On désigne par un entier naturel supérieur ou égal à 2 et par l'ensemble des entiers naturels .
On désigne par l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels.
On note la matrice unité d'ordre .
Une matrice est dite à diagonale strictement dominante si, et seulement si

Une matrice est dite stochastique lorsqu'elle vérifie les deux conditions suivantes:

Elle est dite stochastique stricte si, de plus, ses coefficients sont tous non nuls.

On note l'ensemble des matrices stochastiques de et l'ensemble des matrices stochastiques strictes.
Soit un élément de , on pose:

On a donc .
Si pour tout , la suite de terme général a une limite finie quand tend vers l'infini, on dira que la suite de terme général a une limite finie quand tend vers l'infini. On notera:

(b) En déduire qu'il existe deux suites de réels et telles que l'on ait:

(c) Montrer que l'on a, pour tout entier strictement positif :

(d) Déterminer le réel tel que la suite de terme général soit géométrique; en déduire l'expression de en fonction de . Exprimer de même en fonction de .
(e) Déterminer l'expression de la matrice en fonction de .
(f) Montrer que admet une limite que l'on déterminera quand tend vers l'infini et que est un élément de .
3. On pose .
(a) Déterminer les valeurs propres de la matrice . On les notera .
(b) En déduire que la matrice est semblable à une matrice diagonale .
(c) En déduire l'expression de la matrice en fonction de .
(d) Montrer que admet une limite que l'on déterminera quand tend vers l'infini et que est un élément de .
4. On pose et .
(a) Déterminer les valeurs propres de .
(b) Calculer pour pour tout entier .
(c) Exprimer comme combinaison linéaire de et . En déduire l'expression de en fonction de .
(d) Montrer que admet une limite que l'on déterminera quand tend vers l'infini et que est élément de .

On considère un vecteur colonne tel que .
On suppose que est non nul; en notant un indice défini par la relation , montrer que l'on aboutit à une contradiction. En déduire que est inversible.

Ce résultat pourra être admis et utilisé par la suite.
4. Soit .
(a) On pose . On supprime la dernière ligne et la dernière colonne de , la matrice carrée d'ordre ainsi obtenue est notée . Vérifier que est une matrice à diagonale strictement dominante.
(b) En déduire que l'espace propre de associé à la valeur propre 1 est de dimension 1.
(c) Montrer que les valeurs propres de sont, soit égales à 1 , soit de module strictement inférieur à 1 .
5. Soit . Montrer que les valeurs propres de sont toutes de module inférieur ou égal à 1 . En déduire que .
6. Montrer par récurrence que, pour toute matrice , telle que:

on a . En déduire que la valeur absolue du déterminant d'une matrice stochastique stricte est strictement inférieure à 1 .
7. Soit . Pour tout et tout entier strictement positif , on pose:

(a) Justifier l'existence d'un réel tel que: .
(b) Exprimer en fonction de et des coefficients de .
(c) Montrer que pour tout couple et tout entier strictement positif , on a:

(d) En déduire que, pour tout entier et tout entier strictement positif , on a:

(e) Montrer que, pour tout , la suite de terme général converge quand tend vers l'infini et préciser sa limite.
(f) En déduire que a une limite quand tend vers l'infini.
(g) Comparer les lignes de .
8. On considère la matrice .

Déterminer les valeurs propres de et vérifier qu'elles satisfont aux résultats trouvés précédemment.
Montrer que admet une limite et déterminer .