Feuille d'entraînement : Lentilles, miroirs et formation des images

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2023, Q2

   Pour construire l'image du point B situé dans le plan focal objet (soit A = F), on utilise deux rayons caractéristiques issus de B :

   1. le rayon incident parallèle à l'axe optique (\Delta), qui émerge de la lentille en passant par le foyer principal image F' ;
   2. le rayon incident passant par le centre optique O de la lentille, qui émerge sans être dévié.

   Puisque les deux rayons émergents sont parallèles entre eux, ils se coupent à l'infini : l'image A'B' est rejetée à l'infini.

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2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2021, Q22

   1. Construction géométrique et position de l'image

   L'objet étant situé à l'infini, son image par la lentille mince convergente se forme dans le plan focal image, situé à la distance focale image f' du centre optique O de la lentille.

   Le centre de la source sphérique, situé sur l'axe optique, a pour image le foyer principal image F'. Un point du bord de la source, vu sous le demi-angle \beta, émet des rayons inclinés d'un angle \beta par rapport à l'axe optique. Le rayon incident passant par le centre optique O n'est pas dévié et vient couper le plan focal image en un point B', formant ainsi le bord de l'image.

   2. Expression du rayon r de l'image

   Dans le triangle rectangle OF'B', la trigonométrie donne :

   \tan\beta = \frac{F'B'}{OF'} = \frac{r}{f'}

   Puisque le demi-angle apparent vérifie \beta \ll 1, on effectue l'approximation des petits angles \tan\beta \approx \beta, d'où :

   \boxed{r = f'\beta}

   3. Expression de la concentration C

   Par définition, la concentration lumineuse C est le rapport entre la surface de collecte de la lentille et la surface de l'image formée :

   C = \frac{S_{\text{système optique}}}{S_{\text{image}}} = \frac{\pi \rho_L^2}{\pi r^2} = \left(\frac{\rho_L}{r}\right)^2

   En injectant r = f'\beta, il vient :

   \boxed{C = \left(\frac{\rho_L}{f'\beta}\right)^2}

   D'après la définition de l'angle \alpha donnée dans le préambule, le rayon le plus incliné émergeant de la lentille et passant par le foyer image F' provient du bord extrême de la lentille, situé à la distance \rho_L de l'axe optique. Dans le triangle rectangle formé par le centre optique O, le bord supérieur de la lentille et F', on a :

   \tan\alpha = \frac{\rho_L}{f'}

   On en déduit l'expression de la concentration en fonction de \alpha et \beta :

   \boxed{C = \frac{\tan^2(\alpha)}{\beta^2}}

   Résultat

   $$r=f^{\prime }\beta$$

   $$C={\left(\frac{{\rho }_L}{f^{\prime }\beta }\right)}^2$$

   $$C=\frac{{\tan }^2(\alpha )}{{\beta }^2}$$

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3. Exercice 3ENS Physique BCPST 2021, Q28

   1. Définition du stigmatisme

   Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un couple de points (A, A') si tout rayon lumineux issu du point objet A (réel ou virtuel) et traversant le système optique émerge en passant (ou dont le prolongement passe) par un point unique A', appelé point image (réel ou virtuel).

   De façon plus générale, le système est stigmatique s'il transforme tout point objet en un point image unique, sans étalement spatial du faisceau émergent.

   2. Exemple de système optique rigoureusement stigmatique

   Le miroir plan présente un stigmatisme rigoureux pour tout point de l'espace : l'image A' d'un point A quelconque est son symétrique orthogonal par rapport au plan du miroir.

   Autre exemple classique : le miroir parabolique, rigoureusement stigmatique pour le couple constitué de son foyer et d'un point situé à l'infini sur son axe de révolution.

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4. Exercice 4ENS Physique BCPST 2023, Q1

   La relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique O s'écrit :

   \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} \iff \frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}}

   où f' > 0 pour une lentille mince convergente.

   • Tracé a) : Objet situé en amont du foyer objet F (\overline{OA} < -f' < 0)

     L'inégalité \overline{OA} < -f' implique :

     \frac{1}{\overline{OA}} > -\frac{1}{f'} \implies \frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} > 0

     Ainsi, \overline{OA'} > 0 : le point image A' se trouve en aval de la lentille. Les rayons émergents convergent et se coupent physiquement au point B', de sorte que l'image peut être recueillie sur un écran.

     \boxed{\text{Pour le tracé a), l'image } A'B' \text{ est réelle.}}

   • Tracé b) : Objet situé entre le foyer objet F et la lentille (-f' < \overline{OA} < 0)

     L'encadrement -f' < \overline{OA} < 0 entraîne :

     \frac{1}{\overline{OA}} < -\frac{1}{f'} \implies \frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} < 0

     Ainsi, \overline{OA'} < 0 : le point image A' se trouve en amont de la lentille. Les rayons émergents divergent et ce sont uniquement leurs prolongements géométriques vers l'arrière qui se coupent en B'.

     \boxed{\text{Pour le tracé b), l'image } A'B' \text{ est virtuelle.}}

   Résultat

   $$\text{Pour le traceˊ a), l’image }{A}^{\prime }{B}^{\prime }\text{ est reˊelle.}$$

   $$\text{Pour le traceˊ b), l’image }{A}^{\prime }{B}^{\prime }\text{ est virtuelle.}$$

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5. Exercice 5ENS Physique BCPST 2023, Q3

   1. Expression de g_t :

   D'après la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre :

   \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} \implies \frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{\overline{OA} + f'}{f'\,\overline{OA}}

   d'où :

   \overline{OA'} = \frac{f'\,\overline{OA}}{\overline{OA} + f'}

   Le grandissement transversal s'écrit donc :

   g_t = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}

   \boxed{g_t = \frac{f'}{\overline{OA} + f'}}

   2. Tracé de g_t en fonction de \overline{OA} :

   La fonction g_t(\overline{OA}) est une fonction homographique présentant :

   • une asymptote horizontale g_t \to 0^- lorsque \overline{OA} \to -\infty ;
   • une asymptote verticale en \overline{OA} = -f' avec \lim\limits_{\overline{OA} \to -f'^-} g_t = -\infty et \lim\limits_{\overline{OA} \to -f'^+} g_t = +\infty ;
   • les points particuliers : g_t(-2f') = -1 et g_t(0) = 1.

   3. Orientation de l'image (droite ou renversée) :

   • L'image est renversée si g_t < 0, ce qui correspond à :

     \boxed{\overline{OA} \in ]-\infty, -f'[}

   • L'image est droite si g_t > 0, ce qui correspond à :

     \boxed{\overline{OA} \in ]-f', 0[}

   4. Taille de l'image (agrandie ou réduite) :

   • L'image est agrandie si |g_t| > 1 :

     • Pour \overline{OA} \in ]-f', 0[, g_t > 1, donc |g_t| > 1.
     • Pour \overline{OA} \in ]-2f', -f'[, g_t < -1, donc |g_t| > 1.

     Ainsi, l'image est agrandie pour :

     \boxed{\overline{OA} \in ]-2f', -f'[ \,\cup\, ]-f', 0[}

   • L'image est réduite si |g_t| < 1, c'est-à-dire -1 < g_t < 0 :

     \boxed{\overline{OA} \in ]-\infty, -2f'[}
   • Pour \overline{OA} = -2f', |g_t| = 1 : l'image a la même taille que l'objet (montage 4f ou doublet symétrique).

   5. Position de l'image si A = F :

   Si A = F, alors \overline{OA} = -f'. On a :

   \frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{-f'} = 0 \implies \overline{OA'} \to \pm \infty

   \boxed{\text{Si } A = F\text{, l'image } A'B' \text{ est rejetée à l'infini.}}

   Résultat

   $$g_t=\frac{f^{\prime }}{\overline{OA}+f^{\prime }}$$

   $$\overline{OA}\in ]-\infty ,-f^{\prime }[$$

   $$\overline{OA}\in ]-f^{\prime },0[$$

   $$\overline{OA}\in ]-2f^{\prime },-f^{\prime }[\cup ]-f^{\prime },0[$$

   $$\overline{OA}\in ]-\infty ,-2f^{\prime }[$$

   $$\text{Si }A=F\text{, l’image }{A}^{\prime }{B}^{\prime }\text{ est rejeteˊe aˋ l’infini.}$$

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6. Exercice 6ENS Physique BCPST 2021, Q23

   D'après la question Q22, la concentration lumineuse calculée dans le cadre de l'optique paraxiale s'écrit :

   C = \frac{\tan^2\alpha}{\beta^2} = \frac{\sin^2\alpha}{\beta^2 \cos^2\alpha}

   Pour tout angle d'ouverture non nul \alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, on a :

   0 < \cos\alpha < 1 \implies \cos^2\alpha < 1

   Par conséquent :

   C = \frac{\tan^2\alpha}{\beta^2} > \frac{\sin^2\alpha}{\beta^2}

   La concentration calculée par l'optique géométrique élémentaire dépasse strictement la borne maximale imposée par la thermodynamique : elle n'est donc pas compatible avec cette limite.

   On se rapproche de cette limite dans le domaine des petits angles d'ouverture (\alpha \ll 1\text{ rad}, soit \rho_L \ll f'), c'est-à-dire dans le cadre de l'approximation paraxiale (conditions de Gauss). En effectuant un développement limité au voisinage de \alpha = 0 :

   \cos\alpha = 1 - \frac{\alpha^2}{2} + o(\alpha^2) \underset{\alpha \to 0}{\longrightarrow} 1

   d'où :

   \tan\alpha \approx \sin\alpha \approx \alpha \implies C \approx \frac{\alpha^2}{\beta^2} \approx \frac{\sin^2\alpha}{\beta^2}

   \boxed{\text{La concentration géométrique } C > \frac{\sin^2\alpha}{\beta^2} \text{ viole la limite thermodynamique, mais s'en rapproche pour } \alpha \ll 1.}

   Résultat

   $$\text{La concentration geˊomeˊtrique }C>\frac{{\sin }^2\alpha }{{\beta }^2}\text{ viole la limite thermodynamique, mais s’en rapproche pour }\alpha \ll 1.$$

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7. Exercice 7ENS Physique BCPST 2023, Q4

   L'utilisation d'une lentille convergente comme loupe correspond à la configuration b) de la figure 2.

   En effet, dans cette configuration :

   • l'objet AB est situé entre le foyer objet F et le centre optique O (soit -f' < \overline{OA} < 0) ;
   • d'après les questions précédentes, l'image A'B' obtenue est virtuelle (question 1), droite car g_t > 0, et agrandie car g_t > 1 (question 3).

   Cette configuration est celle requise dans les exemples mentionnés :

   • Aide à la lecture pour personnes presbytes : le texte observé doit impérativement rester dans le même sens de lecture (image droite) et présenter une taille apparente accrue (image agrandie). Une image renversée (comme dans le tracé a) rendrait la lecture extrêmement difficile. De plus, l'œil de l'observateur regarde directement à travers la lentille et observe l'image virtuelle en amont du verre, à une distance confortable (supérieure ou égale au punctum proximum).
   • Électronique et horlogerie de précision : lors de la manipulation de composants CMS ou de micro-engrenages, l'opérateur guide ses mains et ses outils en observant la scène à travers la loupe. Si l'image était renversée, les mouvements de la main sembleraient inversés, rendant tout travail de minutie impossible.

   \boxed{\text{La configuration de la figure 2 b) correspond à l'utilisation en loupe.}}

   Résultat

   $$\text{La configuration de la figure 2 b) correspond aˋ l’utilisation en loupe.}$$

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8. Exercice 8ENS Physique BCPST 2023, Q5

   Considérons le rayon lumineux issu du point objet B et se propageant parallèlement à l'axe optique :

   • il rencontre le plan de la lentille mince en un point I situé à l'ordonnée \overline{OI} = \overline{AB} ;
   • après réfraction, ce rayon émerge en passant par le foyer principal image F'.

   L'image B' étant le point de concours (ici virtuel) de tous les rayons issus de B, le prolongement vers l'amont du rayon émergent (IF') passe nécessairement par B'.

   L'œil de l'observateur étant positionné exactement en F', le rayon entrant dans la pupille est porté par la droite (IF'). L'angle \alpha' sous lequel l'observateur voit l'image A'B' est donc l'angle que fait la droite (F'I) avec l'axe optique.

   Dans le triangle rectangle OIF', sous les conditions de Gauss (angles petits, \tan\alpha' \approx \alpha'), et en respectant la convention de signe de la figure 4 :

   \alpha' \approx \tan\alpha' = \frac{\overline{OI}}{\overline{OF'}} = \frac{\overline{AB}}{f'}

   Par définition, la puissance optique \mathcal{P} de l'instrument s'écrit :

   \mathcal{P} = \frac{\alpha'}{\overline{AB}}

   En remplaçant \alpha' par son expression, on obtient :

   \boxed{\mathcal{P} = \frac{1}{f'}}

   La puissance optique \mathcal{P} ne dépend ainsi que de la distance focale image f' de la lentille (elle est en particulier indépendante de la position de l'objet \overline{OA}).

   Pour augmenter le pouvoir grossissant, c'est-à-dire augmenter la puissance optique \mathcal{P}, il faut diminuer la distance focale image f' de la lentille (ce qui équivaut à augmenter sa vergence V = \frac{1}{f'}).

   Résultat

   $$\mathcal{P}=\frac{1}{f^{\prime }}$$

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9. Exercice 9ENS Physique BCPST 2023, Q6

   Appliquons la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique à l'objectif de distance focale image f'_{\mathrm{obj}} = -\overline{O_{\mathrm{obj}} F_{\mathrm{obj}}} = 4\text{ mm} :

   \begin{aligned} \frac{1}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}} - \frac{1}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A}} &= \frac{1}{f'_{\mathrm{obj}}} \end{aligned}

   On en déduit l'expression littérale de la position de l'objet :

   \begin{aligned} \frac{1}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A}} &= \frac{1}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}} - \frac{1}{f'_{\mathrm{obj}}} = \frac{f'_{\mathrm{obj}} - \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} \, f'_{\mathrm{obj}}} \end{aligned}

   soit :

   \overline{O_{\mathrm{obj}} A} = \frac{\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} \, f'_{\mathrm{obj}}}{f'_{\mathrm{obj}} - \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}}

   Avec \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} = 160\text{ mm} et f'_{\mathrm{obj}} = 4\text{ mm}, il vient :

   \begin{aligned} \frac{1}{\overline{O_{\mathrm{obj}} A}} &= \frac{1}{160} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 40}{160} = -\frac{39}{160}\text{ mm}^{-1} \end{aligned}

   d'où :

   \overline{O_{\mathrm{obj}} A} = -\frac{160}{39}\text{ mm} \approx -4{,}1\text{ mm}

   Calculons maintenant le rapport demandé :

   \begin{aligned} \frac{\overline{O_{\mathrm{obj}} A}}{f'_{\mathrm{obj}}} &= -\frac{160}{39 \times 4} = -\frac{40}{39} \approx -1{,}0 \end{aligned}

   \boxed{\overline{O_{\mathrm{obj}} A} \approx -4{,}1\text{ mm}} \quad \text{et} \quad \boxed{\frac{\overline{O_{\mathrm{obj}} A}}{f'_{\mathrm{obj}}} = -\frac{40}{39} \approx -1{,}0}

   Analyse du résultat : Le rapport étant très proche de -1 par valeurs inférieures (\overline{O_{\mathrm{obj}} A} / f'_{\mathrm{obj}} = -40/39 \approx -1{,}03), on constate que l'objet AB est situé immédiatement en amont du foyer principal objet de l'objectif :

   \overline{F_{\mathrm{obj}} A} = \overline{O_{\mathrm{obj}} A} - \overline{O_{\mathrm{obj}} F_{\mathrm{obj}}} = -\frac{160}{39}\text{ mm} - (-4\text{ mm}) = -\frac{4}{39}\text{ mm} \approx -100\ \mu\text{m}

   Cette proximité (A légèrement à gauche de F_{\mathrm{obj}}) est la condition indispensable pour que l'objectif forme une image intermédiaire A'_1 B'_1 réelle, très agrandie (de grandissement transversal g_{t,\mathrm{obj}} = \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}/\overline{O_{\mathrm{obj}} A} = -39), située à grande distance de l'objectif (\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} = 160\text{ mm} \gg f'_{\mathrm{obj}}).

   Résultat

   $$\overline{O_{\mathrm{obj}}A}\approx -4,1\text{ mm}$$

   $$\frac{\overline{O_{\mathrm{obj}}A}}{f_{\mathrm{obj}}^{\prime }}=-\frac{40}{39}\approx -1,0$$

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10. Exercice 10ENS Physique BCPST 2023, Q7

    Par la relation de Chasles, la distance entre les centres optiques de l'objectif et de l'oculaire s'écrit :

    \overline{O_{\mathrm{obj}} O_{\mathrm{oc}}} = \overline{O_{\mathrm{obj}} F'_{\mathrm{obj}}} + \overline{F'_{\mathrm{obj}} F_{\mathrm{oc}}} + \overline{F_{\mathrm{oc}} O_{\mathrm{oc}}}

    Or, d'après les données de l'énoncé :

    • \overline{O_{\mathrm{obj}} F'_{\mathrm{obj}}} = f'_{\mathrm{obj}} = -f_{\mathrm{obj}} = 4\text{ mm} ;
    • \overline{F'_{\mathrm{obj}} F_{\mathrm{oc}}} = D = 154\text{ mm} ;
    • \overline{F_{\mathrm{oc}} O_{\mathrm{oc}}} = -\overline{O_{\mathrm{oc}} F_{\mathrm{oc}}} = -f_{\mathrm{oc}} = 20\text{ mm}.

    Il vient :

    \overline{O_{\mathrm{obj}} O_{\mathrm{oc}}} = 4 + 154 + 20 = 178\text{ mm}

    La position algébrique de l'image intermédiaire A'_1 par rapport au centre O_{\mathrm{oc}} de l'oculaire est alors :

    \begin{aligned} \overline{O_{\mathrm{oc}} A'_1} &= \overline{O_{\mathrm{oc}} O_{\mathrm{obj}}} + \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} \\ &= -\overline{O_{\mathrm{obj}} O_{\mathrm{oc}}} + \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} \\ &= -178\text{ mm} + 160\text{ mm} \end{aligned}

    \boxed{\overline{O_{\mathrm{oc}} A'_1} = -18\text{ mm}}

    On en déduit la position de A'_1 par rapport au foyer objet de l'oculaire :

    \begin{aligned} \overline{F_{\mathrm{oc}} A'_1} &= \overline{F_{\mathrm{oc}} O_{\mathrm{oc}}} + \overline{O_{\mathrm{oc}} A'_1} \\ &= 20\text{ mm} + (-18\text{ mm}) \end{aligned}

    \boxed{\overline{F_{\mathrm{oc}} A'_1} = +2\text{ mm}}

    Résultat

    $$\overline{O_{\mathrm{oc}}{A}_1^{\prime }}=-18\text{ mm}$$

    $$\overline{F_{\mathrm{oc}}{A}_1^{\prime }}=+2\text{ mm}$$

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