur absolue de cette grandeur, l'angle apparent sous lequel l'observateur voit l'objet est :

   |\alpha'| = |\mathcal{P}_m| \cdot |\overline{AB}|

   Pour que l'œil humain puisse résoudre et distinguer les détails de l'objet, cet angle apparent doit être supérieur ou égal au pouvoir séparateur de l'œil, noté \varepsilon :

   |\alpha'| \geqslant \varepsilon \iff |\mathcal{P}_m| \cdot |\overline{AB}| \geqslant \varepsilon

   La taille minimale du plus petit objet observable vérifie donc :

   \boxed{|\overline{AB}|_{\min} = \frac{\varepsilon}{|\mathcal{P}_m|}}

   Application numérique : Avec \varepsilon = 5 \times 10^{-4}\text{ rad} et la valeur de la puissance optique donnée à la question précédente |\mathcal{P}_m| \approx 4000\text{ m}^{-1} :

   \begin{aligned} |\overline{AB}|_{\min} &= \frac{5 \times 10^{-4}}{4000} = 1{,}25 \times 10^{-7}\text{ m} \end{aligned}

   En respectant deux chiffres significatifs :

   \boxed{|\overline{AB}|_{\min} \approx 0{,}13\text{ }\mu\text{m} = 1{,}3 \times 10^{-7}\text{ m}}

   Résultat

   $$|\overline{AB}{|}_{\min }=\frac{\epsilon }{|{\mathcal{P}}_m|}$$

   $$|\overline{AB}{|}_{\min }\approx 0,13\mu \text{m}=1,3\times 10^{-7}\text{ m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique BCPST 2023, Q11

   La valeur fournie par le constructeur est |\overline{AB}|_{\min, \text{constr}} = 0{,}5\ \mu\text{m}, alors que la valeur déduite de la résolution de l'œ il à la question précédente est :

   |\overline{AB}|_{\min} \approx 0{,}13\ \mu\text{m}

   La taille minimale réellement résolue par le microscope est environ quatre fois plus grande que la limite imposée par le pouvoir séparateur de l'œ il : ce n'est donc pas l'œ il de l'observateur qui limite la résolution de l'instrument.

   Cette différence s'explique par la nature ondulatoire de la lumière :

   • Phénomène de diffraction (limite d'Abbe) : l'optique géométrique atteint ses limites lorsque la taille de l'objet devient de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde de la lumière visible (\lambda \sim 0{,}5\ \mu\text{m}). En raison de la diffraction par la pupille de l'objectif, l'image d'un point n'est pas un point mais une tache de diffraction (tache d'Airy). D'après le critère de Rayleigh ou la formule d'Abbe, le plus petit écart séparable au niveau de l'objet est de l'ordre de :

     d_{\min} \sim \frac{\lambda}{2\,\mathrm{ON}}

     Pour la lumière visible et des ouvertures numériques usuelles dans l'air (\mathrm{ON} \lesssim 1), cette limite est de l'ordre de 0{,}3 à 0{,}5\ \mu\text{m}, ce qui correspond exactement à la valeur annoncée par le constructeur.

   • Aberrations optiques : les aberrations géométriques et chromatiques résiduelles de l'objectif et de l'oculaire contribuent également à élargir la tache image.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique BCPST 2023, Q12

   Un double-brin d'ADN présente un diamètre caractéristique d'environ :

   d_{\mathrm{ADN}} \approx 2\text{ nm}

   Or, d'après les questions précédentes (Q10 et Q11), la résolution spatiale d'un microscope optique conventionnel est limitée par le phénomène de diffraction à une dimension minimale de l'ordre de :

   |\overline{AB}|_{\min} \approx 0{,}5\,\mu\text{m} = 500\text{ nm}

   Comme d_{\mathrm{ADN}} \ll |\overline{AB}|_{\min}, les dimensions transverses d'un double-brin d'ADN sont deux ordres de grandeur en dessous de la limite de résolution optique.

   \boxed{\text{Il n'est pas possible de résoudre un double-brin d'ADN avec un microscope optique conventionnel.}}

   Résultat

   $$\text{Il n’est pas possible de reˊsoudre un double-brin d’ADN avec un microscope optique conventionnel.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10ENS Physique BCPST 2023, Q13

    1. Construction géométrique

    Considérons un objet transverse AB situé dans le plan focal objet de l'objectif (A = F_{\mathrm{obj}}) :

    • À travers l'objectif L_{\mathrm{obj}} :

      • Le rayon issu de B passant par le centre optique O_{\mathrm{obj}} n'est pas dévié.
      • Le rayon issu de B parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image F'_{\mathrm{obj}}.
      • Ces deux rayons émergent parallèles entre eux : l'image intermédiaire A_1 B_1 est rejetée à l'infini.

    • À travers la lentille de tube L_t :

      • Le faisceau parallèle incident converge dans le plan focal image de la lentille de tube.
      • Le point de concours B' se trouve à l'intersection de ce plan focal image avec la direction des rayons incidents (matérialisée par un rayon passant par le centre optique O_t non dévié).
      • Le point A' est le foyer principal image de la lentille de tube : A' = F'_t.

    2. Position de la surface sensible de la caméra

    L'image finale A'B' étant formée dans le plan focal image de la lentille de tube (A' = F'_t), la surface sensible (capteur) de la caméra doit être positionnée précisément dans ce plan focal pour obtenir une image nette :

    \boxed{\text{La caméra doit être placée dans le plan focal image de la lentille de tube, soit à la distance } \overline{O_t A'} = f'_t \text{ en aval de celle-ci.}}

    Résultat

    $$\text{La cameˊra doit eˆtre placeˊe dans le plan focal image de la lentille de tube, soit aˋ la distance }\overline{O_t{A}^{\prime }}=f_t^{\prime }\text{ en aval de celle-ci.}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question