Soit la série entière dont le terme général est défini pour et dans laquelle désigne la variable complexe.

a) Déterminer le rayon de convergence de cette série.
b) Est-elle convergente pour ? Pour ?

Pour réel vérifiant , on note .
a) Calculer .
b) En déduire .

Etudier la convergence des séries numériques et , où est entier positif ou nul.

La série converge-t-elle pour ? Indication: on pourra représenter ainsi que dans le plan complexe.

a) Pour tout réel tel que est différent de 1 , calculer la somme pour et entiers strictement positifs vérifiant .
b) Vérifier que cette expression est bornée lorsque est différent de 1.
c) Soit une suite de nombres réels tendant vers 0 et vérifiant de plus la propriété suivante: la série de terme général est convergente. Soit une suite de nombres complexes pour laquelle il existe un réel fini tel que, pour tous entiers strictement positifs et , avec , on a . On admet la propriété suivante: la série de terme général converge.

Etudier la convergence de la série lorsque est un nombre complexe différent de 1 et de module égal à 1 .

Soit le sous-ensemble du plan complexe défini par .
Pour tout de , on désigne par l'unique argument de qui appartient à l'intervalle .

On note alors la fonction définie sur par la relation .

Pour tout de , calculer .

Pour tout de écrit sous la forme , avec réel strictement positif et réel, on pose et .
a) Exprimer à l'aide de la fonction Arctan.
b) Calculer et .
c) Pour toute fonction de classe d'un ouvert de dans , on définit le laplacien de par la relation .

Calculer et .
d) Soit une courbe fermée sans point double, orientée, de classe et contenue dans . En se ramenant à des intégrales doubles, calculer les intégrales et .

a) A-t-on la relation dès que est un nombre complexe différent de 1 et de module inférieur ou égal à 1 ?
b) On admet que pour tout du plan complexe différent de 1 et de module inférieur ou égal à 1 , on a la relation : . En déduire la valeur de en fonction de pour tout de .

Soit un réel donné appartenant à .
Soit la fonction de la variable réelle périodique de période , paire, définie sur par les relations: pour pour .
a) Représenter graphiquement sur .
b) Déterminer la série de Fourier de .
c) Etudier la convergence de cette série de Fourier.
d) En déduire directement la valeur de la somme de la série pour , puis pour .

Soit la fonction réelle de la variable réelle, -périodique, définie par et par pour tout dans .

a) Représenter graphiquement sur .
b) Déterminer la série de Fourier de .

a) Etudier la convergence de cette série.
b) En déduire la valeur de et de .

a) En utilisant par exemple le résultat obtenu en 1.4.a), exprimer en fonction de et de la somme finie .
b) Pour réel, on pose . Etablir que, pour tout de , on a la relation: .
c) La fonction peut-elle être prolongée par continuité en 0 ?

Soit une suite de nombres réels strictement positifs qui tend vers 0 lorsque tend vers .

Calculer , puis .
d) On désigne par le plus petit réel strictement positif qui réalise un maximum relatif de .

Montrer simultanément que tend vers une limite lorsque tend vers l'infini et que cette limite peut s'écrire sous la forme pour un réel que l'on déterminera.
e) On propose une valeur approchée de l'intégrale sous la forme . Commet-on une erreur inférieure en valeur absolue à ?