Feuille d'entraînement : Transformateur

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2023, Q31

   D'après la figure 7, le courant \underline{I}_2 est orienté vers l'intérieur de l'enroulement secondaire (convention récepteur pour le secondaire). Le courant qui traverse la charge \underline{Z}_c dans le sens de la chute de potentiel \underline{U}_2 est donc -\underline{I}_2. La loi d'Ohm complexe aux bornes de cette impédance s'écrit :

   \underline{U}_2 = -\underline{Z}_c\,\underline{I}_2 \iff \frac{\underline{U}_2}{\underline{I}_2} = -\underline{Z}_c

   Par ailleurs, les relations du transformateur parfait fournies dans l'énoncé s'écrivent :

   \begin{aligned} \underline{U}_2 &= \frac{N_2}{N_1}\,\underline{U}_1 \implies \underline{U}_1 = \frac{N_1}{N_2}\,\underline{U}_2 \\ \underline{I}_2 &= -\frac{N_1}{N_2}\,\underline{I}_1 \implies \underline{I}_1 = -\frac{N_2}{N_1}\,\underline{I}_2 \end{aligned}

   L'impédance d'entrée \underline{Z}_e vue des bornes du primaire est donnée par :

   \begin{aligned} \underline{Z}_e &= \frac{\underline{U}_1}{\underline{I}_1} = \frac{\dfrac{N_1}{N_2}\,\underline{U}_2}{-\dfrac{N_2}{N_1}\,\underline{I}_2} \\ &= -\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 \frac{\underline{U}_2}{\underline{I}_2} \end{aligned}

   En injectant \dfrac{\underline{U}_2}{\underline{I}_2} = -\underline{Z}_c, les signes négatifs se compensent et l'on obtient :

   \boxed{\underline{Z}_e = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 \underline{Z}_c = \frac{\underline{Z}_c}{m^2}}

   où m = \dfrac{N_2}{N_1} désigne le rapport de transformation.

   Résultat

   $${\underline{Z}}_e={\left(\frac{N_1}{N_2}\right)}^2{\underline{Z}}_c=\frac{{\underline{Z}}_c}{m^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2023, Q35

   Notons U_s = kU la tension efficace aux bornes de sortie du transformateur rehausseur et I la valeur efficace de l'intensité du courant circulant dans la ligne de transmission.

   Le dipôle récepteur D et la résistance de ligne r étant en série, ils sont traversés par le même courant efficace I.

   • La puissance active transmise au dipôle D vaut :

     p = R' I^2

   • La puissance dissipée par effet Joule dans la ligne de transmission s'écrit :

     \mathcal{P}_J = r I^2

   La puissance totale délivrée en sortie du transformateur élévateur est :

   \mathcal{P}_{\text{tot}} = U_s I = p + \mathcal{P}_J = (R' + r) I^2

   Dans une ligne de transport d'électricité conçue pour être efficace, les pertes en ligne sont très faibles devant la puissance transportée (\mathcal{P}_J \ll p, soit r \ll R'). On a donc au premier ordre :

   U_s I \approx p \implies I \approx \frac{p}{U_s}

   En injectant cette expression de l'intensité dans la puissance Joule dissipée, on obtient :

   \boxed{\mathcal{P}_J = \frac{r\,p^2}{U_s^2} = \frac{r\,p^2}{(kU)^2}}

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_J=\frac{r{p}^2}{U_s^2}=\frac{r{p}^2}{(kU{)}^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2023, Q30

   D'après les conventions de la figure 7, le primaire est orienté en convention récepteur (la tension U_1 et le courant I_1 sont associés selon cette convention). La puissance électrique instantanée reçue au primaire s'écrit :

   \mathcal{P}_{\text{reçue, 1}}(t) = U_1(t) \, I_1(t)

   Au secondaire, avec les orientations de la figure 7 conduisant à la relation I_2 / I_1 = - N_1 / N_2, les grandeurs sont également en convention récepteur. La puissance cédée (fournie) par le secondaire au circuit aval correspond donc à l'opposée de la puissance reçue au secondaire :

   \mathcal{P}_{\text{cédée, 2}}(t) = - U_2(t) \, I_2(t)

   En utilisant les relations de transformation fournies pour ce modèle parfait :

   \begin{aligned} U_2(t) &= \frac{N_2}{N_1} \, U_1(t) \\ I_2(t) &= -\frac{N_1}{N_2} \, I_1(t) \end{aligned}

   On en déduit :

   \begin{aligned} \mathcal{P}_{\text{cédée, 2}}(t) &= - \left(\frac{N_2}{N_1} \, U_1(t)\right) \left(-\frac{N_1}{N_2} \, I_1(t)\right) \\ &= U_1(t) \, I_1(t) \\ &= \mathcal{P}_{\text{reçue, 1}}(t) \end{aligned}

   Cette égalité étant vérifiée à chaque instant, elle est également vraie pour les puissances moyennes (actives) :

   \boxed{\langle \mathcal{P}_{\text{reçue, 1}} \rangle = \langle \mathcal{P}_{\text{cédée, 2}} \rangle}

   Résultat

   $$⟨{\mathcal{P}}_{\text{rec¸ue, 1}}⟩=⟨{\mathcal{P}}_{\text{ceˊdeˊe, 2}}⟩$$

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4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2023, Q32

   Au secondaire, la ligne haute tension est modélisée par une résistance R et une capacité C montées en parallèle. L'admittance complexe de cette charge s'écrit directement :

   \underline{Y}_c = \frac{1}{R} + j C \omega

   avec j^2 = -1 (ou i selon la notation choisie).

   D'après le résultat de la question Q31, l'impédance d'entrée vue du primaire est reliée à l'impédance de charge \underline{Z}_c par :

   \underline{Z}_e = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 \underline{Z}_c

   L'admittance d'entrée \underline{Y}_e = \frac{1}{\underline{Z}_e} s'en déduit immédiatement :

   \underline{Y}_e = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 \frac{1}{\underline{Z}_c} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 \underline{Y}_c

   En substituant l'expression de \underline{Y}_c, on obtient :

   \boxed{\underline{Y}_e = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 \left(\frac{1}{R} + j C \omega\right)}

   Résultat

   $${\underline{Y}}_e={\left(\frac{N_2}{N_1}\right)}^2\left(\frac{1}{R}+jC\omega \right)$$

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5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2023, Q33

   D'après la relation de transformation établie pour un transformateur parfait en régime sinusoïdal (rappelée dans le préambule de la partie III-C) :

   \frac{u_2(t)}{u_1(t)} = \frac{N_2}{N_1}

   Ce rapport étant constant et positif à tout instant, le rapport des valeurs efficaces des tensions secondaire U_{2,\text{eff}} et primaire U_{1,\text{eff}} est directement égal au rapport du nombre de spires :

   \frac{N_2}{N_1} = \frac{U_{2,\text{eff}}}{U_{1,\text{eff}}}

   Application numérique avec U_{1,\text{eff}} = 11\text{ kV} et U_{2,\text{eff}} = 132\text{ kV} :

   \frac{N_2}{N_1} = \frac{132\text{ kV}}{11\text{ kV}} = 12

   \boxed{\frac{N_2}{N_1} = 12}

   Résultat

   $$\frac{N_2}{N_1}=12$$

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6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2023, Q36

   Pour transporter une puissance donnée p vers le transformateur d'abaissement et l'utilisateur sous une tension efficace U_s = kU, le courant efficace circulant dans la ligne vaut :

   I = \frac{p}{U_s} = \frac{p}{k U}

   L'élévation de tension par un facteur k > 1 permet ainsi de réduire l'intensité du courant circulant dans la ligne d'un même facteur k pour une même puissance utile distribuée.

   D'après la question 35, la puissance dissipée par effet Joule dans les conducteurs de résistance globale r s'écrit :

   \mathcal{P}_J = r I^2 = \frac{r p^2}{(kU)^2} = \frac{\mathcal{P}_{J,0}}{k^2}

   où \mathcal{P}_{J,0} = \dfrac{r p^2}{U^2} représenterait les pertes en l'absence de transformateur rehausseur (transport direct sous la tension d'alternateur U).

   Les pertes par effet Joule étant quadratiques en courant, elles sont divisées par le carré du rapport de transformation :

   \boxed{\frac{\mathcal{P}_{J,0}}{\mathcal{P}_J} = k^2}

   Application numérique à la centrale de Svartsengi :

   D'après la question 33, le rapport d'élévation de tension vaut :

   k = \frac{U_2}{U_1} = \frac{132\text{ kV}}{11\text{ kV}} = 12

   Par conséquent, le facteur de réduction des pertes Joule dans la ligne de transport est :

   k^2 = 12^2 = 144

   \boxed{\text{Les pertes Joule sont divisées par } 144.}

   Résultat

   $$\frac{{\mathcal{P}}_{J,0}}{{\mathcal{P}}_J}=k^2$$

   $$\text{Les pertes Joule sont diviseˊes par }144.$$

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