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Banque PT Mathématiques A PT 2015

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Algèbre linéairePolynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéductionSéries et familles sommables
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Banque
Banque PT
Année
2015
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2015PT MathsMaths 2015
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La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème d'Algèbre linéaire

Partie I

On considère l'espace vectoriel . On note ( ) la base canonique de . On considère la matrice définie par
On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est .
  1. (a) Calculer .
    (b) Montrer que la famille est liée.
  2. Montrer de même que la famille ( ) est liée.
  3. Montrer que la famille forme une base de .
  4. En déduire que, pour tout .
  5. Ecrire la matrice de dans la base .
  6. La matrice est-elle diagonalisable ?

Partie II

On se place maintenant dans l'espace vectoriel et on considère un endomorphisme de .
Soit un vecteur non nul de . On considère la suite définie par récurrence
et on note .
  1. Montrer que est stable par .
  2. Soit un sous-espace vectoriel de contenant et stable par . Montrer que .
  3. Soit le plus grand entier tel que soit une famille libre.
    (a) Justifier l'existence d'un tel entier .
    (b) Montrer qu'il existe des réels tels que
(c) On note . Montrer que est stable par .
(d) En déduire que et que la famille est une base de .
4. On note l'endomorphisme de obtenu comme restriction de à . Donner la matrice de dans la base .
5. Montrer que la famille ( ) est une famille libre de .
6. (a) Montrer que pour tout ,
(b) En déduire que l'on a

Partie III

Soit un espace vectoriel sur de dimension finie et un endomorphisme de . On note les valeurs propres réelles deux à deux distinctes de , et les sous-espaces propres associés. On suppose que est diagonalisable.
  1. Soit .
    (a) Montrer qu'il existe des vecteurs tels que
Cette décomposition est-elle unique?
(b) Notons le nombre de vecteurs non nuls dans la décomposition précédente et supposons pour simplifier que ce sont les premiers. Montrer que ( ) forme une famille libre.
(c) Exprimer pour en fonction des ( ).
(d) Supposons qu'il existe des réels tels que
Montrer que le polynôme
admet comme racines.
(e) Montrer que la famille est libre.
(f) Montrer que puis que .
2. Soit un sous-espace stable par . On note . Soit . On décompose comme précédemment
.
Déduire de la question précédente que .
3. On suppose ici que et que la matrice de dans la base canonique est donnée par
(a) L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
(b) Déterminer les sous-espaces propres de .
(c) Déterminer tous les sous-espaces stables par .

Exercice de Probabilités

Soit et deux variables aléatoires entières positives ou nulles vérifiant, pour tout couple d'entiers naturels :
où et sont des constantes fixées vérifiant et .
  1. Quelle est la loi de ?
  2. Quelle est la loi de ?
  3. Les variables et sont-elles indépendantes?
  4. On pose . Déterminer la loi de .
  5. Soit un entier naturel. Calculer la probabilité conditionnelle .
  6. Que peut-on en déduire pour les variables et ?
  7. On suppose que le nombre d'enfants d'une famille française est une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre 2,2 . On admet que la probabilité d'avoir un garçon est égale à et que les naissances successives sont indépendantes. Trouver la probabilité que cette famille ait enfants dont garçons.
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