Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème d'Algèbre linéaire

Pour tous entiers strictement positifs

désigne l'ensemble des matrices à

lignes et

colonnes à coefficients réels. Pour tout entier

, on note

l'ensemble des matrices carrées d'ordre

à coefficients réels.

désigne la matrice identité d'ordre

Pour une matrice

désigne sa matrice transposée.

Partie I

Soit

la matrice de

définie par

Montrer que la matrice est diagonalisable.
Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de .
Déterminer une relation entre et .

En déduire une relation entre

pour tout entier

.
4. Montrer par récurrence qu'il existe deux suites

telles que

qui vérifient la relation de récurrence

Déterminer, pour tout entier naturel , l'expression de et en fonction de .

Partie II

Dans toute cette partie, on se fixe un entier

. Soit

une matrice de

. On suppose qu'il existe deux matrices

et deux réels

tels que

, vérifiant :

Exprimer et en fonction de et .

En déduire que

Montrer que, pour tout entier ,

Soit l'endomorphisme de dont est la matrice dans la base canonique. On note la composée de . Soit .
(a) Montrer que .
(b) Montrer que pour tout ,

.
(d) Montrer que

Partie III

On se donne toujours un entier

fixé.
Soit

les matrices colonnes :

.
On suppose

non nulles. Soit

un réel et

la matrice définie par

Montrer que est un réel que l'on exprimera en fonction des coefficients et .
Montrer qu'il existe un réel tel que .

En déduire qu'il existe deux réels

tels que

.
3. On note

. Donner l'expression de

en fonction de

et des coefficients de

.
En déduire que

.
4. Exprimer

en fonction de

.
5. Soit

une valeur propre de

. Montrer que

est une valeur propre de

En déduire que

vérifie l'équation

Montrer que les seules valeurs propres possibles de sont

On suppose que et on considère les sous-espaces vectoriels et définis par

(a) Montrer que

.
(b) Montrer par analyse-synthèse que, pour tout vecteur colonne

, il existe

tels que

.
(c) Montrer que la matrice

est diagonalisable.
8. Montrer que la matrice

de la première partie est de cette forme.

Exercice de Probabilités

On rappelle qu'une variable aléatoire

suit une loi géométrique de paramètre

Soit une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre .
(a) Calculer pour tout .
(b) Soit une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi de Bernoulli de paramètre . On note le rang du 1er succès obtenu : . Montrer que a même loi que .
Soit et deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre .
(a) Calculer la fonction génératrice de puis de .
(b) En déduire que pour tout .
(c) Déterminer, pour , la loi de sachant .
On considère toujours et deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre . On pose et . On pose .
(a) Exprimer et en fonction de et .
(b) Montrer que .
(c) Montrer que suit une loi géométrique de paramètre . On pourra caractériser la loi de par sa fonction de répartition.
(d) Déterminer la loi de .