On désigne par et deux constantes réelles vérifiant .
I. 1 Soit une fonction continue sur le segment , à valeurs réelles ou complexes. On note la partie réelle de et la partie imaginaire de . En revenant à la définition de l'intégrale comme limite de sommes finies, démontrer la relation :

I. 2 En écrivant l'inégalité précédente non plus pour la fonction , mais pour la fonction , donner le signe de

I. 3 Dans les questions I. 3 et I.4, on note et deux constantes réelles strictement positives vérifiant la relation .

Soit une constante réelle positive ou nulle. Etudier la fonction définie sur par la relation:

En déduire que tous les réels positifs ou nuls et vérifient l'inégalité :

Quelle est la valeur de lorsque l'égalité est vérifiée ?
I. 4 Soient et deux fonctions continues sur à valeurs réelles ou complexes. En notant , puis, lorsque le produit n'est pas nul, et , comparer

Ces deux quantités peuvent-elles être égales ?

La question II. 1 est indépendante des suivantes.
On désigne par l'espace euclidien réel orienté de dimension 3 , et par ( ) un repère orthonormé direct de . Soient trois applications de classe de dans telles que soit un repère orthonormé direct pour tout réel.
II. 1 En dérivant par rapport à les relations , , etc., montrer que, pour tout , il existe un vecteur noté tel que :

Soit une fonction de classe de dans . Exprimer les composantes du vecteur dans la base en fonction de et de leurs dérivées par rapport à .
II. 2 On désigne par et trois constantes réelles vérifiant . On admettra qu'il existe une unique application de classe de dans vérifiant pour tout le système:

et les conditions , où et sont trois constantes non toutes nulles données.

Montrer qu'il existe deux constantes strictement positives et telles que l'on ait pour tout les deux relations:

II. 3 Soient le point et ses coordonnées et définis par .
Le point appartient donc aux deux surfaces et d'équations respectives, dans le repère pour et pour . Préciser la nature géométrique de ces surfaces.

Dans l'espace euclidien , chacune des applications , définit une courbe incluse dans une conique. Pour chacune de ces trois courbes, déterminer une équation de la conique qui la contient, en précisant sa nature, puis ses éléments de symétrie et ses asymptotes éventuelles.
II. 4 On suppose désormais que le vecteur reste constant lorsque varie. Ecrire dans le repère ( ) l'équation cartésienne du plan tangent en à . Donner un vecteur normal à . Calculer la distance de l'origine à . Que peut-on dire de lorsque varie ?

Les deux questions de cet exercice peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Soient et deux constantes réelles vérifiant .
Soit une fonction donnée continue sur et à valeurs réelles.
On se propose de résoudre le problème suivant : déterminer une fonction vérifiant l'équation différentielle

sur et les deux conditions .
III. 1 On note et où et sont des constantes. En appliquant le théorème de Fubini, démontrer que le problème posé admet une solution et une seule qui s'écrit sous la forme:

où chacune des fonctions et est le produit d'un polynôme de degré 1 en et d'un polynôme de degré 1 en .

Mettre cette solution sous la forme

où est une fonction que l'on décrira explicitement.
III. 2 Soient et les deux triangles du plan définis par

On note la fonction définie sur le carré par

Montrer que est bien définie sur .

Montrer que admet une valeur minimale sur et que cette valeur minimale est strictement négative.

Quelle est cette valeur minimale?

On désigne par un repère orthonormé direct de l'espace euclidien orienté de dimension 2.

Soit une constante réelle strictement positive.
Soit la courbe de représentation paramétrique:

On note le point de coordonnées et dans le repère ( ).
IV. 1 Représenter graphiquement .
IV. 2 Calculer la longueur de l'arc de la courbe d'origine le point et d'extrémité le point .
IV. 3 Dans cette question, on note l'arc de qui est décrit par lorsque décrit seulement le segment . Soit le vecteur unitaire tangent à en tel que le produit scalaire soit négatif ou nul.

Déterminer .
On désigne par le point défini par la relation . Quelles sont les coordonnées dans de en fonction de , de , de et de ?

Montrer que la courbe décrite par lorsque décrit [ ] se déduit d'une partie de la courbe par une translation que l'on précisera.
IV. 4 Soit l'arc de décrit par lorsque décrit seulement le segment . Soit une constante réelle strictement positive et soit une constante appartenant à l'intervalle .

Dans cette question, on suppose que est une fonction de appartenant à , où peut donc représenter le temps et où est suffisamment dérivable pour les calculs qui vont suivre. On note alors .

Ecrire sous une forme faisant apparaître mais ne faisant pas apparaître explicitement .

Déterminer la solution de l'équation différentielle vérifiant et explicitement en fonction de , de , de et de .