Feuille d'entraînement : Référentiels non galiléens

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2020, Q10

   On étudie la masse m dans le référentiel non galiléen lié à la voiture, muni de la base (\vec{u}_x, \vec{u}_y). La vitesse et l'accélération relatives de la masse sont :

   \vec{V} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x \quad \text{et} \quad \vec{a}_{\text{rel}} = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\vec{u}_x

   D'après le bilan des forces établi à la question Q9, la masse est soumise à :

   • son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_y ;
   • la réaction normale du support horizontal \vec{R}_N = R_N \vec{u}_y (le déplacement s'effectuant sans frottement solide) ;
   • la force de rappel élastique du ressort \vec{F}_{\text{é}} = -k(x(t) - L_0)\vec{u}_x ;
   • la force de frottement fluide \vec{f} = -\alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x ;
   • la force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} = m a \vec{u}_x.

   Le mouvement relatif s'effectuant selon la direction horizontale, l'équilibre vertical donne \vec{P} + \vec{R}_N = \vec{0}.

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué dans le référentiel lié à la voiture s'écrit :

   m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\vec{u}_x = \vec{P} + \vec{R}_N + \vec{F}_{\text{é}} + \vec{f} + \vec{F}_{ie}

   En projetant suivant le vecteur unitaire \vec{u}_x :

   m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k(x - L_0) - \alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + m a

   La longueur à vide L_0 étant constante au cours du temps, la variable X(t) = x(t) - L_0 vérifie :

   \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \quad \text{et} \quad \frac{\mathrm{d}^2X}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}

   L'équation du mouvement devient ainsi :

   m \frac{\mathrm{d}^2X}{\mathrm{d}t^2} + \alpha \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} + k X = m a

   En divisant par la masse m, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}^2X}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\alpha}{m}\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} + \frac{k}{m}X = a

   Par identification avec la forme canonique d'un oscillateur amorti du second ordre :

   \frac{\mathrm{d}^2X}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 X = a

   on en déduit par comparaison des coefficients :

   \begin{aligned} \omega_0^2 &= \frac{k}{m} \implies \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ \frac{\omega_0}{Q} &= \frac{\alpha}{m} \implies Q = \frac{m\omega_0}{\alpha} = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} \end{aligned}

   \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{et} \quad Q = \frac{\sqrt{k m}}{\alpha}}

   Résultat

   $${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\text{et}Q=\frac{\sqrt{km}}{\alpha }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2020, Q9

   On étudie la masse m dans le référentiel \mathcal{R}_{\text{v}} lié à la voiture, en mouvement de translation rectiligne accélérée \vec{a} = -a\vec{u}_x (a > 0) par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen.

   Le bilan des actions mécaniques s'exerçant sur la masse m comporte :

   • Le poids \vec{P} = -m g \vec{u}_y (en notant \vec{u}_y le vecteur unitaire vertical ascendant) ;
   • La réaction normale du support \vec{R}_N = R_N \vec{u}_y, sans composante tangentielle car le glissement se fait sans frottement solide ;

   • La force de rappel élastique du ressort, fixé en x = 0, de longueur instantanée \ell(t) = x(t) et de longueur à vide L_0 :

     \vec{F}_{\text{é}} = -k\big(x(t) - L_0\big)\vec{u}_x

   • La force de frottement fluide exercée par l'amortisseur :

     \vec{f} = -\alpha \vec{V} = -\alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x

   • La force d'inertie d'entraînement, due à la non-galiléité de \mathcal{R}_{\text{v}} :

     \vec{F}_{ie} = -m \vec{a} = m a \vec{u}_x

   La force d'inertie de Coriolis est quant à elle identiquement nulle car le référentiel de la voiture est en translation pure (\vec{\Omega} = \vec{0}).

   En conclusion, la résultante des forces s'exerçant sur la masse m dans \mathcal{R}_{\text{v}} s'écrit :

   \boxed{\vec{F}_{\text{tot}} = \vec{P} + \vec{R}_N - k\big(x(t) - L_0\big)\vec{u}_x - \alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x + m a \vec{u}_x}

   avec \vec{P} + \vec{R}_N = \vec{0} du fait de l'absence de mouvement selon l'axe vertical.

   Résultat

   $${\vec{F}}_{\text{tot}}=\vec{P}+{\vec{R}}_N-k(x(t)-L_0){\vec{u}}_x-\alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}{\vec{u}}_x+ma{\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2020, Q15

   D'après la question Q9, l'expression de la force d'inertie d'entraînement subie par une masse m dans le référentiel lié à la voiture animée d'une accélération \vec{a} = -a\,\vec{u}_x est :

   \vec{F}_{ie} = m a\,\vec{u}_x

   L'intensité de cette force d'inertie d'entraînement est donc :

   F_{ie} = \|\vec{F}_{ie}\| = m a

   Cas 1 : Freinage brutal Avec a_1 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (d'après la question Q13) et la masse m = 2{,}81\text{ g} = 2{,}81 \times 10^{-3}\text{ kg} :

   F_{ie,1} = 2{,}81 \times 10^{-3} \times 10 = 2{,}81 \times 10^{-2}\text{ N}

   Soit, avec deux chiffres significatifs :

   \boxed{F_{ie,1} \approx 2{,}8 \times 10^{-2}\text{ N} = 28\text{ mN}}

   Cas 2 : Arrêt suite à un choc Avec a_2 = \dfrac{V}{\Delta t_2} = \dfrac{25}{0{,}15} \approx 1{,}67 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (d'après la question Q14) :

   F_{ie,2} = 2{,}81 \times 10^{-3} \times \frac{25}{0{,}15} \approx 0{,}468\text{ N}

   Soit, avec deux chiffres significatifs :

   \boxed{F_{ie,2} \approx 0{,}47\text{ N}}

   Résultat

   $$F_{ie,1}\approx 2,8\times 10^{-2}\text{ N}=28\text{ mN}$$

   $$F_{ie,2}\approx 0,47\text{ N}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question