Pour toute suite réelle , on note la moyenne arithmétique de ses premiers termes.
(a) On se propose de montrer que si la suite converge vers le réel , alors la suite converge vers . Soit .
i. Montrer qu'il existe tel que, pour tout entraîne: .
ii. Montrer que pour tout entier on a:

iii. Montrer qu'il existe un entier

tel que, pour tout

entraîne:

iv. Conclure.
(b) On suppose ici que la suite

converge vers le réel

. On se propose d'étudier une réciproque du résultat précédent.
i. Montrer que la suite

n'est pas nécessairement convergente.

On pourra considérer la suite de terme général

.
ii. Montrer que la suite

n'est pas nécessairement bornée.

On pourra considérer la suite

définie par :

iii. On suppose en outre que la suite

est monotone; on pourra considérer, par exemple, qu'elle est croissante.
Montrer alors par l'absurde que la suite

est majorée par

. Conclure.
2. On considère la suite

définie par la récurrence :

(a) Montrer par récurrence que, pour tout

, on a:

, puis que la suite

est décroissante. En déduire que la suite

converge et préciser sa limite.
(b) Montrer que, lorsque

tend vers

, on a:

Montrer que la suite

converge vers

.
Démontrer alors que:

.
En déduire un équivalent de

lorsque

tend vers l'infini.
3. Soit

une suite de réels strictement positifs telle que la série

diverge.

A toute suite réelle

, on associe la suite de terme général :

.
(a) Montrer que

.
(b) En s'inspirant de la question 1.a., montrer que si la suite

converge vers le réel

, alors la suite

converge vers

.
4. On suppose que la suite

converge vers le réel

.
(a) Déterminer la limite de la suite de terme général:

.
(b) Même question avec la suite de terme général:

où

désigne le coefficient binômial

.
On pourra montrer que

PARTIE B

Soit

une série réelle convergente. On note

sa somme.

Montrer qu'alors la série entière de coefficients a un rayon de convergence au moins égal à 1 .

Dans toute la suite de cette partie on pose:

.
On se propose d'étudier la continuité de la fonction

en 1 .
2. Montrer que si

alors

est continue en 1 .
3. On se place dans le cas où

. On note

la somme partielle de rang

.
(a) Soit

.
i. Montrer que:

.
ii. En déduire que:

.
(b) Montrer alors que le rayon de convergence de la série entière, de coefficients

, est au moins égal à 1 , et que:

. Soit

.
i. Vérifier que, pour tout réel

, on a :

On supposera donc pour la suite que

.
ii. Montrer qu'il existe un entier positif

tel que:

entraîne

.
iii. En déduire que, pour tout

, on a:

.
iv. Montrer enfin qu'il existe

tel que:

Conclure.
(d) En déduire que la fonction

est continue en 1.
4. Etablir la convergence de la série

puis déterminer sa somme.

PARTIE C

Soit (

) une suite réelle convergente.

Montrer que la série entière de coefficients a un rayon de convergence infini.

Dans la suite de cette partie, à toute suite réelle

convergente, on associe la fonction

définie par:

Montrer que la fonction est indéfiniment dérivable sur .
Nous nous proposons de montrer que si la suite converge vers le réel , alors .
(a) Justifier l'existence d'une suite réelle convergeant vers 0 telle que, pour tout on ait: .
(b) Montrer que pour tout réel on a: .
(c) Soit , prouver l'existence d'un entier tel que: entraîne .

Montrer alors que, pour tout

, on a:

(d) En déduire que

. Conclure.
4. On pose,

et, pour tout

Montrer que pour tout réel positif

, on a:

En déduire que si est une série numérique convergente alors: , où est la fonction définie sur par : .