Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème d'Algèbre linéaire

Partie I

On considère les matrices carrées

Les matrices et sont-elles diagonalisables dans ?
Calculer .
Déterminer une matrice inversible et une matrice diagonale telles que .
Retrouver sans calcul que est diagonalisable dans .

Partie II

On se place dans l'espace euclidien orienté

muni de la base orthonormée directe canonique

. Pour un endomorphisme

, on note

On note la rotation autour de l'axe dirigé par et d'angle .
(a) Décrire l'endomorphisme .
(b) Ecrire la matrice de dans la base .
(c) Les matrices et sont-elles diagonalisables dans ? dans ?
Soit . On note la rotation autour de l'axe dirigé par et d'angle .
(a) Déterminer un vecteur unitaire colinéaire à puis deux vecteurs et tels que forme une base orthonormée directe.
(b) Ecrire la matrice de dans la base puis dans la base . On note cette dernière matrice.
(c) Les matrices et sont-elles diagonalisables dans ?

Partie III

On considère maintenant un espace vectoriel

sur

de dimension finie. Pour un endomorphisme

désigne toujours

. La notation

désigne l'endomorphisme identité de

Soit deux endomorphismes de tels que . Montrer que .
On suppose dans cette question que est un endomorphisme diagonalisable de . On désigne par , avec , ses valeurs propres.
(a) Montrer que, pour tous ,

(b) Montrer que, pour tout vecteur propre

, on a

un vecteur quelconque. En décomposant

dans une base bien choisie, montrer que

On suppose dans cette question que est un endomorphisme de tel que

pour des réels

distincts.
(a) Déterminer deux réels

tels que

.
(b) En déduire que

.
(c) Déduire de

que

et que

.
(d) Montrer que

.
(e) Montrer que

.
(f) En déduire que

est diagonalisable.
4. On suppose dans cette question que

est un endomorphisme de

tel que

est diagonalisable et a toutes ses valeurs propres strictement positives. On note

ces valeurs propres.
(a) Pour

, on note

le sous-espace propre de

associé à la valeur propre

. Montrer que, pour tout

est stable par

.
(b) Pour

, on note

la restriction de

et on pose

. Montrer que

.
(c) En déduire que

est diagonalisable.
(d) Pour

, on note

. Montrer que

En déduire que

est diagonalisable.

Exercice de Probabilités

Soient

deux entiers naturels non nuls. On lance successivement

boules au hasard dans

cases numérotées de 1 à

. On suppose que les différents lancers sont indépendants et que la probabilité pour qu'une boule tombe dans une case donnée est

. Une case peut contenir plusieurs boules. On note

le nombre de cases non vides à l'issue des

lancers.

Déterminer (en fonction de et ) les valeurs prises par la variable (on distinguera 2 cas : et ).
Donner la loi de , de . Calculer leurs espérances.
On se fixe maintenant . Calculer

A l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que, pour tout entier ,

On note la fonction génératrice de la variable .
(a) Rappeler la définition de . Montrer qu'ici, la fonction est définie sur tout .
(b) Rappeler le lien entre et .
(c) En utilisant l'équation , montrer que, pour tout ,

(d) En déduire que

puis que

Pour , on note le numéro de la case dans laquelle la $è$ boule tombe. Pour , on note le nombre de boules que contient la case numéro , et la variable valant 0 si la boîte est vide, et 1 si la boîte contient au moins une boule.
(a) Exprimer en fonction des variables .
(b) En déduire la loi de , puis celle de .
(c) Les variables aléatoires sont-elles mutuellement indépendantes?
(d) Exprimer en fonction des variables aléatoires et retrouver ainsi l'expression de .