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Banque PT Mathématiques A PT 2012
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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsRéduction
Épreuve de Mathématiques A
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.
Question préliminaire
Soit
Soit
Partie I
Soient
- Montrer que
et commutent. - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
et . Les matrices et sont-elles diagonalisables ? trigonalisables ? - On note
un vecteur propre de associé à la valeur propre 2 . En utilisant la question préliminaire, déterminer un vecteur non colinéaire à tel que le sousespace ect soit stable par et par .
En déduire qu'il existe une base dedans laquelle les matrices de et sont triangulaires supérieures.
Partie II
Soit
- Montrer qu'il existe une base
de constituée de vecteurs propres de . - Soit
. On considère le polynôme défini par
Soit
avec
(a) Montrer que
(b) Exprimer les valeurs propres de
3. On suppose dans cette question uniquement que
(a) Montrer que
(b) Exprimer les valeurs propres de
3. On suppose dans cette question uniquement que
(a) Déterminer les valeurs propres (éventuellement complexes) de
(b) Trouver 5 nombres réels
(b) Trouver 5 nombres réels
(c) En déduire les valeurs propres (éventuellement complexes) de
4. On revient à un espace
(a) Quelle est la dimension de
(b) En déduire, en se servant également de la question préliminaire que pour tout
(c)
(d) On note
4. On revient à un espace
(a) Quelle est la dimension de
(b) En déduire, en se servant également de la question préliminaire que pour tout
(c)
(d) On note
i. Vérifier que l'application
ii. Vérifier que son noyau est réduit au polynôme nul.
iii. Montrer qu'il existe un unique polynôme
ii. Vérifier que son noyau est réduit au polynôme nul.
iii. Montrer qu'il existe un unique polynôme
(e) Déduire des questions précédentes qu'il existe un polynôme
5. On considère la matrice
5. On considère la matrice
(a) Déterminer une matrice orthogonale
(b) On cherche une matrice
(b) On cherche une matrice
-
est diagonale. - Il existe deux réels
et tels que
où
(c) Déterminer toutes les matrices
(c) Déterminer toutes les matrices
Partie III
On considère l'espace euclidien
- On considère la rotation
d'axe dirigé par le vecteur unitaire et d'angle .
(a) Rappeler l'expression générale de l'imaged'un vecteur de orthogonal à .
(b) Montrer que tout vecteurde s'écrit de manière unique
avec
(c) En déduire l'expression générale de l'image
2. On considère
(a) Quelle est la nature de
(b) Donner la matrice de
(c) Les endomorphismes
(d) Déterminer les valeurs propres (complexes) de
3. On considère l'endomorphisme de
(c) En déduire l'expression générale de l'image
2. On considère
(a) Quelle est la nature de
(b) Donner la matrice de
(c) Les endomorphismes
(d) Déterminer les valeurs propres (complexes) de
3. On considère l'endomorphisme de
Montrer que cet endomorphisme est une rotation dont on précisera les éléments caractéristiques.
4. Soit
4. Soit
(a) Vérifier que
(b) Pour quelle(s) valeur(s) de
(c) Reconnaître alors
(b) Pour quelle(s) valeur(s) de
(c) Reconnaître alors