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Banque PT Mathématiques 2B PT 2003

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctions
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Banque
Banque PT
Année
2003
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2003PT MathsMaths 2003
2025_08_29_359d1b1162e6f0104056g
  • Banque filière PT *

Epreuve de Mathématiques II-B

Durée 4 h

ERRATUM

Dans la partie III on supposera les fonctions et de classe .
Dans les questions III 3. b. et III 3. c. on lira au lieu de .

** Banque filière PT 轘

Epreuve de Mathématiques II-B

Durée 4 h

L'USAGE DE TOUT MATERIEL ELECTRONIQUE EST INTERDIT.

Toutes les réponses seront justifiées.

La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.

est l'espace vectoriel des applications de dans , continues, par morceaux, périodiques de période 1.
désigne l'ensemble des fonctions paires de , et l'ensemble des fonctions impaires de .
On introduit les applications :
On dira, dans ce qui suit, qu'une fonction est égale à la somme de sa Série de Fourier si elle vérifie :

I. Décomposition en Série de Fourier

  1. Rappeler la définition d'une fonction par morceaux.
Toute fonction de est-elle égale à la somme de sa Série de Fourier?
2. Montrer que toute application de peut s'écrire de façon unique comme somme d'une application de et d'une application de . Que peut-on en déduire pour et ?
3.
a. Montrer que, pour tout entier et sont des applications linéaires.
b. étant un élément de , exprimer et en fonction de .
4. a. Montrer que, pour toute application de .
b. Montrer que, pour toute application de .
5. Soit la fonction 1 - périodique, égale à sur .
a. Tracer le graphe de la fonction sur l'intervalle .
b. Pour tout entier , calculer .
c. En déduire la valeur de , puis de .

II. Approximation d'une fonction continue

Pour tout entier , on désigne par la fonction: .
Soit l'espace engendré par les fonctions . On désigne par , dans cette partie, une fonction continue, périodique de période 1 , non nulle.
  1. On considère les fonctions:
où est un entier, et une constante réelle. On suppose de plus que .
On introduit : .
a. Etudier les variations des fonctions et .
b. Calculer , par récurrence.
c. Déterminer une relation liant et .
d. En déduire : .
2. Soit la suite définie par: .
a. On considère la série de terme général . Montrer que lorsque tend vers , c'est-à-dire qu'il existe une constante positive telle que :
Quelle est la nature de la série ?
b. En déduire l'existence d'un réel tel que:
c. En déduire un équivalent de lorsque tend vers , puis la limite de lorsque tend vers .
d. Tracer, sur un même graphique, et en choisissant une échelle adaptée, les courbes représentatives respectives des fonctions et .
3. Etude de .
a. Soit un réel strictement positif.
Montrer qu'il existe un réel dans ] [ tel que, pour tout de ] .
b. Montrer que: .
c. En utilisant le résultat de la question 3. b., montrer qu'il existe un entier tel que, pour , alors, pour tout de :
ù
d. En déduire que, pour , alors, pour tout de :
e. Calculer la limite de lorsque tend vers .
4. Soit la fonction définie sur par: .
a. Déduire de la question précédente que:
b. Montrer, pour tout de , que peut s'écrire sous la forme :
où les sont des coefficients à exprimer en fonction de et .
c. En déduire que toute fonction périodique et continue peut être approximée par une somme finie de fonctions trigonométriques.

III. Théorème d'échantillonnage

Soit l'espace des fonctions définies sur , à valeurs réelles, indéfiniment dérivables sur , telles que existe.
étant un élément de , on introduit les fonctions et définies sur par:
On suppose que et sont telles que et existent, et quo:
.
On note le sous espace de tel que, pour tout élément de et soient nulles en dehors de [ ] 。
  1. a. Vérifier que, pour tout élément de et sont bien définies.
    b. Vérifier que, pour tout élément de , où désigne le conjugué ( complexe ) de , et que: . On admettra que, de même, .
  2. Montrer que, pour tout élément de et sont bornées sur . Les fonctions et sont-elles continues?
  3. Soit un élément de . On désigne par la fonction de période 1 qui coïncide avec sur [ ].
    a. En utilisant les relations reliant et , calculer les coefficients définis au début du problème en fonction de valeurs de .
    b. Montrer que, pour tout réel .
    c. En admettant que l'on a aussi :
    en déduire, pour tout réel .
    d. Comment peut-on interpréter ce dernier résultat ?
L'analyse du signal requiert des outils mathématiques nécessaires pour pouvoir assurer stockage, transmission, ou encore tout simplement pour pouvoir reconstruire un signal . Une première approche consiste à le décomposer en ondes sinusoïdales ( séries de Fourier ). Le théorème d'échantillonnage permet, à partir d'un nombre fini de mesures, de le reconstituer au mieux. Les récents développements ont conduit à l'introduction d'ondelettes, obtenues en faisant varier l'intervalle d'intégration des coefficients de Fourier et en remplaçant les fonctions trigonométriques par d'autres familles de fonctions. L'application est une transformation de Fourier, qui permet une représentation, dans l'espace des fréquences, du signal .
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