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Banque PT Mathématiques 2B PT 2000

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Algèbre linéaireGéométrieEquations différentielles

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Le problème porte sur l'étude des équations qui régissent le mouvement d'une particule d'une fibre dans un fluide luimême en mouvement.
Dans tout ce problème,

est muni de sa structure euclidienne canonique, sa base canonique

est notée

et le repère associé est

.
Le produit scalaire de deux éléments

est noté

et la norme d'un élément

est notée

Première partie

Soit

une fonction de classe

dans

un endomorphisme de

On considère le système différentiel suivant :

(a) Que peut-on dire de l'ensemble des solutions de (

) vérifiant une condition du type

où

sont fixés?
(b) Soit

une solution de (

). Montrer alors que s'il existe un réel

tel que

est la fonction nulle.

Dans la suite, on supposera toujours que ne s'annule pas.

On définit alors les fonctions et
(a) Montrer que et sont des fonctions dérivables.
(b) Vérifier alors que et sont deux vecteurs orthogonaux pour tout réel .
(c) Calculer la dérivée de .
Montrer que si vérifie le système ( ), la fonction vectorielle vérifie le système différentiel :

Deuxième partie

Soient deux réels

. On pose

.
Dans la suite du problème,

est l'endomorphisme de

dont la matrice dans la base

est

On cherche

la solution de (

) vérifiant la condition initiale

.
On pose

(a) Donner l'expression de .
(b) Intégrer lorsque .
Montrer que pour tout réel . Que peut-on en déduire pour les courbes intégrales de ?
On pose . .
(a) Vérifier que et sont solutions de l'équation différentielle

(b) Intégrer alors (

) lorsque

.
(c) On suppose dans cette question que

. Vérifier qu'il existe une constante

(à définir en fonction de

) telle que :

lorsque

est au voisinage de 0 .
m00dt4e.tex - page 1

Troisième partie

Soit

une solution de (

) ne s'annulant pas et

la fonction vectorielle unitaire associée, c'est-à-dire

.
On pose

où

sont des fonctions dérivables de

dans lui-même.
Les valeurs de

en 0 seront notées

(a) Illustrer par une figure la définition de et .
(b) Prouver que s'il existe tel que , alors est la fonction identiquement nulle.
(c) Prouver que s'il existe tel que , alors est la fonction identiquement nulle.
(d) Démontrer que s'il existe tel que est une fonction constante.
Soient et ) le vecteur tel que soit une base orthonormale directe.
(a) Écrire dans la base en fonction de et .
(b) Donner la matrice de dans la base .
(c) Calculer
(a) Écrire la système différentiel ( ) vérifié par et équivalent à ( ).
(b) Prouver que si et ne sont pas colinéaires, le système ( ) équivaut à :

Intégrer lorsque et donner la trajectoire du point défini par .
On suppose maintenant que est non nul.
(a) Prouver que toute solution de (1) est strictement monotone et réalise une bijection de sur .
(b) Montrer que reste constant le long d'une courbe intégrale si et seulement si .
(c) Lorsque , montrer que (2) s'intègre à l'aide de (1) en :

où

est une constante.
6. On désigne par

l'ensemble des courbes intégrales de (1) et par

une solution de (1).
(a) Soit un réel

. Montrer que

est aussi solution de (1). En déduire une propriété géométrique de l'ensemble

.
(b) Montrer que

est aussi solution de (1). En déduire une propriété géométrique de l’ensemble

.
(c) Montrer que

est solution de l'équation (1) associée au paramètre

. Comment déduit-on

?
7. On définit, pour tout entier relatif

, le réel

par

(a) Pour intégrer (1) sur

, effectuer le changement de variables

.
(b) Montrer que la nouvelle équation obtenue s'intègre en :

où

est une constante que l'on déterminera.
(c) Retrouver alors sans utiliser la deuxième partie que

est une fonction périodique de période