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Banque PT Mathématiques A PT 2011

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractions
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Banque
Banque PT
Année
2011
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2011PT MathsMaths 2011
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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Les parties et sont très largement indépendantes. La partie C l'est totalement.
On désigne par un entier naturel strictement supérieur à 1 et l'un des ensembles de nombres ou . On note l'anneau des matrices carrées de dimension , à coefficients dans et on désigne par la matrice identité de .

PARTIE A

  1. A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur son déterminant, une matrice de est-elle inversible? Exprimer alors en fonction .
  2. Déterminer les inverses des matrices suivantes :
  1. Soit .
Montrer que admet une matrice inverse et que est, elle aussi, un élément de si, et seulement si, . Donner alors l'expression de en fonction de .
On notera désormais le sous-ensemble de , constitué des matrices telles que .
4. Déterminer les couples tels que .

PARTIE B

On désignera par l'ensemble des matrices de telles qu'il existe un entier naturel , non nul, vérifiant .
Pour chaque matrice de , on admet qu'il existe un plus petit entier naturel non nul tel que , on le note ; il est appelé ordre de la matrice .
Soit une matrice de , d'ordre .
  1. Montrer que admet une matrice inverse appartenant à .
En déduire les valeurs possibles de .
2. Vérifier que . Comparer et .
3. On notera et les valeurs propres complexes, éventuellement confondues, de . Montrer que et sont de module 1.
4. Exprimer en fonction de et la trace, , de la matrice .
5. En déduire que .
6. Montrer que les matrices et appartiennent à et déterminer leurs ordres. La matrice produit appartient-elle à ?
On note le polynôme caractéristique de la matrice .
7. Exprimer en fonction de et .
8. Vérifier alors qu'il y a 10 polynômes caractéristiques possibles; déterminer dans chacun des cas les valeurs propres de . En utilisant alors B.3, vous excluerez 4 de ces cas.
9. Dans les six cas restants, montrer que est diagonalisable dans et déterminer l'ordre de .
10. En déduire l'existence et la valeur du plus petit entier naturel non nul tel que :

PARTIE C

Dans cette partie, les candidats veilleront à respecter scrupuleusement l'ordre des questions.
On désigne par l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 3 . On considère l'application définie par :
  1. Montrer que est un produit scalaire sur .
  2. Montrer qu'il existe une base orthonormale ( ) de et une seule telle que :
puis déterminer les quatres polynômes .
3. Soit tel que .
(a) Montrer qu'il existe tels que .
(b) Sans déterminer les réels , déterminer .
(c) i. Soient et deux quadruplets de réels. Montrer que :
ii. En déduire que :
(d) En étudiant, pour tout de , montrer :
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