Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Soient

des entiers naturels non nuls.

désigne l'ensemble des matrices à

lignes et

colonnes, à coefficients complexes, et

l'ensemble des matrices à

lignes et

colonnes, à coefficients complexes.

désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre

, à coefficients complexes,

Question préliminaire

Soit de terme général et de terme général .
(a) A quelle condition sur le produit est-il bien défini? Quelle est alors la taille de la matrice ?
(b) Sous cette condition, on note le terme général de la matrice . Exprimer en fonction des et .
Soit une suite de matrices de . On note le terme général de la matrice .
On dit que la suite de matrices converge vers une matrice si pour tous indices , la suite complexe converge vers .
(a) Montrer que si la suite de matrices converge vers et si la suite de matrices converge vers , alors la suite converge vers .
(b) Montrer que, sous les mêmes conditions, la suite converge vers .

Partie I

On considère la matrice carrée

d'ordre 3 définie par

On pose . Vérifier que est un vecteur propre de associé à la valeur propre 1.
Déterminer les valeurs propres de la matrice . Est-elle diagonalisable dans ? dans ?
On note

Calculer

, puis

.
4. En déduire

. On demande ici une expression explicite de la limite.
5. Déterminer l'unique vecteur ligne

tel que

, et ,
,
.

Partie II

On considère la matrice carrée

d'ordre 2 suivante

avec

.
On note

la matrice identité d'ordre 2 .

On considère le polynôme .

Calculer

.
2. Soit

un entier strictement positif.
(a) Justifier l'existence d'un polynôme

et de deux réels

tels que

(b) En évaluant l'expression précédente en des valeurs de

bien choisies, déterminer les valeurs de

.
(c) En déduire une expression de

.
3. Montrer que la suite

converge vers une limite que l'on précisera.

Partie III

Soit

une matrice carrée d'ordre

à coefficients réels.
On dit que la matrice

est stochastique si

pour tout couple d'entiers naturels tel que et :

la somme des termes de chaque ligne est égale à 1 , c'est-à-dire, pour tout entier tel que :

Soit une matrice stochastique.

Montrer que, pour tout couple d'entiers naturels

tels que

Soit .
(a) Montrer que si est stochastique, alors est un vecteur propre associé à la valeur propre 1.
(b) Réciproquement, soit une matrice carrée d'ordre à coefficients positifs. Montrer que si est vecteur propre associé à la valeur propre 1, alors est stochastique.
(c) En déduire que le produit de deux matrices stochastiques est stochastique.
Soit une matrice stochastique, et tel que .
(a) On pose .

Montrer que, pour tout entier

tel que

(b) En déduire que si

est un vecteur propre associé à la valeur propre

, alors :

sont de module inférieur à 1 .

Exercice de Géométrie

Dans l'espace affine euclidien

, muni d'un repère orthonormé (

), on considère la surface

d'équation paramétrique

où

sont des paramètres réels non tous nuls.

Quelle est la nature de ( ) pour ?
De façon générale, quelle est la nature de ( ) lorsque un ou deux paramètres sont nuls?
Quelle est la nature de ( ) lorsque ?
On considère la matrice

(a) Montrer qu'il existe un réel

tel que

soit de rang 1 si et seulement si

(b) En déduire que (

) est une surface de révolution si et seulement si

.
5. Donner les éléments caractéristiques de la surface (

) quand