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Banque PT Mathématiques 2A PT 2001

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Algèbre linéaireGéométrieNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsPolynômes et fractionsSéries et familles sommables
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Banque
Banque PT
Année
2001
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2001PT MathsMaths 2001
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* Banque filière PT *

Epreuve de Mathématiques II-A

Durée 4 h

L'usage des machines à calculer est interdit.

Les candidats sont priés de rédiger chaque exercice sur une copie séparée.
Les quatre exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre choisi par le candidat.

Exercice 1

On désigne par un entier supérieur ou égal à 1 et par l'espace vectoriel des fonctions polynômes d'une variable, à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à .
On considère nombres réels quelconques donnés .
On note la matrice carrée d'ordre dont l'élément de la è ligne et de la è colonne vaut , pour et variant de 0 à . On a donc :
On admettra, sans chercher à le démontrer, que le déterminant de la matrice vaut .
  1. On considère nombres réels deux à deux distincts donnés .
Montrer que la famille est libre dans .
La famille est-elle une famille génératrice de ?
2. Pour toute fonction polynôme de et pour tout réel , on note la fonction polynôme de définie par la relation:
On désigne par l'algèbre des endomorphismes de et par l'ensemble des éléments de tels que, pour tout de , pour tout de et pour tout de , on a:
Montrer que est un sous-espace vectoriel de stable pour la composition des applications.
3. Pour tout de , on note et, pour entier strictement positif, on désigne par la fonction polynôme dérivée -ième de . Pour tout entier positif ou nul, on note par l'élément de défini par .
L'endomorphisme appartient-il à ?
L'endomorphisme commute-t-il avec tout élément de ?
La famille est-elle une base de ?

Exercice 2

A la suite de nombres réels on associe les suites et définies par
  1. On suppose que est positif ou nul pour tout et que la série de terme général converge.
    1.1 Etudier la convergence de la suite : on pourra utiliser la fonction logarithme népérien. Montrer que, si la suite admet une limite nulle, l'un au moins des termes de la suite est égal à 1 .
    1.2 Etudier la convergence de la suite .
  2. On suppose toujours les tous positifs ou nuls, mais on suppose que la série de terme général est divergente.
    2.1 Etudier la convergence de la suite .
    2.2 Lorsque de plus tous les sont strictement inférieurs à 1 , calculer la limite de la suite .
  3. On suppose désormais que les sont de signe quelconque mais que la série de terme général est convergente.
Etudier la convergence de la suite .
Montrer que, si la suite admet une limite nulle, l'un au moins des est égal à -1.
4. Dans le cas particulier où est égal à 1 et où est égal à pour tout entier supérieur ou égal à 1 , étudier la convergence de la suite associée .

Exercice 3

Le plan euclidien est rapporté au repère orthonormé direct et désigne une constante réelle strictement positive donnée.
Soit la courbe de représentation paramétrique:
Soit la courbe d'équation cartésienne .
  1. Représenter graphiquement la courbe . On recherchera en particulier les asymptotes et les symétries éventuelles.
  2. On note l'intersection de la tangente en tout point régulier de avec l'axe des abscisses. Calculer la distance de à .
  3. Etablir une représentation paramétrique de la développée de en utilisant comme paramètre.
Donner une équation cartésienne de cette développée.
4. On désigne par le point de coordonnées ( ) et par le point de la courbe d'abscisse : calculer la longueur de l'arc de d'origine et d'extrémité .
On note le point de la tangente en à vérifiant les deux conditions et . En utilisant l'abscisse de comme paramètre, donner une représentation paramétrique de la courbe décrite par lorsque parcourt .

Exercice 4

L'espace euclidien de dimension 3 est rapporté au repère orthonormé direct ( ). On note a une constante réelle strictement positive donnée.
On désigne par la surface de représentation paramétrique:
On désigne par la surface de révolution de représentation paramétrique:
où l'on a noté .
  1. Donner un exemple de déplacement qui ne soit pas une rotation et qui laisse la surface invariante.
La surface est-elle réglée?
La surface est-elle développable?
2. On suppose dans cette question 2 que est une fonction de classe de que l'on notera aussi , où décrit un intervalle donné de la forme avec . La fonction définit donc une courbe tracée sur la surface .
Exprimer la longueur de la courbe sous la forme d'une intégrale , où est une fonction de et que l'on déterminera.
Dans le cas particulier, qui ne sera plus reconsidéré dans la suite de cet exercice, où est défini par , avec , donner la valeur de et indiquer la nature géométrique de la projection orthogonale de sur le plan .
3. On suppose dans cette question 3 et dans la question 4 suivante que est une fonction de classe de que l'on notera , où décrit un intervalle donné , avec . La fonction définit donc une courbe tracée sur la surface .
Exprimer la longueur de la courbe sous la forme d'une intégrale , où est une fonction de et que l'on déterminera.
4. On se place toujours dans le cas de la troisième question dont on conserve les notations et l'on effectue le changement de variables
défini par .
On suppose que permet de définir une application de dans et que l'image de la courbe par est une courbe tracée sur qui peut être définie par une fonction comme à la deuxième question.
Comparer les longueurs des courbes et .
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