Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

On désigne par

l'ensemble des polynômes à coefficients dans

.
On note

, l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à

. On identifiera un polynôme

à la fonction polynomiale associée sur

. Enfin,

désigneront respectivement les polynômes dérivés de

Soit

la suite de polynômes définie par :

Dans tout le problème et sauf avis contraire,

désigne un entier naturel.

PARTIE A

Déterminer les polynômes et .
Quel est le degré de et son coefficient dominant?
Étudier la parité de .
Calculer et .
Montrer que est le seul polynôme qui vérifie :

Dans cette question uniquement, on suppose que l'entier est non nul.
(a) Pour quelles valeurs de a-t-on : ?
(b) Montrer alors que possède racines réelles distinctes dans . Conclure.
Déterminer les racines de .

PARTIE B

On définit les applications

vers

par :

On considère enfin l'application

vers

définie par :

Soient et deux polynômes et ; montrer les propriétés suivantes :

Montrer que vérifie :

Donner un exemple de polynôme tel que :

Que peut-on en déduire?
4. Calculer

.
5. Montrer que

est un produit scalaire sur

.
6. Soit

deux entiers naturels distincts. Calculer

.
7. Soit

, montrer qu'il existe un unique

-uplet

tel que

Vérifier alors que pour tout entier

on a :

Dans cette question uniquement, l'entier est strictement positif. Montrer que :

On pose . Montrer que :

En déduire que l'on a :

PARTIE C

On définit l'application

dans lui-même par :

Montrer que est un endomorphisme de .
Pour tout entier , déterminer .
En déduire .
Déterminer la matrice de dans la base canonique ( ) de .
Calculer la trace de .
Quelles sont les valeurs propres de ? L'endomorphisme est-il diagonalisable?
Déterminer les sous-espaces propres de .