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Banque PT Mathématiques 1B PT 2000
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)
L'objet de ce problème est d'obtenir diverses approximations de la constante d'Euler définie par
Il est composé de quatre parties qui sont très largement indépendantes. Il sera tenu compte dans la notation du soin apporté à la rédaction.
Partie I
Soit
(1)
et
(1)
et
- Expliciter
.
Montrer que la série
2. Expliciter
2. Expliciter
En déduire la relation
3. Montrer que pour tout entier
3. Montrer que pour tout entier
(On pourra dans (1) majorer et minorer le dénominateur).
En déduire un encadrement de
4. On veut déterminer une valeur approchée de
Que pensez-vous de cette méthode d'évaluation?
En déduire un encadrement de
4. On veut déterminer une valeur approchée de
Que pensez-vous de cette méthode d'évaluation?
Partie II
Dans toute cette partie,
On définit les fonctions
On définit les fonctions
- Préciser les domaines de définition de
et .
Ces fonctions sont-elles continues ? dérivables ? de classe
2. Montrer que
2. Montrer que
En déduire que
- (a) Montrer que, pour tout
,
(b) Montrer que, pour
(c) En déduire que pour tout
(d) Déduire de ce qui précède que
Partie III
- Soit
. Calculer .
En déduire que pour tout
- (a) Montrer que pour
.
(b) Déterminertel que pour on ait . - (a) Montrer que
est développable en série entière :
en précisant la valeur de
(b) Soit
(b) Soit
En déduire, pour
4. Indiquer comment utiliser les résultats précédents pour calculer une valeur approchée de
4. Indiquer comment utiliser les résultats précédents pour calculer une valeur approchée de
Partie IV
On considère les fonctions
- Montrer que
est définie pour . - Soient
et deux réels tels que . On définit la fonction par :
Montrer que
En déduire que
3. Montrer de façon analogue que
4. Montrer que
(On pourra montrer, par des intégrations par parties bien choisies, que
5. Soit
En déduire que
3. Montrer de façon analogue que
4. Montrer que
(On pourra montrer, par des intégrations par parties bien choisies, que
5. Soit
Montrer que cette intégrale existe pour
Exprimer sa valeur à l'aide de
Exprimer sa valeur à l'aide de