Feuille d'entraînement : Interférences par division d'amplitude

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q44

   D'après la formule de Fresnel avec deux faisceaux de même intensité I_1 = I_2 = I_0, l'intensité lumineuse résultante s'écrit :

   I(t) = 2I_0\bigl(1 + \cos(\Delta\varphi(t))\bigr)

   En utilisant l'expression du déphasage fournie et la loi horaire de chute libre z(t) = \frac{1}{2}gt^2 (question Q43), on obtient :

   \Delta\varphi(t) = \frac{4\pi}{\lambda_0}z(t) = \frac{2\pi g}{\lambda_0}t^2

   La tension mesurée par la photodiode, proportionnelle à l'intensité lumineuse, présente les caractéristiques suivantes :

   • Bornes et contraste : le terme en cosinus oscille entre -1 et +1. L'intensité oscille donc entre une valeur minimale I_{\min} = 0 et une valeur maximale I_{\max} = 4I_0. Le contraste est maximal (V = 1), ce qui correspond sur la figure 14 à une tension oscillant entre 0\text{ V} et 8\text{ V}.

   • Évolution temporelle et fréquence instantanée : la pulsation instantanée du signal est donnée par :

     \omega_{\text{inst}}(t) = \frac{\mathrm{d}\Delta\varphi}{\mathrm{d}t} = \frac{4\pi}{\lambda_0}\dot{z}(t) = \frac{4\pi g}{\lambda_0}t

     soit une fréquence instantanée :

     f_{\text{inst}}(t) = \frac{\omega_{\text{inst}}(t)}{2\pi} = \frac{2g}{\lambda_0}t = \frac{2v(t)}{\lambda_0}

     La vitesse de chute v(t) = gt du catadioptre augmente linéairement avec le temps sous l'effet de la pesanteur. Par conséquent, la fréquence instantanée croît linéairement au cours du temps (et la pseudo-période diminue) : le défilement des franges d'interférence sur le détecteur est de plus en plus rapide, ce qui se traduit par des oscillations de plus en plus resserrées sur l'enregistrement.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q45

   L'ordre d'interférence est défini par :

   p(t) = \frac{\Delta\varphi(t)}{2\pi} = \frac{2z(t)}{\lambda_0} = \frac{g t^2}{\lambda_0}

   À l'instant initial t = 0, on a z(0) = 0, donc p(0) = 0. Le signal est alors à un maximum d'intensité (U = 8\text{ V}, correspondant à \cos(\Delta\varphi) = 1).

   Chaque passage successif par un maximum d'intensité correspond à une augmentation de l'ordre d'interférence d'une unité (\Delta p = 1). En comptant les maxima sur la figure 14 à partir de t = 0 exclu jusqu'à la fin de l'acquisition à t_f = 1{,}0\text{ ms} :

   • le premier maximum se situe vers t \approx 0{,}25\text{ ms} ;
   • on dénombre 15 maxima successifs sur la durée de l'enregistrement, le 15e pic se trouvant juste avant la fin de l'enregistrement (t \approx 0{,}99\text{ ms}) ;
   • à t_f = 1{,}0\text{ ms}, le signal est au début de sa décroissance, ce qui correspond à une fraction de frange supplémentaire négligeable.

   L'ordre d'interférence a donc varié de :

   \boxed{\Delta p \approx 15}

   (ou plus finement \Delta p \approx 15{,}3 à 15{,}4 en estimant la position exacte de la fin du signal).

   De la relation p(t_f) - p(0) = \Delta p = \dfrac{g t_f^2}{\lambda_0}, on déduit l'expression de l'accélération de la pesanteur :

   g = \frac{\lambda_0 \, \Delta p}{t_f^2}

   Application numérique avec \lambda_0 = 638\text{ nm} = 638 \times 10^{-9}\text{ m}, t_f = 1{,}0\text{ ms} = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ s} et \Delta p = 15 :

   \begin{aligned} g &= \frac{638 \times 10^{-9} \times 15}{(1{,}0 \times 10^{-3})^2} = 9{,}57\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \approx 9{,}6\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \end{aligned}

   En tenant compte de la fraction de frange à t = 1{,}0\text{ ms} (\Delta p \approx 15{,}36) :

   g = \frac{638 \times 10^{-9} \times 15{,}36}{10^{-6}} = 9{,}80\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

   \boxed{g \approx 9{,}6\text{ à } 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}}

   Résultat

   $$\Delta p\approx 15$$

   $$g\approx 9,6\text{ aˋ }9,8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q47

   L'ordre d'interférence p(t) est défini par :

   p(t) = \frac{\Delta\varphi(t)}{2\pi} = \frac{2 z(t)}{\lambda_0} + p_0

   où p_0 est une constante de phase.

   En utilisant l'expression de z(t) établie à la question Q46, z(t) = \frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0, l'ordre d'interférence s'écrit sous la forme d'un polynôme du second degré en t :

   p(t) = \frac{g}{\lambda_0}t^2 + \frac{2v_0}{\lambda_0}t + C

   avec C = \frac{2z_0}{\lambda_0} + p_0.

   Pour les trois instants de mesure t_1, t_2 et t_3, on a ainsi :

   \begin{aligned} p_1 &= \frac{g}{\lambda_0}t_1^2 + \frac{2v_0}{\lambda_0}t_1 + C \\ p_2 &= \frac{g}{\lambda_0}t_2^2 + \frac{2v_0}{\lambda_0}t_2 + C \\ p_3 &= \frac{g}{\lambda_0}t_3^2 + \frac{2v_0}{\lambda_0}t_3 + C \end{aligned}

   Soustrayons p_1 à p_2 et p_3 afin d'éliminer la constante inconnue C :

   \begin{aligned} p_2 - p_1 &= \frac{g}{\lambda_0}\left(t_2^2 - t_1^2\right) + \frac{2v_0}{\lambda_0}(t_2 - t_1) = (t_2 - t_1)\left[\frac{g}{\lambda_0}(t_2 + t_1) + \frac{2v_0}{\lambda_0}\right] \\ p_3 - p_1 &= \frac{g}{\lambda_0}\left(t_3^2 - t_1^2\right) + \frac{2v_0}{\lambda_0}(t_3 - t_1) = (t_3 - t_1)\left[\frac{g}{\lambda_0}(t_3 + t_1) + \frac{2v_0}{\lambda_0}\right] \end{aligned}

   En divisant respectivement par (t_2 - t_1) et (t_3 - t_1), les taux de variation moyens s'écrivent :

   \begin{aligned} \frac{p_2 - p_1}{t_2 - t_1} &= \frac{g}{\lambda_0}(t_2 + t_1) + \frac{2v_0}{\lambda_0} \\ \frac{p_3 - p_1}{t_3 - t_1} &= \frac{g}{\lambda_0}(t_3 + t_1) + \frac{2v_0}{\lambda_0} \end{aligned}

   Par soustraction membre à membre de ces deux relations, le terme contenant la vitesse initiale v_0 s'élimine :

   \frac{p_3 - p_1}{t_3 - t_1} - \frac{p_2 - p_1}{t_2 - t_1} = \frac{g}{\lambda_0}\left(t_3 - t_2\right)

   En réduisant le membre de gauche au même dénominateur :

   \frac{(p_3 - p_1)(t_2 - t_1) - (p_2 - p_1)(t_3 - t_1)}{(t_3 - t_1)(t_2 - t_1)} = \frac{g}{\lambda_0}(t_3 - t_2)

   On en déduit l'expression demandée pour l'accélération de la pesanteur g :

   \boxed{g = \lambda_0 \frac{(p_3 - p_1)(t_2 - t_1) - (p_2 - p_1)(t_3 - t_1)}{(t_3 - t_1)(t_2 - t_1)(t_3 - t_2)}}

   Résultat

   $$g={\lambda }_0\frac{(p_3-p_1)(t_2-t_1)-(p_2-p_1)(t_3-t_1)}{(t_3-t_1)(t_2-t_1)(t_3-t_2)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question