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Banque PT Mathématiques 2B PT 2001

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Réduction
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Banque
Banque PT
Année
2001
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2001PT MathsMaths 2001
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* Banque filière PT *

Epreuve de Mathématiques II-B

Durée 4 h

L'usage des machines à calculer est interdit.

Ce problème provient de l'étude du phénomène de cavitation (c'est-à-dire de la formation d'une cavité) à l'intérieur d'une boule remplie d'un matériau incompressible et soumise à certains types d'effort.
On sera amené à considérer une application de privé de dans lui-même et à étudier quelques propriétés faisant intervenir la matrice jacobienne de .
Notations:
èéê
Rappel d'une formule de calcul d'une intégrale de surface:
Soit une surface de paramétrée par , où décrit une partie de suffisamment régulière. Soit une fonction continue définie sur . Le calcul de l'intégrale de sur la surface peut être obtenu par la formule suivante:

I. Première partie

  1. Soit un élément de E. On rappelle qu'il existe au moins un triplet formant un système de coordonnées sphériques de , c'est-à-dire vérifiant:
a. On pose alors pour tout triplet :
Vérifier que est une base orthonormale directe de .
b. Lorsque est un élément de tel que , représenter sur un dessin , et .
2. L'application de dans lui-même est définie par la relation:
où est un élément de .
Soit une application de dans de classe qui associe à le triplet . Soit le point de coordonnées sphériques et son image par .
a. Donner les composantes dans la base de , notées ( ), et celles de , notées ( ).
b. Prouver que l'unique matrice indépendante de la fonction telle que
est la matrice Diag .
3. On admet que l'incompressibilité du matériau se traduit par pour tout élément de E . Montrer que cette condition est réalisée si, et seulement si, il existe un réel positif ou nul tel que pour tout réel , on ait la relation .
4. Soit l'application associée à la fonction définie par .
L'application est-elle injective?
L'application est-elle surjective? Lorsque n'est pas surjective, préciser le sousensemble de qui n'est pas dans l'image de ; dans ce cas, on dit que se produit le phénomène de cavitation.
L'application peut-elle être prolongée par continuité en ?

II. Deuxième partie

L'application étudiée de dans lui-même, , est dorénavant donnée par pour , où désigne et où les fonctions sont des éléments de . Dans une telle situation, on dit que la déformation est triaxiale.
  1. a. Ecrire la matrice jacobienne de l'application .
    b. Montrer que, lorsque et sont des réels, on a, pour tout triplet d'éléments de , la relation:
Pour , en déduire l'égalité:
c. Calculer pour tel que est non nul, puis pour tout élément de .
2. L'incompressibilité s'exprimant toujours par la relation en tout de , montrer que cette condition est réalisée si et seulement si et vérifient pour tout réel les trois conditions suivantes:
  1. On suppose ces trois conditions et réalisées.
    a. Montrer l'existence de deux réels et strictement positifs tels que et .
    b. On note la fonction , élément de .
Calculer et en déduire .
4. Montrer que et sont des éléments de réalisant les conditions et si, et seulement si, il existe un réel et trois réels et strictement positifs tels que les relations suivantes soient vérifiées:
Vérifier que la transformation étudiée dans la première partie est la forme prise par la déformation triaxiale dans le cas où .

III. Troisième partie

Soit l'élément de défini par où est un paramètre réel strictement positif. Soit un second paramètre réel strictement positif. On choisit les fonctions définissant l'application sous la forme et .
  1. Soit l'image de la sphère unité par l'application .
    a. Donner une équation cartésienne de et préciser sa nature géométrique.
    b. Montrer que les relations:
avec et , constituent une paramétrisation de .
c. Calculer le vecteur normal unitaire en à tel que est strictement positif.
2. Soient et deux réels. On définit alors en tout point de les vecteurs suivants: , et .
a. Calculer et .
b. Vérifier les égalités suivantes:
  1. Soit l'application de dans définie par la relation:
a. Donner et en fonction de pour que et .
b. Montrer que chacune des valeurs précédentes des deux dérivées partielles de a une limite lorsque tend vers 0 et préciser ces deux limites.
4. Soit la courbe plane, paramétrée par , définie par:
a. Montrer qu'il existe un point de d'ordonnée minimale et préciser ses coordonnées.
b. Tracer la courbe en précisant ses éventuelles asymptotes.
c. La courbe est-elle une conique ou est-elle contenue dans une conique?

IV. Quatrième partie

Soit une fonction de classe de dans et soient trois fonctions et de .
On pose et on note la fonction composée telle que .
On introduit alors, pour , les fonctions de dans définies par les relations:
où est un élément de . Le nombre a étant un réel strictement positif, les conditions mécaniques sont complètement décrites par le système suivant:
Enfin, on pose et .
  1. Prouver rapidement que les fonctions sont éléments de et vérifier l'égalité suivante:
    .
  2. On pose et .
Les expressions de et en fonction de sont notées respectivement et . On désigne par la fonction de définie par .
a. Après avoir montré que et sont des puissances entières positives ou négatives de , vérifier la relation:
b. En déduire la relation:
c. Montrer alors que a une limite réelle lorsque tend vers 0 si et seulement si l'intégrale
est convergente. Vérifier la relation .
3. Soit où et . Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le couple pour que le nombre soit défini et le calculer.

Fin de l'épreuve.

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