Feuille d'entraînement : Référentiels non galiléens

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2025, Q29

   La Terre tourne autour de l'axe des pôles (\mathrm{O}y) à la vitesse angulaire constante \Omega = \frac{2\pi}{T_0} par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R}_0.

   Pendant que le satellite parcourt une orbite complète, il s'écoule une durée égale à sa période orbitale T. L'angle de rotation de la Terre sur elle-même durant cette durée s'écrit :

   \Delta\varphi = \Omega T = 2\pi \frac{T}{T_0}

   En utilisant la relation (13) donnée par l'énoncé, T = \frac{12}{175} T_0, on obtient :

   \boxed{\Delta\varphi = \frac{24\pi}{175}\text{ rad}}

   Soit numériquement \Delta\varphi \simeq 0{,}431\text{ rad} \simeq 24{,}7^\circ.

   Le plan de l'orbite étant fixe dans le référentiel géocentrique \mathcal{R}_0, le satellite franchit le plan équatorial en un point de longitude fixe dans \mathcal{R}_0. Pendant la durée T, la Terre a tourné d'un angle \Delta\varphi d'ouest en est, de sorte que le nouveau point équatorial survolé M_2 est décalé vers l'ouest par rapport à M_1.

   L'équateur étant un cercle de rayon R_{\mathrm{T}}, la longueur L de l'arc de cercle (M_2 M_1) sous-tendu par l'angle au centre \Delta\varphi vaut :

   L = R_{\mathrm{T}} \Delta\varphi = 2\pi R_{\mathrm{T}} \frac{T}{T_0}

   Soit, en fonction de R_{\mathrm{T}} :

   \boxed{L = \frac{24\pi}{175} R_{\mathrm{T}}}

   Application numérique : Avec R_{\mathrm{T}} = 6\,400\text{ km}, on trouve :

   L = \frac{24\pi}{175} \times 6\,400 \times 10^3\text{ m} \simeq 2{,}76 \times 10^6\text{ m} = 2\,760\text{ km}

   Résultat

   $$\Delta \phi =\frac{24\pi }{175}\text{ rad}$$

   $$L=\frac{24\pi }{175}{R}_{\mathrm{T}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question