Banque PT Mathématiques 2A PT 2000

Soient et les endomorphismes de respectivement représentés dans la base canonique de par les matrices et suivantes :

) Former les polynômes caractéristiques de et .
En déduire les valeurs propres de et .
) Déterminer, par leurs équations, les sous-espaces vectoriels propres de et .
) Construire une base de dont les vecteurs sont à la fois vecteurs propres de et vecteurs propres de ; La première composante non nulle de chacun de ces vecteurs sera obligatoirement prise égale à 1 .
) Donner les matrices de passage directe et inverse de la base à la base , ainsi que les matrices et qui représentent respectivement et dans .

Soit la suite de nombres réels définie par :

) Montrer que, pour tout , on a .
En déduire le rayon de convergence de la série entière .
) Soit la somme de cette série.
Montrer que, dans un intervalle ouvert de convergence, est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre que l'on établira (on pourra, par exemple, multiplier les deux membres de (1) par et sommer pour variant de 1 à l'infini. On notera ( ) cette équation.
) En intégrant ( ), expliciter la fonction à l'aide de fonctions usuelles.
) Existe-t-il des solutions de ( ) sur ?

Le plan euclidien est rapporté au repère othonormal ( ). On désigne par une constante réelle strictement positive donnée et par la courbe de représentation paramétrique :

) Reconnaître et représenter graphiquement .
) Former une équation cartésienne de la normale en à .
) Discuter, suivant les valeurs du nombre réel , l'existence et le nombre de points de différents de tels que la normale en à passe par .
) Montrer que les droites coupant en deux points distincts tels que les normales à en ces points se coupent sur , passent par un point fixe à déterminer.

L'espace euclidien est rapporté au repère orthonormal ( ). On désigne par une constante réelle strictement positive donnée, et par et respectivement la courbe et la surface de représentations paramétriques :