Feuille d'entraînement : Premier et second principes

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2021, Q3

   La puissance solaire reçue par la Terre ne dépend pas de sa propre température :

   P_{\text{reçue}} = \pi r_T^2 \sigma T_S^4 \beta^2 = 4\pi r_T^2 \sigma T_{T,\text{eq}}^4

   d'après la condition d'équilibre établie en Q2.

   La puissance rayonnée par la Terre à la température T_T = T_{T,\text{eq}} + \Delta T vaut :

   P_{\text{émise}} = 4\pi r_T^2 \sigma T_T^4 = 4\pi r_T^2 \sigma (T_{T,\text{eq}} + \Delta T)^4

   Puisque |\Delta T| \ll T_{T,\text{eq}}, un développement limité au premier ordre donne :

   (T_{T,\text{eq}} + \Delta T)^4 = T_{T,\text{eq}}^4 \left(1 + \frac{\Delta T}{T_{T,\text{eq}}}\right)^4 \approx T_{T,\text{eq}}^4 \left(1 + 4\frac{\Delta T}{T_{T,\text{eq}}}\right) = T_{T,\text{eq}}^4 + 4 T_{T,\text{eq}}^3 \Delta T

   La différence entre la puissance reçue et la puissance émise s'écrit donc :

   \Delta \mathcal{P} = P_{\text{reçue}} - P_{\text{émise}} = 4\pi r_T^2 \sigma T_{T,\text{eq}}^4 - 4\pi r_T^2 \sigma \left(T_{T,\text{eq}}^4 + 4 T_{T,\text{eq}}^3 \Delta T\right)

   \boxed{\Delta \mathcal{P} = -16\pi r_T^2 \sigma T_{T,\text{eq}}^3 \Delta T}

   Appliquons le premier principe de la thermodynamique à la Terre (système fermé, indéformable, de masse M_T = \frac{4}{3}\pi r_T^3 \rho_T et de capacité thermique massique C_T) entre t et t + \mathrm{d}t :

   \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = \Delta \mathcal{P}

   Comme la température est supposée uniforme, la variation d'énergie interne s'écrit \mathrm{d}U = M_T C_T \,\mathrm{d}T_T = M_T C_T \,\mathrm{d}(\Delta T). Il vient :

   \begin{aligned} M_T C_T \frac{\mathrm{d}(\Delta T)}{\mathrm{d}t} &= -16\pi r_T^2 \sigma T_{T,\text{eq}}^3 \Delta T \\ \frac{4}{3}\pi r_T^3 \rho_T C_T \frac{\mathrm{d}(\Delta T)}{\mathrm{d}t} + 16\pi r_T^2 \sigma T_{T,\text{eq}}^3 \Delta T &= 0 \\ \frac{\mathrm{d}(\Delta T)}{\mathrm{d}t} + \frac{12 \sigma T_{T,\text{eq}}^3}{r_T \rho_T C_T} \Delta T &= 0 \end{aligned}

   L'équation différentielle s'écrit sous la forme canonique \frac{\mathrm{d}(\Delta T)}{\mathrm{d}t} + \frac{\Delta T}{\tau} = 0, d'où le temps caractéristique :

   \boxed{\tau = \frac{r_T \rho_T C_T}{12 \sigma T_{T,\text{eq}}^3}}

   Application numérique :

   \begin{aligned} r_T \rho_T C_T &= (6,4 \times 10^6 \text{ m}) \times (5,5 \times 10^3 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) \times (1 \times 10^3 \text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}) = 3,52 \times 10^{13} \text{ J}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} \\ 12 \sigma T_{T,\text{eq}}^3 &\approx 12 \times (5,67 \times 10^{-8}) \times (279)^3 \approx 6,804 \times 10^{-7} \times 2,17 \times 10^7 \approx 14,8 \text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} \end{aligned}

   On en déduit :

   \tau \approx \frac{3,52 \times 10^{13}}{14,8} \approx 2,4 \times 10^{12} \text{ s}

   En exprimant le résultat en années avec 1\text{ an} \simeq 3 \times 10^7\text{ s} :

   \boxed{\tau \simeq 8 \times 10^4 \text{ ans}}

   Résultat

   $$\Delta \mathcal{P}=-16\pi r_T^2\sigma T_{T,\text{eq}}^3\Delta T$$

   $$\tau =\frac{r_T{\rho }_T{C}_T}{12\sigma T_{T,\text{eq}}^3}$$

   $$\tau \simeq 8\times 10^4\text{ ans}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2020, Q34

   1. Expression de la puissance du moteur moléculaire

   En régime stationnaire de nage libre, la force totale exercée par le fluide sur la bactérie est nulle, soit \vec{F}_{\mathrm{v}} = \vec{0}. La puissance mécanique \mathcal{P} que le moteur moléculaire doit fournir pour maintenir la rotation du flagelle à vitesse angulaire constante compense exactement la dissipation par frottement visqueux :

   \mathcal{P} = -\vec{\Gamma}_{\mathrm{v}} \cdot \vec{\Omega}

   D'après la question 33, le moment des forces visqueuses par rapport à l'axe (\mathrm{F}z) s'écrit :

   \vec{\Gamma}_{\mathrm{v}} = -8\pi\eta a^2\Omega\,\frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{\ell_{\mathrm{f}}}{h}\,\vec{e}_z

   Avec \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{e}_z, on obtient :

   \boxed{\mathcal{P} = 8\pi\eta a^2\Omega^2\,\frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{\ell_{\mathrm{f}}}{h}}

   2. Application numérique

   Les données fournies dans le préambule sont :

   • \eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
   • \Omega = 7{,}0\times 10^2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} ;
   • \ell_{\mathrm{f}} = 10\,\mu\text{m} = 10^{-5}\text{ m} ;
   • a = 0{,}2\,\mu\text{m} = 2\times 10^{-7}\text{ m} ;
   • h = 0{,}1\,\mu\text{m} = 10^{-7}\text{ m}.

   Comme a = 2h, le facteur adimensionnel vaut :

   \frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{(2a^2+h^2)h} = \frac{(5h^2)^{3/2}}{9h^2 \cdot h} = \frac{5\sqrt{5}}{9} \simeq \frac{5 \times 2{,}24}{9} \simeq 1{,}24

   Calculons la valeur de \mathcal{P} :

   \begin{aligned} \mathcal{P} &= 8\pi \times 10^{-3} \times \left(2\times 10^{-7}\right)^2 \times \left(7{,}0\times 10^2\right)^2 \times 10^{-5} \times 1{,}24 \\ &= 8\pi \times 10^{-3} \times 4\times 10^{-14} \times 4{,}9\times 10^5 \times 10^{-5} \times 1{,}24 \\ &\simeq 6\times 10^{-15}\text{ W} \end{aligned}

   \boxed{\mathcal{P} \simeq 6\times 10^{-15}\text{ W} = 6\text{ fW}}

   3. Puissance métabolique de la bactérie et commentaire

   La bactérie est assimilée à une sphère de rayon R, de volume V_{\text{bac}} = \frac{4}{3}\pi R^3. Sa consommation de nutriments par unité de volume et de temps étant notée \mathcal{A}, la quantité de matière de glucose consommée par seconde est :

   \dot{n} = \mathcal{A} V_{\text{bac}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \mathcal{A}

   L'apport énergétique par mole de glucose absorbée étant \varepsilon, la puissance totale associée au métabolisme de la bactérie s'écrit :

   \boxed{\mathcal{P}_{\text{mét}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \mathcal{A}\,\varepsilon}

   Avec R = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m}, \mathcal{A} = 10\text{ mol}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{s}^{-1} et \varepsilon = 30\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = 3\times 10^4\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} :

   \begin{aligned} \mathcal{P}_{\text{mét}} &= \frac{4}{3}\pi \times \left(10^{-6}\right)^3 \times 10 \times \left(3\times 10^4\right) \\ &= 4\pi \times 10^{-13}\text{ W} \simeq 1\times 10^{-12}\text{ W} \end{aligned}

   \boxed{\mathcal{P}_{\text{mét}} \simeq 1\times 10^{-12}\text{ W} = 1\text{ pW}}

   En comparant ces deux puissances :

   \frac{\mathcal{P}}{\mathcal{P}_{\text{mét}}} \simeq \frac{6\times 10^{-15}}{1{,}3\times 10^{-12}} \simeq 0{,}5\,\%

   La puissance nécessaire pour faire tourner le flagelle et propulser la bactérie représente moins de 1\,\% de la puissance métabolique totale. La nage constitue donc un coût énergétique négligeable pour la cellule.

   Résultat

   $$\mathcal{P}=8\pi \eta a^2{\Omega }^2\frac{(a^2+h^2{)}^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{{\ell }_{\mathrm{f}}}{h}$$

   $$\mathcal{P}\simeq 6\times 10^{-15}\text{ W}=6\text{ fW}$$

   $${\mathcal{P}}_{\text{meˊt}}=\frac{4}{3}\pi R^3\mathcal{A}\epsilon$$

   $${\mathcal{P}}_{\text{meˊt}}\simeq 1\times 10^{-12}\text{ W}=1\text{ pW}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question