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Banque PT Mathématiques A PT 2005

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GéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Topologie/EVN
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Banque
Banque PT
Année
2005
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2005PT MathsMaths 2005
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* Banque filière PT *

Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

L'usage de calculatrices est interdit

Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le problème, on se place dans le plan euclidien orienté. On considère une courbe plane paramétrée ( intervalle de ), de classe , régulière en tout point de la courbe). On note le vecteur tangent unitaire de au point de paramètre et le vecteur obtenu après rotation d'angle du vecteur .
On note la norme euclidienne sur . On note la boule ouverte de centre et de rayon associée à la norme euclidienne. On note le produit scalaire usuel des vecteurs et du plan. Enfin, si est un point du plan et si est un vecteur du plan, on note l'unique point tel que ; autrement dit, est l'image de par la translation de vecteur .

PARTIE I
Courbes équidistantes

On fixe un réel et l'on pose, pour tout ,
La courbe est appelée courbe équidistante à la courbe .
  1. On suppose que est une parabole d'équation cartésienne .
    (a) Donner une représentation paramétrique de de la forme , de sorte que .
    (b) Calculer et .
    (c) Calculer la développée de .
    (d) Dessiner les quatre courbes et sur le même graphique. On étudiera en particulier les branches infinies et les tangentes aux points singuliers des différentes courbes.
  2. On suppose que est de classe , paramétrée par son abscisse curviligne et de longueur finie. On note la courbure de au point d'abscisse .
    (a) Rappeler dans ce cas le lien entre et .
    (b) Montrer qu'il existe une fonction (que l'on déterminera) telle que
(c) On pose .
Donner une expression de en fonction de .
(d) On suppose que la courbure est bornée. Montrer que est dérivable au voisinage de 0 et que

PARTIE II

Boule centrée sur une courbe

On suppose ici avec . On considère un réel fixé. On se fixe et un point de la boule .
  1. On considère la fonction . Montrer que est de classe sur et calculer .
  2. Montrer que est minorée et atteint son minimum en au moins un point .
  3. On suppose dans cette question que et .
    (a) Que peut-on dire de ?
    (b) Montrer que est orthogonal à .
    (c) Montrer qu'il existe un réel tel que
avec .
4. Vérifier rapidement que le résultat précédent reste encore vrai si et ou bien si et .
5. On suppose dans cette question que et .
(a) Que peut-on dire de ?
(b) Montrer que l'on a nécessairement .
(c) On pose . Montrer que .
(d) Montrer qu'il existe un vecteur unitaire et un réel tels que
  1. On suppose dans cette question que et .
Montrer qu'il existe un vecteur unitaire et un réel tels que

PARTIE III

Voisinage tubulaire d'une courbe

On suppose toujours . On se fixe un réel .
On dit que la suite de points du plan vérifie l'hypothèse (H1) si, pour tout , il existe un réel et un réel tels que
vérifie l'hypothèse ( ) si pour tout , il existe un réel et un vecteur unitaire tels que
vérifie l'hypothèse ( ) si pour tout , il existe un réel et un vecteur unitaire tels que
On définit le voisinage tubulaire de rayon de la courbe par la relation :
On dit qu'un point appartient au bord de s'il vérifie les deux conditions :
  • ,
    -- il existe une suite de points de qui converge vers .
  1. (a) Si la courbe est le cercle de centre et de rayon , décrire l'ensemble et son bord. (Il pourra être utile d'étudier plusieurs cas selon la position de par rapport à )
    (b) Même question si est le segment de l'axe des abscisses.
  2. Montrer que .
  3. Dans toute la suite de cette partie, on considère un point du bord de et une suite de points de qui converge vers . En utilisant les résultats de la partie II, montrer que l'on peut extraire de la suite une suite qui vérifie l'une des conditions (H1), (H2) ou (H3). La suite converge-t-elle?
  4. On suppose dans cette question que la suite vérifie l'hypothèse (H1).
    (a) On admet le résultat suivant : Si est une suite réelle bornée, alors il existe une suite extraite qui converge.
    Montrer qu'il existe une application de dans strictement croissante telle que les deux suites et convergent.
    (b) Montrer qu'il existe un réel et un réel tels que
(c) En raisonnant par l'absurde, montrer qu'en fait .
5. On suppose dans cette question que la suite vérifie l'hypothèse (H2). Montrer qu'il existe un vecteur unitaire tel que et .
6. On suppose dans cette question que la suite vérifie l'hypothèse ( ). Montrer qu'il existe un vecteur unitaire tel que et .
7. Montrer avec soin que le bord de est inclus dans la réunion
  • des deux courbes équidistantes et , et
  • des deux demi-cercles de rayon et de centres et , opposés respectivement à et .
  1. Dessiner une courbe pour laquelle l'inclusion précédente est stricte.

PARTIE IV
Condition nécessaire d'usinabilité

On se fixe toujours un réel et on considère maintenant une courbe paramétrée , paramétrée par son abscisse curviligne , de classe , régulière, "fermée, sans point multiple", c'est à dire
,
  • Pour tous .
On suppose que le paramétrage est choisi de sorte que la normale à la courbe soit dirigée vers l'extérieur.
  1. Dessiner une telle courbe en précisant le sens du paramétrage.
  2. Soit un point d'abscisse tel que le vecteur tangent en ce point, le vecteur normal en ce point et le rayon de courbure de la courbe en . Soit le point de la courbe d'abscisse curviligne . On note les coordonnées du point dans le repère ( ).
    (a) Ecrire le développement limité de au voisinage de 0 à l'ordre 2 .
    (b) En déduire le développement limité de et à l'ordre 2 au voisinage de 0 .
    (c) Soit et le cercle passant par , de rayon et de centre . Ecrire l'équation cartésienne de ce cercle dans le repère ( ) sous la forme
(d) On pose . Ecrire le développement limité à l'ordre 2 de au voisinage de 0 .
(e) Montrer que si , alors tous les points de restent du même côté de la courbe au voisinage de .
3. Montrer qu'une condition nécessaire pour que la courbe soit le bord d'un voisinage tubulaire est que
où désigne la courbure de la courbe au point d'absisse curviligne .
4. Dessiner une courbe pour laquelle cette condition est vérifiée et qui n'est pas le bord d'un voisinage tubulaire de rayon .
Ce problème est issu du problème de l'usinage d'une plaque (de bois ou de métal) avec une fraise de rayon . La partie III étudie la forme usinée si le centre de la fraise se déplace le long de la courbe c. La partie IV étudie le problème inverse : étant donnée une forme à usiner, l'usinage est-il possible à l'aide d'une fraise de rayon ?
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