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Banque PT Mathématiques A PT 2010

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
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Banque
Banque PT
Année
2010
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2010PT MathsMaths 2010
2025_08_29_459a63c04faf55855d39g

Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultat non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Le problème se compose de 4 parties. Les 3 premières parties sont totalement indépendantes entre elles. La quatrième partie utilise les résultats des parties précédentes mais peut se traiter en admettant ces résultats.
Si est un entier, on note l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels. On note la matrice identité de cet ensemble.
Si est une matrice, on note sa transposée. désigne la trace de .
On identifie dans tout ce problème avec l'ensemble des matrices colonnes à lignes.
Si et sont deux espaces vectoriels sur , on note l'espace des applications linéaires de dans . On note l'espace des formes linéaires sur .
Dans tout le problème, pour on considère les applications suivantes :

Questions préliminaires

  1. Vérifier que, pour toute matrice , les applications et sont linéaires.
  2. Donner la dimension de , et celle de .
  3. Enoncer le théorème de la base incomplète.

Partie I : Un exemple

Dans cette partie, on pose
  1. La matrice est-elle diagonalisable?
  2. La matrice est-elle diagonalisable? Si oui, préciser une base de vecteurs propres.
  3. On pose
(a) Vérifier que la famille est une base de .
(b) Calculer pour tout .
(c) Donner la matrice de dans la base .
(d) L'endomorphisme est-il diagonalisable ? Si oui, préciser ses valeurs propres et une base de vecteurs propres de (on rappelle qu'ici, un vecteur propre sera une matrice de ).

Partie II : Réduction de l'endomorphisme

On se fixe maintenant et .
  1. Soit tel qu'il existe une matrice non nulle vérifiant . Montrer que la matrice n'est pas inversible.
  2. Montrer que si est une valeur propre de , c'est également une valeur propre de .
  3. Soit une valeur propre de un vecteur colonne non nul tel que . Soit une matrice dont une colonne est égale à et toutes les autres colonnes sont nulles. Montrer que est un vecteur propre de .
  4. Donner l'ensemble des valeurs propres de .
  5. Montrer que si est diagonalisable, l'est également (on pourra, à partir d'une base de vecteurs propres de , construire une base de vecteurs propres de ).

Partie III : Un théorème de factorisation

Soient et trois espaces vectoriels de dimension finie, et . Le but de cette partie est de montrer que
  1. On suppose qu'il existe telle que .
Montrer que .
2. On suppose que et .
(a) Justifier pourquoi on peut choisir base de de sorte que soit une base de .
Quelle est alors la dimension de ?
(b) Pour tout , on pose . Montrer que la famille est une base de .
(c) On complète la famille précédente de sorte que soit une base de . On définit alors par
Montrer que, si , alors .

Partie IV : Une caractérisation des matrices nilpotentes

Soit . On rappelle que la matrice est dite nilpotente s'il existe un entier tel que .
  1. Montrer que si est une valeur propre (éventuellement complexe) de , alors, pour tout entier naturel non nul est une valeur propre de .
  2. On suppose nilpotente.
    (a) Montrer que la seule valeur propre de est 0 .
    (b) Montrer que .
  3. On suppose toujours nilpotente.
    (a) Soit une matrice telle que . Montrer que la matrice est encore nilpotente.
    (b) En déduire que .
    (c) i. Soit . Vérifier que
ii. Pour deux matrices et de , on pose
Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur .
iii. En déduire que, pour toute forme linéaire , il existe une matrice telle que
iv. En déduire, en utilisant les résultats de la question 3 b de cette partie et des résultats de la partie III, qu'il existe une matrice telle que .
(d) Montrer que .
4. On suppose maintenant qu'il existe une matrice telle que .
(a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul .
(b) A quelle condition la matrice est-elle un vecteur propre de ?
(c) En déduire que est nilpotente.

FIN DE L®PREUVE.

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