Feuille d'entraînement : Transformateur

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique-SI MP 2021, Q28

   1. Expressions de J, F_{\mathrm{e}} et du rapport de transformation

   D'après le schéma de la figure (7), la loi des nœuds appliquée à l'électrode supérieure s'écrit en grandeurs instantanées :

   i(t) = C_{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t} + J(t)

   Or, d'après la relation établie à la question précédente (en représentation temporelle ou complexe) :

   i(t) = C_{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t} - \gamma \dot{\Delta}(t)

   Par identification directe, il vient :

   \boxed{ J(t) = -\gamma \dot{\Delta}(t) }

   soit en amplitudes complexes : \underline{\tilde{J}} = -\gamma (j\omega \underline{\tilde{\Delta}}).

   Considérons à présent la maille mécanique de droite. La vitesse \dot{\Delta} circule dans le sens trigonométrique le long de cette maille. En appliquant la loi des mailles (analogue à la loi d'Ohm généralisée pour une force) :

   F_{\mathrm{o}}(t) = F_{\mathrm{e}}(t) + Z_{\text{méca}} \dot{\Delta}(t)

   Or, d'après la question 26, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

   \underline{\tilde{F}}_{\mathrm{o}} = \gamma \underline{\tilde{\psi}} + Z_{\text{méca}}(j\omega)\,(j\omega\underline{\tilde{\Delta}})

   Par identification, on en déduit l'expression de la force électromécanique :

   \boxed{ F_{\mathrm{e}}(t) = \gamma \psi(t) }

   soit en amplitudes complexes : \underline{\tilde{F}}_{\mathrm{e}} = \gamma \underline{\tilde{\psi}}.

   Le rapport de transformation s'en déduit immédiatement :

   \boxed{ \frac{F_{\mathrm{e}}}{\psi} = \gamma }

   2. Contenu du dipôle (B)

   L'impédance mécanique définie par l'équation (13) s'écrit :

   Z_{\text{méca}}(j\omega) = j\omega M + \frac{K^{\star\star}}{j\omega} = j\omega M + \frac{1}{j\omega \left(\frac{1}{K^{\star\star}}\right)}

   Dans l'analogie électromécanique directe (force \leftrightarrow tension, vitesse \leftrightarrow courant) :

   • le terme d'inertie j\omega M correspond à une inductance L_{\mathrm{m}} = M ;
   • le terme d'élasticité \dfrac{K^{\star\star}}{j\omega} correspond à un condensateur de capacité C_{\mathrm{m}} = \dfrac{1}{K^{\star\star}}.

   Le dipôle (B) est donc constitué de l'association en série d'une bobine d'inductance M et d'un condensateur de capacité 1/K^{\star\star}.

   3. Caractère « parfait » du transformateur (T)

   Le transformateur (T) est dit « parfait » car :

   • il est non dissipatif (sans pertes) : la puissance totale instantanée absorbée par le quadripôle est rigoureusement nulle à tout instant :

     \mathcal{P}(t) = \psi(t) J(t) + F_{\mathrm{e}}(t) \dot{\Delta}(t) = \psi(t) \big(-\gamma \dot{\Delta}(t)\big) + \big(\gamma \psi(t)\big) \dot{\Delta}(t) = 0
   • les lois de transfert entre grandeurs d'entrée et de sortie sont purement algébriques et instantanées, sans stockage d'énergie interne (pas d'inductance de fuite ni de magnétisation).

   Résultat

   $$J(t)=-\gamma \dot{\Delta }(t)$$

   $$F_{\mathrm{e}}(t)=\gamma \psi (t)$$

   $$\frac{F_{\mathrm{e}}}{\psi }=\gamma$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique-SI MP 2021, Q31

   Au secondaire du transformateur, la charge totale d'impédance Z_2 est soumise à la tension U_2 et traversée par le courant J_2, soit :

   Z_2 = \frac{U_2}{J_2}

   Au primaire, le dipôle équivalent (D) est soumis à la tension U_1 et parcouru par le courant J_1, son impédance est donc :

   Z'_2 = \frac{U_1}{J_1}

   D'après les relations de transformation U_2 = m U_1 et J_2 = J_1/m, il vient :

   U_1 = \frac{U_2}{m} \quad \text{et} \quad J_1 = m J_2

   On en déduit l'expression de l'impédance ramenée au primaire :

   Z'_2 = \frac{U_2 / m}{m J_2} = \frac{1}{m^2}\frac{U_2}{J_2}

   \boxed{Z'_2 = \frac{Z_2}{m^2}}

   L'admittance équivalente Y'_2 = 1/Z'_2 s'écrit alors en fonction de l'admittance secondaire Y_2 = 1/Z_2 :

   Y'_2 = m^2 Y_2

   Au secondaire, le dipôle est constitué de la résistance R_L en parallèle avec la capacité C_2, son admittance vaut donc :

   Y_2 = \frac{1}{R_L} + j C_2 \omega

   On en déduit pour le dipôle primaire (D) :

   Y'_2 = m^2 \left( \frac{1}{R_L} + j C_2 \omega \right) = \frac{m^2}{R_L} + j \left( m^2 C_2 \right) \omega

   En identifiant cette expression à celle d'une association parallèle d'une résistance R'_L et d'un condensateur de capacité C'_2, de forme Y'_2 = \frac{1}{R'_L} + j C'_2 \omega, on obtient :

   \boxed{R'_L = \frac{R_L}{m^2}} \quad \text{et} \quad \boxed{C'_2 = m^2 C_2}

   Résultat

   $$Z_2^{\prime }=\frac{Z_2}{m^2}$$

   $$R_L^{\prime }=\frac{R_L}{m^2}$$

   $$C_2^{\prime }=m^2{C}_2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question