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Epreuve de Mathématiques A
Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Problème d'algèbre linéaire
Dans tout le problème, l'espace
Si
Partie I
Soit
- Montrer que la matrice
est orthogonale. - (a) Justifier que
est diagonalisable. Que dire de plus de ses espaces propres?
(b) Rappeler quelles sont les valeurs propres réelles possibles d'une matrice orthogonale.
(c) A l'aide des questions précédentes, déterminer les valeurs propres et les sousespaces propres de. - Caractériser l'endomorphisme
de dont la matrice dans la base canonique est .
Partie II
Soit
- Montrer que
est inversible et préciser son inverse. - Pour tout
, on pose
Montrer que
3. En déduire que
4. Montrer que
5. Montrer que
3. En déduire que
4. Montrer que
5. Montrer que
Partie III
Soit
- Vérifier que
est un sous-espace vectoriel de . - Vérifier que
.
Déterminer une base orthonormale
3. Vérifier que
3. Vérifier que
Compléter la base précédente en une base orthonormale (
4. On note
5. On appelle réflexion une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.
4. On note
5. On appelle réflexion une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.
Ecrire la symétrie
Partie IV
Soit
On veut montrer par récurrence sur
- Montrer que le résultat est vrai pour
. - Soit
un entier fixé tel que et supposons le résultat vrai si . Soit une isométrie telle que .
(a) Montrer que.
(b) Soitet . Montrer que et .
(c) Soitla réflexion par rapport à .
Montrer que
(d) Montrer que
(d) Montrer que
Calculer
(e) Montrer que
(f) En appliquant l'hypothèse de récurrence à
(e) Montrer que
(f) En appliquant l'hypothèse de récurrence à
Probabilités
Un joueur joue au casino avec une fortune initiale de
Plus formellement, nous notons
On note
On suppose que le joueur peut s'endetter et qu'il continue donc de jouer même si
- Calculer les lois de
et de . Ces variables sont-elles indépendantes? - Montrer que, pour tout
, il existe une unique application telle que
Montrer que cette application
3. On note, pour tout entier
3. On note, pour tout entier
avec la convention
Ainsi, sur l'exemple suivant :
Ainsi, sur l'exemple suivant :
| Numéro de la partie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Résultat | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | |
| Fortune | a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
on a
On note
(a) Que valent
(b) Justifier que, pour tout
On note
(a) Que valent
(b) Justifier que, pour tout
(c) Justifier que, pour tout
(d) Justifier, pour
(e) Soit
i. Déduire de la question précédente que, pour tout
i. Déduire de la question précédente que, pour tout
ii. Donner la valeur de
4. Montrer que, pour tout
4. Montrer que, pour tout
(on pourra étudier ce qui se passe à la première partie), puis, en appliquant la formule des probabilités totales, que
- On note
la fonction définie pour tout par
Déduire de la formule précédente que, pour tout
- Calculer
puis en déduire une expression de pour tout . - Calculer
(On pourra remarquer que ). De quel événement cette quantité est-elle la probabilité?